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4.1《函数》暑假预习
一、单选题
1．下列各图中，能表示变量y是x的函数的是（ ）
A．B．C． D．
2．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．
3．小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表：
时间（s） 5 10 15 20 25 30 35
温度计上的度数（） 49 31 22 16 14 12 12
下列说法中不正确的是（ ）
A．当时，温度计上的度数是
B．这个表中时间是自变量，温度计上的度数是时间的函数
C．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变
D．当温度计的度数为时，经过的时间可能是
4．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．
5．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．快车和慢车相遇时，快车距离B地
B．相遇后，快车再行驶到达B地
C．快车比慢车早到达目的地
D．快车的速度为，慢车的速度为
二、填空题
6．若定义某函数，则__________．
7．有下列关于x和y的式子：①；②；③；④．其中y是x的函数的是_____（填序号）．
8．一盒装冰激凌售价为18元，内装6支小冰激凌，请写出冰激凌售价（元）与（支）之间的函数解析式________．
9．甲、乙两车早上从城车站出发匀速前往城车站（两车到站后就停止不动），在整个行程中，两车离开城的距离与时间的对应关系如图所示．从乙车出发到甲车到达城车站这一时间段，在哪些时间点两车相距？请写出所有的时间点：_____．
10．如图1，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度与运动时间（单位：秒）之间的函数关系图象如图2所示（点为曲线部分的最低点）．
则：（1）______；
（2）点的纵坐标的值为______．
三、解答题
11．下面是有关海拔与空气含氧量的一组数据：
海拔/m 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
空气含氧量/（） 299.30 265.50 234.80 209.63 182.08 159.71 141.69 123.16 105.97
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？其中，哪个是自变量，哪个是因变量？
(2)在海拔的地方空气含氧量是多少？在海拔的地方空气含氧量是多少？
(3)你估计在海拔的地方空气含氧量是多少？
12．数学学习小组准备利用一根弹簧制作一个简易弹簧秤（用于称物体的质量），需在刻度盘上标注刻度．经过试验与测量，得到弹簧的长度（）与所挂物体的质量（）（）之间的对应关系如下表：
物体的质量x/ 0 1 2 3 4
弹簧的长度y/ 8 10 12 14 16
根据上表，解决下列问题．
(1)在弹性限度内，直接写出y关于x的函数解析式；
(2)当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为多少？
(3)学习小组观察弹簧挂物体后的长度为，此时弹簧所挂物体质量为多少？
13．如图1，在直角梯形中，，动点从点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，图象如图2所示．
(1)在这个变化中，自变量是 ；
(2)当点运动的路程时，的面积为 ；
(3)求的长和梯形的面积．
14．2026年4月19日，在北京亦庄举办了“人形机器人半程马拉松”赛事，冠军机器人“闪电”以50分26秒夺冠，超越了人类男子半马的世界纪录．某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行测试．甲、乙两款机器人匀速从起点出发到处的终点，甲出发后，乙沿同一路线出发，甲、乙两款机器人与起点的距离，与甲出发时间的函数图象（如图）．根据图象回答下列问题：
(1)甲行走的速度为______；乙行走的速度是______ ；
(2)图中点表示的实际意义为______；
(3)当甲出发多少秒时，甲、乙相距．
15．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系如图2，根据图中的信息回答下列问题．
(1)①由图2，当时，_______；摩天轮转一圈需要______；
②在3到6分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点离地面高度的变化趋势是_________（填“增大”或“减小”）；
(2)求出摩天轮的半径为_______；
16．如图1，在长方形中，，，点P从点A出发，沿路线运动，到点D停止；点Q从点D出发，沿运动，到点A停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为，点Q的速度为，运动a秒后，点P，Q同时改变速度，点P的速度变为，点Q的速度变为．图2是点P出发x秒后，的面积与的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后的面积与的函数关系图象．
(1)动点P在线段_____上运动时，保持不变；动点Q到达点A时，x的值为_____；
(2)求a，b的值；
(3)若与的和为，请求出满足条件的x的取值范围；
(4)当P、Q两个动点所走过的路程比为时，直接写出x的取值范围
参考答案
一、单选题
1．D
解：A选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意；
B选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意；
C选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意；
D选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y唯一确定，符合题意．
2．B
解：根据题意得且，
解得且，
∴自变量的取值范围是且．
3．D
解：A、由表格数据可得，当时，温度计上的度数是，说法正确，本选项不符合题意；
B、时间主动变化，对每一个确定的，都有唯一确定的温度计度数与之对应，因此时间是自变量，温度计上的度数是的函数，说法正确，本选项不符合题意；
C、观察表格数据，温度计度数从逐渐下降到，之后保持不变，因此温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变，说法正确，本选项不符合题意；
D、时温度为，时温度为，温度随时间增加持续下降，对应的时间在到之间，，此时温度低于，不可能为，说法错误，本选项符合题意．
4．A
解：向容器内匀速注水，图象的斜率越大，水面上升越快，说明容器的横截面积越小；图象的斜率越小，水面上升越慢，说明容器的横截面积越大，
由图象可知，段最陡峭，段次之，段最平缓，
则水面上升的速度关系为：，
可知容器对应部分的横截面积关系为：，
即容器的形状从下到上依次为：较细、最粗、最细，选项符合．
5．C
解：∵时，，
∴A，B两地相距，
由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地，
∴快车比慢车早到达目的地，故C结论正确，符合题意；
，，
∴快车的速度为，慢车的速度为，故D结论错误，不符合题意；
∵时，，
∴两车出发后相遇，
∴相遇后，快车再行驶到达B地，故B结论错误，不符合题意；
快车和慢车相遇时，快车距离B地，故A错误．不符合题意.
