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4.3.1.1等比数列的概念
A组 基础训练
1．在等比数列{an}中，已知a1＝32，公比q＝，则a6等于(　　)
A．1 B．－
C．－1 D．
2．2－与2＋的等比中项是(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－1或1
3．在等比数列{an}中，已知a1＝2，公比q＝2，若an＝16，则n为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
4．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
5．(多选)在等比数列{an}中，已知a3＋a4＝40，a3－a5＝30，则(　　)
A．公比为
B．a2 023＝16a2 025
C．当n≥6时，an<
D．{an}的前10项积为1
6．“m＝3”是“1，m，9成等比数列”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知a，b，c，d成等比数列，给出下列三个数列：①a2，b2，c2，d2；②ab，bc，cd；③a－b，b－c，c－d.其中一定是等比数列的数列个数为(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
8．已知等比数列{an}的公比不为1，且a3，a2，a4成等差数列，则数列{an}的公比为__________．
9．在320与5之间插入5个数，使这7个数成等比数列，求所插入的5个数．
B组 拔高提升
1．已知数列{an}为等比数列，则“公比q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．(多选)已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的有(　　)
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等比数列，则成等比数列
C．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等比数列
D．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
3．(多选)将25个数排成5行5列：
a11　a12　a13　a14　a15
a21　a22　a23　a24　a25
a31　a32　a33　a34　a35
a41　a42　a43　a44　a45
a51　a52　a53　a54　a55
已知第一行a11，a12，a13，a14，a15成公差为d的等差数列，而每一列a1j，a2j，a3j，a4j，a5j(1≤j≤5)都成公比为q的等比数列．若a24＝2，a41＝－1，a43＝5，则下列结论一定正确的是(　　)
A．d＝
B．q＝±2
C．a22·a44＝
D．a44＝8
4．在数列{an}中，a1＝4，an＋1＝3an－2，则an＝________．
5．已知一个等比数列的各项均为正数，且数列中的任何一项都等于它后面两项的和，则该数列的公比q＝________．
6．在各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前3项成公差为d(d>0)的等差数列，后3项成公比为q的等比数列．若a4－a1＝88，求q的所有可能的值构成的集合．
4.3.1.1等比数列的概念
A组 基础训练
1．C　解析：a6＝32×＝－1．故选C．
2．D　解析：由题意可设2－与2＋的等比中项是m，则m2＝＝1，解得m＝－1或m＝1．故选D．
3．C　解析：根据an＝a1qn-1，得16＝2×2n-1，解得n＝4．故选C．
4．D　解析：由等比数列的性质得a3·a9＝≠0，
因此a3，a6，a9一定成等比数列．
故选D．
5．ABD　解析：设等比数列{an}的公比为q．
对于A，由得
解得故A正确；
对于B，a2 025＝a2 023q2＝a2 023，则a2 023＝16a2 025，故B正确；
对于C，an＝a3qn-3＝211-2n，当n≥6时，11－2n≤－1，则an≤2-1＝，故C错误；
对于D，由a5a6＝2×5＝1，故D正确．
故选ABD．
6．B　解析：1，m，9成等比数列，等价于m2＝1×9，解得m＝±3.
而“m＝3”是“m＝±3”的充分不必要条件，
所以“m＝3”是“1，m，9成等比数列”的充分不必要条件．
故选B．
7．C　解析：若a，b，c，d成等比数列，设公比为q，则a，b，c，d均不为0，且＝q，
则＝q2，故a2，b2，c2，d2成等比数列，且公比为q2；
＝q2，因此ab，bc，cd成等比数列，且公比为q2；
a－b＝a(1－q)，b－c＝b(1－q)＝aq(1－q)，c－d＝c(1－q)＝aq2(1－q)，当q≠1时，a－b，b－c，c－d成等比数列，且公比为q，但当q＝1时，a－b，b－c，c－d不是等比数列．故选C．
8．－2　解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠1)．
由已知条件可知2a2＝a4＋a3，
又a3＝a2·q，a4＝a2·q2，且an≠0，代入到2a2＝a4＋a3，
可得2a2＝a2·q2＋a2·q，化简得q2＋q－2＝(q－1)(q＋2)＝0，
解得q＝－2或q＝1(舍)．
9．解：设所成的等比数列的公比为q，则5＝320q6，即q6＝，解得q＝±.
当q＝时，插入的5个数为160，80，40，20，10；
当q＝－时，插入的5个数为－160，80，－40，20，－10.
B组 拔高提升
1．D　解析：等比数列{an}为递增数列的充要条件是或故“公比q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D．
2．BC　解析：对于A，1，2，3是等差数列，但是1，4，9不是等差数列，故A不正确；
对于B，a，b，c成等比数列，则b2＝ac，所以，所以成等比数列，故B正确；
对于C，a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，所以22b＝2a＋c，即(2b)2＝2a·2c，故C正确；
对于D，a2，b2，c2成等比数列，所以(b2)2＝a2c2，所以b2＝ac或b2＝－ac，若b2＝－ac，则a，b，c不成等比数列，故D不正确．
故选BC．
3．ABD　解析：因为第一行a11，a12，a13，a14，a15成公差为d的等差数列，每列成公比为q的等比数列，
则a24＝2＝a14q＝(a11＋3d)q，a41＝－1＝a11q3，a43＝5＝a13q3＝(a11＋2d)q3，
联立以上式子，可解得2q2＝－1＋9＝8，即q＝±2．故B正确．
将q＝±2代入前面式子，
当q＝2时，d＝，
此时a44＝a14q3＝1×23＝8，
a22＝a12q＝，
则a22·a44＝×8＝4≠；
当q＝－2时，d＝－，此时a44＝a14q3＝8，a22＝a12q＝，则a22a44＝×8＝4≠.
综上可得C错误，A，B，D正确．
故选BD．
4．3n＋1　解析：因为an＋1＝3an－2(n∈N*)，a1＝4，所以an＋1－1＝3(an－1)，所以＝3，所以数列{an－1}是首项为3，公比为3的等比数列，所以an－1＝3·3n-1＝3n，所以an＝3n＋1.
5．　解析：设该等比数列为{an}，公比为q．依题意，得an＝an＋1＋an＋2，所以an＝anq＋anq2.
因为an＞0，所以q2＋q－1＝0，
解得q＝．
6．解：易知四个数依次为a1，a1＋d，a1＋2d，a1＋88，其中a1，d为正偶数．
因为后3项成公比为q的等比数列，
所以(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋88)，整理得a1＝>0，
所以(d－22)(3d－88)<0，解得22所以d可能的值为24，26，28.
当d＝24时，a1＝12，q＝；
当d＝26时，a1＝(舍去)；
当d＝28时，a1＝168，q＝.
综上可得，q的所有可能的值构成的集合为.

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