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2025-2026学年上海市静安区民立中学高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共18分。
1.以下对数式中，与指数式5x=6等价的是（　　）
A. log56=x B. log5x=6 C. log6x=5 D. logx6=5
2.已知x＞y＞1，则下列正确的是（　　）
A. x+y＞xy B. y2＜x C. x2＞y D. xy＞x+y
3.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度vm/s和燃烧质量M千克，火箭（除燃料外）的质量m千克，它们之间的函数关系是，当燃料质量是火箭质量的（　　）倍时，火箭的最大速度可达到12km/s？
A. e6-1 B. 106-1 C. D.
4.已知函数，x1、x2、x3∈R，且x1+x2＞0，x2+x3＞0，x3+x1＞0，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的值（　　）
A. 一定等于零 B. 一定大于零 C. 一定小于零 D. 正负都有可能
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知A={2，5}，B={2，3，m}，A B，则m= .
6.关于x的不等式的解集为 .
7.函数f（x）=的定义域为 .
8.若tanα=2，则= .
9.已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为10cm,则该扇形的面积为 cm2.
10.化简：= .（化成Asin（α+φ）（A＞0，φ∈[0，2π））的形式）
11.已知角α的终边经过点P（2，1），，则tan（α-β）= .
12.若a＞0，b＞0，且a+2b=4，则ab的最大值是 ．
13.不等式3x+log3x＞3的解集是 .
14.若函数f（x）=x2-ax+1在区间（-∞，1]上是严格递减函数，则实数a的取值范围为 .
15.满足的锐角x组成的集合是 .
16.已知函数，若存在区间[a,b]（b＞a≥-1），使得函数f（x）在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则实数m的取值范围为 .
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
已知集合A={x|2＜x＜4}和集合B={x|2m＜x＜1-m,m∈R}.
（1）若A∩B= ，求实数m的取值范围；
（2）已知p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
18.(本小题15分)
已知，，，.
（1）求sin（α-β）的值；
（2）求cos（α-β）的值；
（3）α-β是第几象限的角.
19.(本小题15分)
已知函数为偶函数，其中a＞0.
（1）求a的值；
（2）若f（x）-m≥0对 x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
20.(本小题17分)
已知f（x）=logax（a＞0，a≠1）.
（1）若y=f（x）过（4，2），求f（2x-2）＜f（x）的解集；
（2）存在x∈（0，+∞），使得f（x+1）+f（x+2）=2f（ax），求a的取值范围.
21.(本小题17分)
定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在实数x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，那么称函数y=f（x）是区间[a，b]上的“平均值数”，x0是它的一个均值点．
（1）判断函数f（x）=x4是否是区间[-1，1]上的“平均值函数”，并说明理由；
（2）若函数g（x）=-4x+m 2x是区间[0，1]上的“平均值函数”，求实数m的取值范围；
（3）设函数h（x）=kx2+x-4（k∈N*）是区间[-2，t]（t∈N*）上的“平均值函数”，1是函数h（x）的一个均值点，求所有满足条件的数对（k，t）．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】5
6.【答案】（-4，3）
7.【答案】{x|x≥-4且x≠2}
8.【答案】-3
9.【答案】20π
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】（1，+∞）
14.【答案】{a|a≥2}
15.【答案】
16.【答案】{m|}
17.【答案】（1）[-1，+∞） （2）（-∞，-3]
18.【答案】 第三象限
19.【答案】a=4 （-∞，2]
20.【答案】解：（1）函数f（x）=logax的图像过点（4，2），则loga4=2，
解可得a=2，则f（x）=log2x,其定义域为（0，+∞），
若f（2x-2）＜f（x），即log2（2x-2）＜log2x,则，解可得1＜x＜2，
即不等式的解集为（1，2）；
（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）=log2x,其定义域为（0，+∞），
方程f（x+1）+f（x+2）=2f（ax），即log2（x+1）+log2（x+2）=2log2（ax），
变形可得，
则有（x+1）（x+2）=a2x2，即，
令，x＞0，则有a2=2t2+3t+1，
若存在实数x,使得f（x+1）+f（x+2）=2f（ax），则方程a2=2t2+3t+1在t＞0时有解，
而2t2+3t+1＞1，必有a2＞1，
又由a＞0且a≠1，则有a＞1，
则a的取值范围为（1，+∞）．
21.【答案】解：（1）函数f（x）=x4是区间[-1，1]上的“平均值函数”，
理由：由方程x04==0，可得x0=0，
结合“平均值函数”的定义，可得y=x4为“平均值函数”，0是它的一个均值点；
（2）函数g（x）=-4x+m 2x是区间[0，1]上的“平均值函数”，
则可得-4x+m 2x==-3+m在(0，1)有解，
化为（2x-1）m=4x-3，
可得m=，可令u=2x-1，且u∈（0，1)，
则m==u-+2，由y=u-+2在（0，1)递增，可得y<1，
即m<1；
（3）函数h（x）=kx2+x-4（k∈N*）是区间[-2，t]（t∈N*）上的“平均值函数”，
可得kx2+x-4==k（t-2）+1在(-2，t)有解，
由1是函数h（x）的一个均值点，可得k-3=k（t-2）+1，且1(-2，t)（t∈N*），
即k（3-t）=4，因为k∈N*，t∈N*，且t>1，故可得k=4，t=2，
所有满足条件的数对（k，t）为（4，2）．
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