资源简介

海淀区 2026 年高二年级学业水平调研
数学参考答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）C （2）A （3）C （4）C （5）D
（6）D （7）C （8）B （9）B （10）B
二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
（11）15 （12）1
1
（ ） ( )n13 (答案不唯一) （14） (0, + )， ( 1, 1)
2
（15）② ④
三、解答题（共 4 小题，共 40 分）
（16）（共9分）
解：（Ⅰ）由题意可得 f (x) = 3x2 3 = 3(x 1)(x +1) ，
解方程 f (x) = 0，可得 x1 1或 x2 1，
当 x 变化时，在各区间上的正负情况，以及 f (x)的单调性如下表所示．
x ( , 1) 1 ( 1, 1) 1 (1, + )
f (x) + 0 0 +
f (x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数 f (x)单调递增区间为 ( , 1]和[1, + ) ，单调递减区间为[ 1, 1]．
………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， f (x)在[ 1,1]上单调递减， f (x)在[1,4]上单调递增且 f (x)在 x 1
处取得极小值 f (1) 1．
又因为 f ( 1) = 3， f (4) = 53，
所以当 x 1时， f (x)取得最小值 1；当 x 4时， f (x)取得最大值53．
………………9 分
高二数学 参考答案 第 1 页（共 6 页）
（17）（共10分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，试验一共选取了100粒太空辣椒种子，其中发芽的种子数为90
90
粒，因此估计这批太空辣椒种子发芽的概率为 = 0.9 ．
100
………………2 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，这批太空辣椒种子发芽的概率为0.9 ，随机选取3粒新种子进
行发芽实验，发芽的种子数 X 的取值范围是 0, 1, 2, 3 ．
P(X = 0) = C03 (0.9)
0 (0.1)3 = 0.001，
P(X =1) = C13 (0.9) (0.1)
2 = 0.027，
P(X = 2) = C23 (0.9)
2 (0.1) = 0.243，
P(X = 3) = C33 (0.9)
3 (0.1)0 = 0.729，
因此 X 的分布列如下表所示．
X 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
所以 E(X ) = 0 0.001+1 0.027+ 2 0.243+3 0.729 = 2.7．
或 X B(3, 0.9)， E(X ) = 3 0.9 = 2.7． ………………8分
（Ⅲ）①③． ………………10分
（18）（共11分）
1 ln(1+ x)
解：（Ⅰ）函数定义域为 ( 1, + )， f (x) = ．
(1+ x)2
1 ln1
f (0) = 0， f (0) = =1，
12
切线方程为 y = x ． ………………4分
（Ⅱ）方法一：
对任意的 x [0,+ )，都有 f (x)≤kx，也就是对任意的 x [0,+ )，
高二数学 参考答案 第 2 页（共 6 页）
ln(1+x)
都有 ≤ kx，即对任意的 x [0,+ )，都有 ln(1+x)≤kx(1+x)．
1+ x
① 当 k≤0时，因为对任意的 x (0,+ )， ln(1+x) 0， kx(1+x)≤0．
即 ln(1+ x) kx(1+ x) ，不满足题意．
设 g(x) = ln(1+x) kx(1+x) = ln(1+x) kx2 kx ，
2kx2 3kx k +1
则 g (x) = ．
1+ x
② 当0 k 1时，
设 h(x) = 2kx2 3kx k +1．
令 h(x) = 0 ，判别式Δ = k 2 + 8k 0，
k +1
故 h(x) = 0 有两个实数根，设为 x1 ， x2 ，则 x1x2 = 0．
2k
故不妨设 x1 0 x2 ．
故对任意的 x (0, x ) ，都有 h(x) 0 ，所以 g (x) 02 ，
则 g(x) 在区间 (0, x2 )上是增函数，所以 g(x2 ) g(0) = 0．
故 0 k 1时不满足题意．
③ 当 k≥1时，
对任意的 x [0,+ )，有 2kx2 ≤0 , 3kx≤0 ， k +1≤0，
所以 2kx2 3kx k +1≤0，故 g (x)≤0，则 g(x) 在[0,+ ) 上单调递减
因此对任意的 x [0,+ )， g(x)≤g(0) = 0，故满足题意．
综上， k 的最小值为1． ………………9分
高二数学 参考答案 第 3 页（共 6 页）
