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第二章《有理数及其运算》暑假单元自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．的绝对值是( )
A． B． C． D．
2．5月12日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，将卫星精准送入预定轨道，发射任务圆满成功．若向上飞行5千米记作千米，向下降落3千米记作（ ）
A．千米 B．千米 C．千米 D．千米
3．2026年河南文旅市场持续升温，一季度全省文旅总收入约亿元，数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（ ）
城市 北京 广州 重庆 哈尔滨
平均气温/
A． B． C． D．
5．计算（ ）
A． B．14 C． D．6
6．我国有世界上海拔最高及唯一一座位于海平面以下的植物园，已知香格里拉高山植物园是世界上海拔最高的植物园，其最高海拔为3600米，而吐鲁番沙漠植物园的平均海拔约为米，则香格里拉高山植物园的最高海拔与吐鲁番沙漠植物园的平均海拔之差为（ ）
A．90米 B．3510米 C．3600米 D．3690米
7．我们常用的十进制数，如，我国古代易经一书记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图，一位母亲在如下排列的绳子上打结，并采用七进制（如），用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）天．
A． B． C． D．
8．若有理数，z满足，，，且，，则的值为（ ）
A．或 B．或6 C．或0 D．4或
9．若，，且，则等于（ ）
A． B． C．1 D．
10．有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列各式一定成立的个数有（ ）
①；②；③；④．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若温度上升5℃记作，则温度下降9℃记作________℃．
12．根据苏州市文化广电和旅游局及官方媒体发布的最新数据，2026年春节期间（含除夕至正月十五或法定假期延长段，具体统计口径为春节假日期间），苏州市各景区共接待游客约为17500000人次，可用科学记数法表示为__________人次．
13．下列各数：，，，，中，负数的个数是_____．
14．观察下列等式：，，，，，，，…通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是______．
15．《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张．”意思是，在用算筹计数时，分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．而在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法．如：“”表示，则“”表示______．
16．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是________（填序号）．
①；②；③；④．
三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）
17．计算：
(1)． (2)．
18．把下列各数的序号填在相应的大括号内：
①12，②．③，④，⑤0，⑥，⑦3.14，⑧；⑨．
(1)正有理数集合；｛____________________…｝
(2)负有理数集合：｛____________________…｝
(3)整数集合：｛____________________…｝
19．小明同学在黑板上计算“”时，他的解答过程如下：
解： ……………………第一步 ………………………………第二步 …………………………………第三步
解答下列问题：
(1)同学们发现小明的解答过程存在错误，请你指出他是在哪一步出现错误的？并写出正确的解答过程；
(2)计算：．
20．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是．
(1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________；
(2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来．
2.5，，，．
21．科技的发展给人们的生活带来了巨大的变化，许多农商利用网络对产品进行销售．小王把自家种的柚子放在网上销售，计划每天销售100千克，但每天的销售量与计划销售量相比有出入，如下表是第一周柚子的销售情况（超过计划量记为正，不足计划量记为负，单位：千克）．
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值
(1)第一周柚子销售量最多的一天比最少的一天多销售多少千克？
(2)若小王按8元/千克进行包邮销售，平均运费为3元/千克，则小王第一周销售柚子一共盈利多少元？
22．哈尔滨红肠是全国驰名的哈尔滨特产．某品牌哈尔滨红肠计划在国庆节期间开展一系列优惠活动，其中，针对一款原价48元/盒的哈尔滨红肠推出了两种优惠方案（两种方案只能选择一种）．方案一：每盒按九折销售．方案二：每买5盒，送1盒．
(1)李阿姨需要买4盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案一，李阿姨节约多少钱？
(2)王阿姨需要买8盒这种哈尔滨红肠，她选择了方案二，相当于每盒单价多少元？
(3)刘阿姨有一张满888元减168元的优惠券，这张优惠券不可与上述方案同享．刘阿姨需要买20盒哈尔滨红肠，怎样买最划算？写出判断过程．
23．综合与实践
活动主题 进位制的认识与探究
背景 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统、约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几，为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法，十进制数一般不标注基数．
素材一 十进制数，记作345； 六进制数，记作； 说明：各进制之间可以进行转化，如：六进制数转化成与其相等的十进制数，只要将六进制数的每个数字，依次乘6的相应正整数次幂（指数比数的位数少1），然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数
素材二 将十进制数化为与其相等的六进制数，用十进制的数除以6，然后将商继续除以6，直到商小于6，这个商作为最下面的余数，将最后的商与各次所得的余数按倒序排列即可．如： ……3（第1位余数）0（第1位余数）……3（第2位余数）1（第2位余数）1……1（最后的商为1）11（最后的商为1）
根据以上材料，解决下列问题：
(1)将二进制数与五进制数转化成为十进制数：______，______；
(2)将十进制数13化成二进制数：______；
(3)利用二进制四则运算法则进行计算： ______；______；
24．【资料阅读】史料：如图1，是我国南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》一书中出现的，称为“杨辉三角”据资料记载，此图是杨辉取自贾宪所著《释锁算书》，故也称“贾宪三角”，欧洲人帕斯卡在1654年也有类似的发现，称为“帕斯卡三角形”，比杨辉迟393年，比贾宪迟600年，杨辉三角是一种离散型数与形的结合，把组合数内在的一些规律直观地从图形中体现了出来，是中国古代数学的杰出研究成果之一．
规定：若，则．
(1)【问题探究】将“杨辉三角”简化为图2，按照规律：
①第8行添加的数分别为_____；（相邻两数之间要用“，”分隔开）
②第100行的数之和用幂可以表示为_____．
(2)如图3，分别画出7条斜线，并计算出了每条斜线经过的数之和．若继续画出第10条斜线，该直线经过的数之和为_____．
(3)【拓展延伸】结合“问题探究”中问题（2）揭示的规律，作如下正方形（数字即为正方形的边长）：
利用上面的正方形按一定规律建构如下长方形，并依次记为长方形①，长方形②，长方形③，长方形④．
按照这样的规律继续建构长方形，则长方形 的周长为______．
参考答案
一、选择题
1．A
的绝对值是
2．B
解：∵题目规定向上飞行记为正，向下与向上是一对相反意义的量，
∴向下降落应记为负，
∴向下降落3千米记作千米．
3．B
解：亿．
4．D
解：四个城市的平均气温分别为，，，.
