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2025-2026学年广东省深圳外国语学校高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，则A∩B=（　　）
A. {-2，-1，0，1} B. {0，1} C. {3} D. {0，1，2}
2.已知命题p： x∈[1，4]，x2-ax+4＜0，若p为假命题，则a的取值范围是（　　）
A. （-∞，5] B. （5，+∞） C. （-∞，4] D. （4，+∞）
3.已知，则sin2α+cos2α=（　　）
A. B. C. 1 D.
4.函数f（x）=x-e-x的零点所在区间为（　　）
A. B. C. D. （1，2）
5.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T0，tmin后的温度是T，则，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期.现有一杯84℃的咖啡放在20℃的房间中，室温不变的情况下，如果咖啡降温到52℃大约需要10min,那么继续降温到32℃大约再需要（　　）
（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
A. 14min B. 15min C. 16min D. 17min
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若=3sinC，则a的值为（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
7.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则f（-log26）=（　　）
A. B. C. D.
8.若实数x,y满足x2+2y2=1+2xy,则的最大值为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知关于x的不等式ax2+（b-1）x+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则下列说法正确的是（　　）
A. c＜0
B. a+b=1
C. cx2+（b-1）x+a＜0的解集为
D. 的最小值为5
10.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（　　）
A. ω=3
B. 点为f（x）图象的一个对称中心
C. 时，f（x）的值域为
D. 若，则
11.设函数则下列说法正确的有（　　）
A. 方程的实根之和为
B. 函数f（f（x））的值域为
C. 当时，方程f（f（x））=m只有1个实根
D. 若方程f（f（x））=m有5个实根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某扇形的周长是12，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为 .
13.设a,b为正数，a+b=1，则的最小值为 .
14.将函数的图象各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标扩大为原来的2倍，得到函数f（x）的图象，若不存在x∈（π，2π）使得|f（x）|=2，则ω的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润M（x）（单位：万元），乙产品的利润N（x）（单位：万元）与研发投入x（单位：万元）之间的关系如下表所示.
x（万元） 4 9 16 25
M（x）（万元） 28 33 40 49
N（x）（万元） 30 42 54 66
（1）根据以上表格中的数据判断：①y=ax+b；②y=c 2x+d；③；④y=plog2x+q,上述四个模型哪两个更适宜分别作为M（x）与N（x）关于x的函数模型？（不需要说明理由）
（2）根据表格数据求出所选两个模型的函数解析式；
（3）试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？
16.(本小题15分)
在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角B的大小；
（2）若，求a2+c2的取值范围.
17.(本小题15分)
已知奇函数.
（1）求a,并用定义证明f（x）在定义域上单调递增；
（2）解不等式f（2log9x）+f[log3（x-6）-3]＜0.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=|sinx+cosx|+asinxcosx（a∈R）.
（1）证明：函数f（x）的图象关于直线对称；
（2）当a=-2时，求方程f（x）=1在[0，2026π]内实根个数；
（3）当a=-1时，讨论函数f（x）在[0，π]上的单调性.
19.(本小题17分)
一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠更斯和约翰 伯努利等得到“悬链线”方程，其中c为参数.当c=1时，就是双曲余弦函数，类似的双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
（1）证明：sinh（2x）=2sinh（x）cosh（x）以及cosh（2x）=sin2（x）+cosh2（x）；
（2）求函数在（0，+∞）上的零点；
（3）讨论方程cosh（2x）-m sinh（x）=m-3在（0，+∞）上解的个数.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】9
13.【答案】5
14.【答案】
15.【答案】选①作为M（x），选③作为N（x） M（x）=x+24， 甲、乙两种产品的研发投入分别为64万元和36万元，可使总利润最大，最大为166万元
16.【答案】 （20，24]
17.【答案】，证明如下：
x1，x2∈R，x1＜x2，
f（x1）-f（x2）=
=
=，
因为y=2x为单调递增函数，所以由x1＜x2，得且，
所以f（x1）-f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上单调递增 （6，9）
18.【答案】要证函数f（x）的图象关于直线对称，
即证，
当k为偶数时，，=sinx，
所以，
当k为奇数时，，，
所以a（-cosx） （-sinx）=|sinx+cosx|f（x+π）
=|sin（x+π）+cos（x+π）|+asin（x+π）cos（x+π）=|sinx+cosx|+asinxcosx=f（x）；综上所述，，
所以f（x）的图象关于直线对称 6079个 f（x）在上单调递减，在上单调递增
19.【答案】证明如下，
．
，得证 当时，即原方程无解；当时，即原方程有1个解；当时，原方程有2个解
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