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2025-2026学年江西省九江市庐山市匡庐星瀚高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在等差数列{an}中，a3=20，a7=-4，则前11项和为（　　）
A. 22 B. 44 C. 66 D. 88
2.下列命题正确的是（　　）
A. 数据-1，1，2，4，5，6，8，9的中位数是5
B. 若随机变量X满足D（X）=2，则D（3-X）=1
C. 已知随机变量，若E（2X+1）=9，则n=4
D. 若随机变量X N（3，σ2），P（X＞2）=0.62，则P（3＜X＜4）=0.12
3.观察下列散点图，其中两个变量的相关关系判断一定正确的是（　　）
A. 图1中y与x呈正相关
B. 图2中y与x不相关
C. 图3中y与x的线性相关系数小于0
D. 图1中y与x的线性相关系数小于图2中y与x的线性相关系数
4.已知数列{an}的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且a1=1，a2=2，a3+a4=6，a5+a6=11，则a7+a8=（　　）
A. 16 B. 19 C. 20 D. 23
5.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是，预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y约为（　　）
A. 6.1 B. 5.1 C. 3.5 D. 5.2
6.记数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn（n∈N*），则a3+S4等于（　　）
A. 33 B. 46 C. 49 D. 42
7.若展开式的常数项等于-80，则a=（　　）
A. -2 B. 2 C. -4 D. 4
8.已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an-1≥an（n≥2），an+1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn+1+anbn+1=0，则S2019=（　　）
A. 2019 B. C. 4037 D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题中，正确的有（　　）
A. 数列{an}中，“an=2an-1（n≥2，n∈N*）”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件
B. 数列{an}的通项为，若{an}为单调递增数列，则λ≥-4
C. 等比数列{an}中，a2，a10是方程x2-8x+4=0的两根，则a6=±2
D. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则
10.已知，则（　　）
A. 与I1，I2均有公共点的直线斜率最大为
B. 与I1，I2均有公共点的圆的半径最大为4
C. 向I1，I2引切线，切线长相等的点的轨迹是圆
D. 向I1引两切线的夹角与向I2引两切线的夹角相等的点的轨迹是圆
11.若a＞0，b＞0，则下列结论正确的有（　　）
A. B.
C. 若，则 D. 若ab+b2=2，则a+3b≥4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l：mx－y＝1．若直线l与直线x－my－1＝0平行，则m的值为 ；动直线l被圆x2＋2x＋y2－24＝0截得弦长的最小值为 ．
13.已知数列{an}满足，则{an}的前n项和的最小值是 .
14.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2、3，现在从中任取三面，它们的颜色和号码均不相同的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项．
（1）求45和80的等比中项；
（2）已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k，求k．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2.
（1）求证：AD∥平面PBC；
（2）求直线BD与平面PCD所成角的大小；
（3）求点B到平面PCD的距离.
17.(本小题15分)
情报M0是仅含0和1两种的k位数据，例如11001.情报传输时要经过n个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为p1，每位数字1传错为0的概率为p2，其中p1，p2∈（0，1），在各次传输过程中，情报中各数字相互独立，且传输中无其他错误发生.情报M0经过n个信号站传输后的情报为Mn，设Mn与M0完全相同的概率为an，Mn与M0中有Xn（Xn=0，1，…，k）个对应位置数字取值相等.
（1）若，M0=101，求X2的分布列；
（2）若p1+p2=1，证明Xn的数学期望E（Xn）与n无关；
（3）若p1+p2＜1，且p1＜p2，证明：.若将p1+p2＜1改为p1+p2＞1，判断是否仍有恒成立，并说明理由.
18.(本小题17分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（n∈N+）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，记数列{an bn}的前n项和为Tn；
（ⅰ）求Tn；
（ⅱ）若对任意n∈N+恒成立，求实数k的取值范围.
19.(本小题17分)
已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l经过椭圆右焦点与上顶点，原点O到直线l的距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B是椭圆上两动点，N（，0）是一定点，且满足=，证明：直线AB过定点．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】-1 ； 2
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由等比中项性质可知，45和80的等比中项为±60；
（2）由等比中项性质可知，k+9和6-k的等比中项是2k，
则4k2=（k+9）（6-k），
整理可得，5k2+3k-54=0，
解可得，k=-或k=3．
16.【答案】证明：因为底面ABCD为正方形，所以AD∥BC，
因为AD 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AD∥平面PBC；
30°；

17.【答案】X2的分布列为：
k 0 1 2 3
P（X2=k）
若p1+p2=1，则，故这与n无关 若将p1+p2＜1改为p1+p2＞1，则原结论未必成立．理由如下：
若p1+p2＜1，由p1＜p2，知，
，
所以；若p1+p2＞1，p1＜p2，如果M0的每一位都是1，即a=0，b=k，
则，所以此时结论不一定成立
18.【答案】an=2n-1 （ⅰ）；（ⅱ）（-8，2）
19.【答案】解：（1）由题可得，解得c =3，a =4，b =1，
所以椭圆C的方程为；
证明：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线斜率不存在时，则A、B两点坐标关于x轴对称，
设直线方程为x=x1，（-2＜x1＜2），
联立，得x1 +4y1 -4=0，①
又=（x1-）（x2-）+y1y2=（x1-）（x1-）-=，②
由①②解得x1=1或（舍去），所以直线方程为x=1，即直线过定点（1，0）；
当直线AB斜率存在时，由椭圆的对称性，定点一定在x轴上，
设其方程为y=kx+t
联立得（1+4k ）x +8tkx+4t -4=0，
则△=64t k -4（1+4k ）（4t -4）＞0，即有4k +1＞t ，
x1+x2=，x1x2=，
同理可得y1y2=，
又=（x1-）（x2-）+y1y2=（） -++=，
化简得12k -17kt+5t =0，解得k=-t或k=-t，
当k=-t时，直线AB为y=t（-x+1），恒过定点（，0）；
当k=-t时，直线AB为y=t（-x+1），恒过定点（1，0）．
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