（Ⅱ）方法二：
ln(1+x)
①当 k≤0时，对任意的 x (0,+ )， ln(1+x) 0，1+ x 0，则 0
1+ x
且 kx≤0，则 f (x) kx ，不满足题意．
ln(1+ x) 1 ln(1+ x) k(1+ x)
2
令 g(x) = kx ，则 g (x) = 2 ．
1+ x (1+ x)
②当 k≥1时，对任意的 x [0,+ )，有 k(1+ x)2 ≤ 1， ln (1+ x)≤0 ，
则1 ln(1+ x) k(1+ x)2 ≤0．
所以 g (x)≤0，当且仅当 x = 0时， g (x) = 0．
所以 g(x)在[0,+ ) 单调递减， g(x)≤g(0) = 0，
即当 x [0,+ )时， g(x)≤0恒成立，
所以当 x [0,+ )时， f (x)≤kx恒成立．
2 2k(1+ x)
2 1
③当0 k 1时，设 h(x) =1 ln(1+ x) k(1+ x) ，则 h (x) = ．
1+ x
对任意的 x [0,+ )，有 h (x) 0， 所以 h(x) 单调递减；
因为 h(0) =1 k 0 ， h(e) =1 ln(1+ e) k(1+ e)2 0，
故存在唯一 x0 (0,e) ，使 h(x0 ) = 0 ．
g (x) 与 g(x) 变化情况如下表：
x (0, x )
0 x0 (x0 ,+ )
g (x) + 0
g(x) ↗ 极大值 ↘
因为 g(0) = 0，所以 g(x0 ) g(0) = 0，
也就是 f (x) kx ，故不满足题意．
综上， k 的最小值为1． ………………9分
高二数学 参考答案 第 4 页（共 6 页）
（Ⅲ）设 t = f (x) ．
因为 x≥0 ，所以 t = f (x)≥0．
由（Ⅱ）得 f (t)≤t ．
因此对任意 x≥0 ，都有 f ( f (x)) = f (t)≤t = f (x)．
………………11分
（19）（共10分）
解：（Ⅰ）b4 的所有可能值为1, 5 ． ………………2分
（Ⅱ）因为{an}为{bn}的伴随数列，所以对任意整数 n≥3，
n = an = |bn 1 + bn 2 |或 n = an = |bn 1 bn 2 | ．
又因为{bn}各项均为非负实数，所以 |bn 1 + bn 2 |=bn 1 + bn 2 ≥| bn 1 bn 2 |，
bn 1 + bn 2 ≥n ．
从而b1 + b2 + + b10
= (b1 + b2 ) + (b3 + b4 ) + (b5 + b6 ) + (b7 + b8) + (b9 + b10 )≥3+ 5+ 7 + 9 +11= 35 ．
2n + 3
令bn = ，则 |bn 1 + bn 2 |= n = an ，{an}为{bn}的伴随数列，且
4
b1 + b2 + + b10 = 35 ．因此b1 + b2 + + b10 的最小值为35．
………………6分
（Ⅲ）对任何整数 a，b，可知 | a + b |与 a + b 的奇偶性相同， | a b | 与 a b的奇偶
性相同，又因为 a + b= (a b) + 2b，即 a + b与 a b的奇偶性相同，
因此 | a + b |与 | a b | 的奇偶性相同．
由题意，{an}和{bn}的各项的奇偶性由 a1 ，b1， a2 ，b2 决定，如下表：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
an 奇 偶 偶 偶 奇 偶 奇 偶 ...
bn 奇 奇 奇 偶 偶 奇 奇 奇 ...
根据上表可知，当且仅当 n = 3t +1(t N) 时， an ， bn 奇偶性相同．
对任意正整数m ，设3k +1≤m≤3k +3(k N)，
高二数学 参考答案 第 5 页（共 6 页）
当 a = b 且 n≤mn n 时， an 与 bn 奇偶性相同，所以 n = 3t +1(t N) .
又因为3k +1≤m≤3k +3(k N)，
所以{n | an = bn ，n≤m} {1，4，7， ，3k +1}，
因此集合{n | an = bn ，n≤m}的元素个数小于等于 k +1．
另一方面，构造数列{an}和{bn}如下：
a1 =1，a2 = 2，a
*
3 = 4，a4 = 6，a5 = 3，a6 = 4，an+6 = an (n N ) ．
b1 =1，b2 = 3，b3 = 3，b4 = 6，b5 = 2，b6 = 3，bn+6 = b
*
n (n N ) ．
可以验证{bn}为{an}的伴随数列，{an}为{bn}的伴随数列，
且对任意的自然数 l ，都有 a3l+1 = b3l+1 ，
因为3k +1≤m≤3k +3(k N)，
所以{n | an = bn ，n≤m}={1，4，7， ，3k +1}，
此时集合{n | an = bn ，n≤m}的元素个数等于 k +1．
综上， cm = k +1，这里 k 满足3k +1≤m≤3k +3(k N)．
………………10分
高二数学 参考答案 第 6 页（共 6 页）

展开更多......

收起↑