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3.1.1函数的概念 学习案
一、基础梳理
【1】函数的概念
函数的定义 一般地，设A，B是___________，如果对于集合A中的______________________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有______________________和它对应，那么就称___________为从集合A到集合B的一个函数
函数的记法 ___________
定义域 x叫做___________，x的___________叫做函数的定义域
函数值 与___________相对应的y值
值域 函数值的集合______________________叫做函数的值域，显然值域是集合B的子集
（2）同一个函数：如果两个函数的______________________相同，并且______________________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
（3）函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可．
【答案】 非空的实数集 任意一个数x 唯一确定的数y 自变量 取值范围 的值 定义域 对应关系
【2】对函数概念的深化学习
（1）要构成一个函数需要满足怎样的对应关系？
【答案】函数定义域中的每个值，都有唯一确定的函数值与之对应.
（2）如何理解构成函数的三个要素？
【答案】一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域．
①定义域
函数的定义域是自变量的取值范围．
在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约.
②对应关系
对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域中唯一的y与之对应．同一“f”可以“操作”不同形式的变量．
③值域
函数值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定了，它的值域也就随之确定，注意值域是集合B的子集．
（3）已知变量x，y满足，问y是x的函数吗？x是y的函数吗？
【答案】y不是x的函数，当时，有两个值与之对应，不符合函数的定义；
x是y的函数，因为对任意实数值，都有唯一的值与之对应.
（4）“”表示的是“y等于f与x的乘积”吗？
【答案】不是．
可视为自变量x在对应关系f作用下的对应量．仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号外，还常用，，等来表示函数
（5）与有何区别与联系？
【答案】与的区别与联系：表示当时，函数的值，是一个常量，
而是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，是的一个特殊值．
【3】求函数定义域，即令函数有意义，目前所学的有哪些？分母______________
偶次根式被开方数______________ 幂（an，a和n的条件）______________
【答案】 不等于零 大于或等于零 时中.
【4】两类抽象函数的定义域的求法
(1)已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中______，从中解得的取值集合即为的定义域.
(2)已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，______即为的定义域.
【答案】 的值域
【5】同一函数（相等函数）：如果两个函数的________相同，并且__________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一函数或相等函数．
【答案】 定义域 对应关系
【6】区间的概念
（1）闭区间：_________；开区间___________.
【答案】
（2）半开半闭区间：_______；_________，其中.
【答案】
（3）无穷区间：________，____________，________ ，_________ ，_______ .
【答案】
考点归纳
①函数关系的判断；②求函数值；③已知函数值求自变量或参数；④区间的认识；⑤具体函数的定义域；⑥复合函数的定义域；⑦实际问题中的定义域；⑧一次，二次，反比例等常见函数的值域；⑨其他值域问题；⑩同一函数问题.
巩固训练
一、单选题
1．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（ ）
A．，对应关系
B．，对应关系
C．，对应关系
D．，对应关系
2．设集合，，则从到的函数可能为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，.若，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．区间对应的不等式是（ ）
A． B． C． D．
6．函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
二、多选题
9．下列函数中，表示同一个函数的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是（　　）
A． B．
C． D．
11．下列与函数有关的命题中正确的是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．函数的值域为
C．函数的定义域为，则函数的定义域为
D．函数的值域为，则实数的取值范围为
三、填空题
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________．
13．如图，某小区有一块底边和高均为40m的锐角三角形空地，现规划在空地内种植一边长为x（单位：m）的矩形草坪（阴影部分），要求草坪面积不小于，则x的取值范围为______.
14．函数，的值域是___________.
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)求的值；
(3)当时，求的值.
16．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)求函数的值域.
17．（1）求函数 的定义域；
（2）求 的定义域；
（3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域
18．求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
19．已知函数；
（1）求，的值．
（2）求证：是定值．
（3）求的值．
参考答案
《2026年7月8日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D B C A C A B AC ACD BC
1．B
【分析】根据函数的定义逐一判断即可.