∵ 正数大于一切负数，
∴ 和都大于两个负数，只需比较两个负数的大小.
∵ ，，且，
∴ 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得.
∴ 最低气温是；
5．C
解：
．
故选：C．
6．D
解：香格里拉高山植物园最高海拔为米，吐鲁番沙漠植物园平均海拔为米，
∴海拔之差为：（米）．
7．C
解：据图可知，从左向右，四根绳子的结数分别是、、、，
则孩子出生的天数为．
8．A
解：∵，
∴或，
∵ ，
∴ 或，
∵ ，
∴或，
∵ ，
∴ ，
当 时，，成立；
当 时，，不成立；
当 时，，成立；
当 时，，不成立，
∴ 可能情况：或，
∵ ，
∴ ，即，
又∵，
∴ ，
当 时，；
当 时，，
∴ 的值为或，
故选A．
9．B
解：∵，，
∴，，
①当，时，，符合题意，此时；
②当，时，，不符合题意，舍去；
③当，时，，不符合题意，舍去；
④当，时，，符合题意，此时；
∴综上所述，．
故选：B．
10．B
解：由数轴可知：，且，
∴，故①正确；
，故②正确；
，故③正确；
，故④错误．
综上所述，一定成立的有①②③，共3个．
二、填空题
11．
解： 温度上升记作，
温度下降记作．
12．
解：．
13．3
解：，是负数；
，是正数；
，是负数；
，是正数；
，是负数．
综上，负数共有3个．
14．4
解：观察给出的等式，，，，，…，
∴以2为底的幂的个位数字每4个数为一个循环组依次循环，循环顺序为，，，．
，
∴的个位数字与的个位数字相同，是．
15．
解：根据题意，算筹计数规则为：分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示．由“”表示可知：百位为两根竖线，表示数字；十位为三根横线，表示数字；个位为上面一横下面三竖，表示数字．
观察“”，其算筹排列与“”相同，即百位为，十位为，个位为．根据“在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法”，“”中个位算筹上斜放了一支算筹，表示该数为负数．所以“”表示的数是．
16．④
解：由数轴可知，，
对于①，∵在原点左侧，，故①错误
对于②，∵，，∴，根据有理数加法法则，∴，故②错误
对于③，∵，∴，故③错误
对于④，∵，，根据有理数乘法法则，∴，故④正确
综上所述，结论正确的是④
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：π是无限不循环小数，不属于有理数，正有理数是大于0的有理数，
因此正有理数集合：｛①，④，⑦，⑨…｝.
（2）解：负有理数是小于0的有理数，因此负有理数集合：｛②，③，⑥，…｝；
（3）解：整数包括正整数，0和负整数，因此整数集合：｛①，③，⑤，…｝．
19．(1)小明在第一步出现错误；正确计算过程为：
；
（2）解：
．
20．(1)；4；
(2)，
21．（1）解：（千克）．
答：第一周柚子销售量最多的一天比最少的一天多销售20千克；
（2）解：
（元）．
答：小王第一周销售柚子共盈利3590元．
22．（1）解：（元）
（元）
节约钱数为（元）
答：李阿姨节约19.2元．
（2）解：∵方案二每买5盒，送1盒，王阿姨需要买8盒，
∴可参与1次“买5送1”活动得到6盒（支付5盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱，
∴（元）
∴（元）
答：相当于每盒单价42元．
（3）解：①方案一总价：（元）
②方案二：可参与3次“买5送1”活动得到18盒（支付15盒的钱），再另购2盒，共需支付盒的钱，
（元）；
③优惠券方案：（元），
，可减168元．
（元）
∵，
∴使用满888元减168元优惠券最划算．
答：使用满888元减168元优惠券购买最划算．
23．（1）解：，
；
（2）解：，
，
，
故；
（3）解：
；
．
24．（1）解：①观察杨辉三角可发现下一行数字为上一行对应空格两边数字之和， 所以第8行添加的数分别为1，8，28，56，70，56，28，8，1；
②观察发现
第0行的和为，
第1行的和为，
第2行的和为，
第3行的和为，
第4行的和为，
故可得第100行的数之和为；
（2）解：观察可知，第1条斜线经过的数之和为1，
第2条斜线经过的数之和为1，
第3条斜线经过的数之和为，
第4条斜线经过的数之和为，
第5条斜线经过的数之和为，
第6条斜线经过的数之和为，
第7条斜线经过的数之和为，
发现从第3条开始，每条斜线经过的数之和都为前两条斜线的数据之和，
所以第8条斜线经过的数之和为，
第9条斜线经过的数之和为，
故第10条斜线经过的数之和为；
（3）解：观察：长方形①的长与宽的和为，
长方形②的长与宽的和为，
长方形③的长与宽的和为，
长方形④的长与宽的和为，
发现后一个长方形的长与宽之和是前两个长方形的数据之和，
所以长方形⑤的长与宽的和为，
长方形⑥的长与宽的和为，
长方形⑦的长与宽的和为，
长方形⑧的长与宽的和为，
长方形⑨的长与宽的和为，
长方形⑩的长与宽的和为，
长方形 的长与宽的和为，
故长方形 的周长为．

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