二、填空题
6．
解：．
7．①②
解：根据函数的定义，逐一判断：
① ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义；
② ：对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，符合函数定义；
③ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义；
④ ：当取一个正数时，有两个值与之对应，不符合函数定义．
因此是的函数的是①②．
8．
解：一盒装冰激凌售价为18元，内装6支小冰激凌，
故冰激凌的单价为（元），
故冰激凌售价（元）与（支）之间的函数解析式为．
9．或或
解：由图象可得，甲车从到行驶了，用时小时；乙车从到行驶了，用时小时；
故甲车的行驶速度为：；乙车的行驶速度为：，
∵从乙车出发到甲车到达城车站这一时间段，两车相距，
∴设乙车出发时间为，
当，即两车都在运动时，，
解得或，
当时，此时时间为；当时，此时时间为；
当时，乙车到达城，甲车还在行驶，，
解得，
此时时间为；
综上所述，所有的时间点为：或或．
10． 6 4
解：（1）∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为，根据图象可知，当时，，
∴，
∵点为的中点，
∴．
（2）由图象可知，当运动时间时，最小，即最小，
∴此时，
∴如图所示，此时点P运动的路程为，
由（1）可知，，
∴，
在中，，即．
三、解答题
11．（1）解：由表格可知，存在两个变化的量：海拔和空气含氧量. 海拔主动发生变化，空气含氧量随海拔的变化而变化， 因此反映了海拔和空气含氧量两个变量之间的关系，自变量是海拔，因变量是空气含氧量；
（2）解：读取表格对应数据可得， 在海拔的地方，空气含氧量是， 在海拔的地方，空气含氧量是
（3）解：读取表格可得，海拔处空气含氧量为，海拔处空气含氧量为，
是和的中间值，
取两者平均值估算，得，
因此估计海拔处的空气含氧量约为．
12．（1）解：由表可知，弹簧原长为，所挂物体每增加弹簧伸长，
y关于x的函数解析式．
（2）解：当时，，
当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为；
（3）解：当时，则，
解得，
此时弹簧所挂物体质量为．
13．（1）解：∵点运动的路程为，的面积为，
∴根据图象可知，的面积是关于点运动的路程的函数，
∴自变量为，
故答案为：；
（2）解：根据图象可知，点运动的路程时，的面积为，
故答案为：；
（3）解：根据图象可得：，此时为，
∴，即，解得：，
由图象可得：，
则．
14．（1）解：甲行走的速度为，乙行走的速度是
（2）解：由甲乙的速度可得，，
当时，则，
解得，
此时
∴图中点表示的实际意义为：甲、乙两个机器人在距离起点米处相遇；
（3）解：当时，甲机器人走了
∴时，甲、乙不可能相距；
当时，则，
解得或（舍去）；
当时，，
解得或（舍去）
综上：当甲出发秒或秒时，甲、乙相距．
15．（1）由图象得，①由图2，当时，；摩天轮转一圈需要；
故答案为：54，6；
②在3到6分钟时，随着时间的增加，摩天轮上点离地面高度的变化趋势是减小；
故答案为：减小；
（2）由图可知，点离地面的高度的最大值为70，最小值为5
∴半径为；
16．（1）解：长方形中，，，
，
当动点P在线段上运动时，，保持不变；
由图3知，动点Q到达点A时，x的值为28；
（2）解：由图2得，点P到达点B所用时间为：，
，
解得；
由图3得，点Q从点C到点A所用时间为： ，
，
解得；
（3）解：由题意知，当时，点P到达点B，时，点P到达点C，时，点P到达点D，
当时，点Q到达点C，时，点Q到达点B，时，点Q到达点A，
结合图2，3，可得：
当时，，，
令，得：，
解得；
当时，，，
满足，
综上可得，x的取值范围为或；
（4）解：设动点P，Q走过的路程为，，
当时，
，，
；
当时，
，
，
当时，，
解得（舍去），
当时，，
解得，
综上可得，当或时，P、Q两个动点所走过的路程比为．

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