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8.2 立体图形的直观图
直观图是观察者站在某一点观察
一个空间几何体获得的图形
以下是我们学过的几种几何体的直观图
长方体
五棱锥
圆柱
圆 锥
圆 台
四棱台
这些图形如何画在同一平面内、有什么方法吗？
立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法。
. . . . .
X’
. . . . .
y’
O’
x
. . . . .
. . . .
y
o
要画出空间几何体的直观图, 应先学会画平面图形的直观图．
展示：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．
想知道步骤吗？
用斜二测画法画平面图形直观图的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的 x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使，∠x′o′y′=45°（或135°）它们确定的平面表示水平面．
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
规则：横同竖半
二测：指两种度量形式. 画直观图时，已知图形中
平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，
平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一
半.简记为
斜二测画法要点剖析
“横同竖半”
斜：把直角坐标系xOy变为斜坐标系x′o′y′，
使∠x′o′y′=45°（或135°）
例１．用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
画法：（1）在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。画相应的 轴和 轴，两轴相交于点 ，使
（2）以 为中心，在 轴上取 ，在 轴上 取 ，
以点 为中心，画 平行与 轴，并且等于BC；再以 为中心，
画 平行于 轴，并且等于EF。
(3)连接 ，并擦去辅助线 轴和 轴，便获得
正六边形ABCDEF水平放置的直观图 。
(3)连接 ，并擦去辅助线 轴和 轴，便获得
正六边形ABCDEF水平放置的直观图 。
画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉
我们，水平放置的圆看起来像椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画
图时，常用如图椭圆模板。
在立体几何中，常用正等测画法画水平放置的圆。
练习
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确。
(1) 相等的线段在直观图中仍然相等。 （ ）
(2) 平行的线段在直观图中仍然平行。 （ ）
(3)一个角的直观图仍然是一个角。 （ ）
(4) 相等的角在直观图中仍然相等。 （ ）
√
√
×
×
例2.已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。
画法：
（1）画轴.
画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O（A），使∠xOy=45°∠xOz=90°.
画立体图形的直观图
（2）画底面.
在x轴上取线段AB，使AB=3cm；
在y轴上取线段AD，使AD=1cm，
过点B作y轴的平行线，过点
D作x轴的平行线，设它们的交点
分别为C，则平行四边形ABCD
就是长方体的底面ABCD的直观图.
(3)画侧棱.在Z轴上截取AA′，使AA′=1.5cm，过B,C,D各点分
别作z轴的平行线，并在这些
平行线上分别截取1.5 cm长的
线段BB′，CC′,DD′.
注意：与Z轴平行的线段长度不变
(4)成图.顺次连接A′,B′，C′,D′并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡住的部分改为虚线），就得到长方体的直观图了。
空间几何体直观图斜二测画法步骤：
画轴——画底面——画侧棱——连线成图
规则：横竖不变纵减半，平行性不变
例3.已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。
解：（1）画轴。如图，画x轴，z轴，使
A
B
（2）画下底面。以O 为中点，在x轴上取线段AB，使OA=OB=1cm,利用椭圆
模板画椭圆，使其经过A，B两点。这个椭圆就是圆柱的下底面。
（3）画上底面。在Oz上截取点 ，
使 =3cm，过点 作平行于
Ox的轴 。类似下底面的做法
作出圆柱的上底面。
例3.已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。
（4）成图。连接 ，整理得到圆柱的直观图。
圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，
最后画出两侧的两条母线。
画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出
经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。
例4.某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，
圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。
画法：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定
圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合
体的直观图。
1．快速（不写画法）画出下列图形的直观图：
(1)棱长为4cm的正方体；
(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．
展示答案（画法略）
课堂训练
2.空间几何体直观图斜二测画法步骤：
画轴——画底面——画侧棱——连线成图
规则：横竖不变纵减半，平行性不变
1.水平放置平面图形直观图斜二测画法步骤：
画轴——作平行——取点——连线成图
规则：横不变纵减半，平行性不变
小结：
课后作业：
1.判断正误
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.
(1)原来相交的仍相交. (　　)
(2)原来垂直的仍垂直. (　　)
(3)原来平行的仍平行. (　　)
(4)原来共点的仍共点. (　　)
2、如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为 ．
3、画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．

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