【详解】A：集合中的元素，按照对应关系在集合中没有实数与之对应，所以不是的函数；
B：集合中的任何实数，按照对应关系在集合都有唯一的实数与之对应，所以是的函数；
C：集合中非的实数，按照对应关系在集合都有两个实数与之对应，所以不是的函数；
D：集合中的正奇数，按照对应关系在集合中没有自然数与之对应，所以不是的函数，
故选：B
2．D
【分析】根据函数的定义判断D，利用特殊值判断A、B、C.
【详解】对于A：，，则，故A错误；
对于B：，，则，故B错误；
对于C：，，则，故C错误；
对于D：，当时，，即，
又，
所以为从到的函数，故D正确.
故选：D
3．B
【详解】由条件可知，，即，，得，
解得：.
4．C
【分析】先计算，得出，再根据函数的定义即可写出所有符合条件的函数.
【详解】令，则，
则满足条件的有：
；；，
故满足条件的有个.
故选：C
5．A
【分析】利用区间表示括号的意义即可作出判断.
【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是，
故选：A.
6．C
【详解】由题意可得，解得.
7．A
【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域.
【详解】令，解得，令，解得，
由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能；
而，的定义域不可能是，A不可能.
故选：A
8．B
【分析】由函数有意义的条件，结合函数的定义域即可求解.
【详解】函数的定义域为，函数有意义，
则有且，解得且，
所以函数的定义域为且.
故选：B
9．AC
【详解】对于选项A：
∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数.
对于选项B：
∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数.
对于选项C：
∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数.
对于选项D：
∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数.
综上，正确选项为A、C.
10．ACD
【分析】分别求出各选项中函数的定义域与值域，可得符合题意的选项.
【详解】对于A：的定义域与值域均为R，故A符合；
对于B：的定义域为，值域为，故B不符合；
对于C：的定义域与值域均为，故C符合；
对于D：的定义域为，
值域：令，则，原式为，
根据二次函数的性质可知，，故D符合.
故选：ACD.
11．BC
【分析】根据同一函数的定义，结合分式的运算性质、复合函数的定义域的性质、二次根式的性质逐一判断即可.
【详解】选项A，有意义，而没有意义，所以不是同一个函数，A错误；
选项B，，所以的值域为正确：
选项C，函数的定义域为，则定义域为，所以函数的定义域为，C正确：
选项D，当时，的值域为，所以D错误
故选：BC
12．
【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解.
【详解】由题意得，故，
令，解得，
令得或，
综上，，函数定义域为.
13．
【分析】由三角形相似得，再根据面积不小于，即可求得x的取值范围.
【详解】设矩形另一边的长为m，
由三角形相似得：，（）,
所以,
所以矩形草坪的面积，
解得：.
故答案为：
14．
【分析】根据自变量取值代入计算即可得出结果.
【详解】将分别代入计算可得.
所以函数的值域为.
故答案为：
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合根式和分式的意义列式求解即可；
（2）根据题中函数解析式求，即可得结果；
（3）由题意可得，代入运算求解即可.
【详解】（1）令，解得且，
所以函数的定义域为.
（2）因为，
则，，
所以.
（3）当时，则，
所以.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）代入解方程即可；
（2）求出二次函数最小值，再利用不等式性质求出值域即可.
【详解】（1）函数，
由，得，
即，所以.
（2）函数的定义域为R，
，当且仅当时取等号，
因此，
所以的值域为.
17．（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由根号下的二次式大于零解不等式，得出定义域范围；
（2）分别考虑零次幂的底数不为零与分母不为零，联立得到定义域；
（3）将代入已知的定义域区间，解出的范围.
【详解】（1）要使函数有意义，即，
解不等式得或，
故函数的定义域为；
（2）由题意得，即，
故所求函数的定义域为.
（3）由，得，
故的定义域为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）分别将，代入函数的解析式，求得相应的函数值，即可求解；
（2）化简函数为，结合反比例函数的性质，即可求解.
【详解】（1）因为，代入求得，所以函数的值域为.
（2）由函数 ，因为，可得，
所以函数的值域为．
19．（1）1；1；（2）证明见解析；（3）2018.
【分析】（1）代入计算即可求得结果．
（2）利用已知条件化简即可得为定值．
（3）利用（2）的结论计算即可.
【详解】解：(1)因为，
所以
(2)证明：.
(3)由(2)知，所以，
所以＝2018.试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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