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2025-2026学年湖南省岳阳市平江县第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若z（1+i）=1-5i,则z的虚部为（　　）
A. 3i B. 3 C. -3 D. -3i
2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足，则直线AP与直线D1B所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
3.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若c=3，b=，C=60°，则A=（　　）
A. 45° B. 75° C. 105° D. 135°
4.设甲：a＜-2；乙：，则（　　）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
5.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（　　）
A. 7 B. 10 C. 7π D. 10π
6.已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
7.若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（　　）
A. B. C. D.
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则a+c的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（　　）
A.
B.
C.
D. 向量与向量垂直
10.在正三棱台ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则（　　）
A. A1D∥AB B. AD∥平面A1B1C1 C. AD⊥A1C1 D. BC⊥平面AA1D
11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（　　）
A. 点C与点G到平面AEF的距离相等
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 异面直线A1G与EF所成角的余弦值为
D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设A，B，C，D是同一个半径为3的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥D-ABC体积的最大值为 .
13.已知平面向量，平面向量满足，的最大值和最小值分别为m、n,则m-n的值是 .
14.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，P分别是线段B1C和A1C1上的动点.对于下列四个结论：
①存在无数条直线EP∥平面AA1B1B；
②线段EP长度的取值范围是[2，2]；
③三棱锥P-ACE的体积最大值为；
④设E，P分别为线段B1C和A1C1上的中点，则线段EP的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆.
则其中正确的命题有 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，满足.
（1）求A，
（2）若△ABC的周长为20，面积为，求a.
16.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为l.
（1）求证：平面MNQ∥平面PAD；
（2）求证：BC∥l.
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，，，，，.
（1）判断并证明直线MN与AF的位置关系；
（2）若MN⊥BC，求cosA的值.
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求角A的大小；
（2）若AD为∠BAC的角平分线，且AB=8，AC=6，求角平分线AD的长度；
（3）若△ABC为锐角三角形，且b=2，求△ABC面积的取值范围.
19.(本小题17分)
如图所示，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，AD=2，△PAD为正三角形，PB=PC=3，点E在PB上.
（1）若E为中点，求证：PD∥平面AEC；
（2）求异面直线PB与AC所成角的余弦值；
（3）若PE：EB=2：1，在棱PC上是否存在一点F，使DF∥平面AEC？并证明你的结论.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】AD
10.【答案】BD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】①③
15.【答案】 7
16.【答案】因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，且底面ABCD为平行四边形，
所以MN∥PD，NQ∥AD，
又MN∩NQ=N，MN，NQ 平面MNQ，PD∩AD=D，PD，AD 平面PAD，
所以平面MNQ∥平面PAD 因为底面ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，
又BC 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD，
而BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l，
所以BC∥l
17.【答案】直线MN与AF平行，
18.【答案】（1） （2） （3）
19.【答案】连接BD，交AC于点O，连接OE，则O为BD的中点，
若E为PB的中点，则OE∥PD，
又PD 平面AEC，OE 平面AEC，
所以PD∥平面AEC 当F是棱PC中点时，DF∥平面AEC，证明过程如下：
取PE的中点M，连接FM，DM，
若PE：EB=2：1，则M是PE的中点，
所以FM∥CE，
又FM 平面AEC，CE 平面AEC，
所以FM∥平面AEC，
在△BDM中，E为BM的中点，O为BD的中点，所以OE∥DM，
又DM 平面AEC，OE 平面AEC，
所以DM∥平面AEC，
而DM∩MF=F，DM、MF 平面DFM，
所以平面DFM∥平面AEC，
又DF 平面DFM，
所以DF∥平面AEC
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