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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§1.2一定是直角三角形吗？
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）勾股数又称毕达哥拉斯三元数，是指三个满足勾股定理的正整数，下列属于勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
解：选项A，，不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意．
选项B，，，，故这组数不是勾股数，不符合题意．
选项C，，，三个数均为正整数且满足勾股定理，故这组数是勾股数，符合题意．
选项D，，，，故这组数不是勾股数，不符合题意．
2．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．，， B．，， C．1，，2 D．，，
解：勾股数要求三个数均为正整数，选项A中三个数为小数，选项C中不是正整数，∴排除A,C；
对选项D：，，，不符合要求，排除D；
对选项B：，且三个数均为正整数，符合勾股数定义，因此选B．
3．（本题3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，2，2 B．2，3，4 C．1，， D．1，2，3
解：A、，故选项A不符合题意；
B、 ，故选项B不符合题意；
C、，故选项C符合题意；
D、，故选项D不符合题意．
4．（本题3分）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，12 C．5，12，13 D．2，2，2
解：A、，，，不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、，，即，能构成直角三角形，符合题意；
D、，，，不能构成直角三角形，不符合题意；
5．（本题3分）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
解：设正方形地砖边长为1，
，
，
，
在中，
，，
，
是直角三角形．
故选：A
6．（本题3分）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
解:如图所示，
∴这样的点C共有5个．
故选：A．
7．（本题3分）在中，，，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
解：∵在中，，，，
∴，
∴是直角三角形．
8．（本题3分）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：∵三角形三条边长之比为
∴设三边长分别为，，
∵三角形周长为
∴
解得
∴三角形三边长分别为，，
∵
∴该三角形是直角三角形，两条直角边为和
∴面积为．
9．（本题3分）的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
解：选项A， 展开等式得，整理得，
根据勾股定理逆定理，是直角三角形，故选项A不符合题意．
选项B，
设，则，，
∴，
∴是直角三角形，故选项B不符合题意．
选项C ，∵，，，
，
是直角三角形，故选项C不符合题意．
选项D ，，，
∴ ， ，
，
不是直角三角形，故选项D符合题意．
10．（本题3分）以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．4，5，6 C．，， D．，，
解：A 、∵，，，∴ 不能构成直角三角形，不符合题意；
B 、∵，，，∴ 不能构成直角三角形，不符合题意；
C 、∵ ，，，∴ 不能构成直角三角形，不符合题意；
D 、∵ ，，，∴ 能构成直角三角形，符合题意．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________．
解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论：
当为最长边时，根据勾股定理得：
由，得 ，是正整数，符合要求；
当为最长边时，根据勾股定理得：
因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去．
12．（本题3分）木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形．
解：由题意可知，三角形三边长分别为，，．
该三角形是等腰三角形．
又，，
．
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形．
13．（本题3分）图中，是直角三角形的序号是________．
解：三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意；
三角形的三边长分别为，，3，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意；
三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意；
三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意；
三角形的三边长分别为，，，因为，所以是直角三角形，故符合题意；
三角形的三边长分别为，，，因为，所以不是直角三角形，故不符合题意；
故答案为：．
14．（本题3分）已知，，，，，连接，则的度数为______．
解：在中，，
∵，
∴．
15．（本题3分）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个．
解：由题意可知：第1个图形中正方形有个，
第2个图形中正方形有个，
第3个图形中正方形有个，
第4个图形中正方形有个，
……，
由此推出第n个图形中正方形有个，
∴第6个图形中正方形有个，
∴第6个图形里的正方形比第4个图形多个．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）写出3组不同的，每组中都含60的勾股数．
(1)60，_____，_____；
(2)60，_____，_____；
(3)60，_____，_____．
（1）解：将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大20倍即可得：60，80，100；
故答案为：80，100；
（2）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大15倍即可得：45，60，75；
故答案为：45，75；
（3）将3，4，5这一组勾股数中的各个数都扩大12倍即可得：36，48，60；
故答案为：36，48．
17．（本题7分）如图，在三角形支架中，
(1)求的长；
(2)判断支架外框的形状，并说明理由．
（1）解：∵，
∴，
在中，，，
∴
在中，，
∴
∴的长为；
(2)为直角三角形，理由如下：
由（1）知，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
∴是直角三角形．
18．（本题8分）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
(1)求的面积；
(2)猜想的形状，并说明理由．
解（1），
，
．
（2）是直角三角形，理由如下：
由图知，，，，
，，
，
是直角三角形．
19．（本题8分）如图，在四边形中，．
(1)连接，求的长；
(2)求四边形的面积．
（1）解：∵在中，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
．
20．（本题8分）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且．
(1)求证：；
(2)求修建的桥梁的长．
（1）证明：由题可知，，．
∵，
即，
∴是直角三角形，且，
∴．
（2）解：∵，，，，
∴．
答：修建的桥梁CD的长为．
21．（本题9分）如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)求的面积．
(1)证明：∵是的中线，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
∵是的中线，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
．
22．（本题9分）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中．
【探究1】
观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
(1)如果勾为7，则股___________，弦___________；
(2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________；
【探究2】
观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过．
(3)___________，___________；
(4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________．
解（1）勾为7时，，；
（2）勾为3时，股=，弦=；
勾为5时，股=，弦=；
可归纳出规律： 当勾为奇数时，股，弦；
（3）：，，；
：，，；
：，，；
可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=．
∵弦长为，
∴，解得，
∴勾，股；
（4）由（3）可得规律：当勾为偶数为正整数）时，股=，弦=．
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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§1.2一定是直角三角形吗？
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）勾股数又称毕达哥拉斯三元数，是指三个满足勾股定理的正整数，下列属于勾股数的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．（本题3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．，， B．，， C．1，，2 D．，，
3．（本题3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，2，2 B．2，3，4 C．1，， D．1，2，3
4．（本题3分）以下列各数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．6，8，12 C．5，12，13 D．2，2，2
5．（本题3分）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对
6．（本题3分）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7．（本题3分）在中，，，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
8．（本题3分）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
10．（本题3分）以下列各组长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．4，5，6 C．，， D．，，
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________．
12．（本题3分）木工用三根木条围框架，长度分别为、、2，这个框架是_____三角形．
13．（本题3分）图中，是直角三角形的序号是________．
14．（本题3分）已知，，，，，连接，则的度数为______．
15．（本题3分）“勾股树”是根据勾股定理一步步重复画出来的图形，因为形状像一棵树而得名．如图是勾股树的形成过程，按照这个规律，第6个图形里的正方形比第4个图形多_______个．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）写出3组不同的，每组中都含60的勾股数．
(1)60，_____，_____；
(2)60，_____，_____；
(3)60，_____，_____．
17．（本题7分）如图，在三角形支架中，
(1)求的长；
(2)判断支架外框的形状，并说明理由．
18．（本题8分）如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．
(1)求的面积；
(2)猜想的形状，并说明理由．
19．（本题8分）如图，在四边形中，．
(1)连接，求的长；
(2)求四边形的面积．
20．（本题8分）如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且．
(1)求证：；
(2)求修建的桥梁的长．
21．（本题9分）如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)求的面积．
22．（本题9分）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中．
【探究1】
观察，，…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为3时股，弦；勾为5时股，弦；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
(1)如果勾为7，则股___________，弦___________；
(2)如果用n（，且n为奇数）表示勾，请用含有n的式子表示股和弦，则股=___________，弦=___________；
【探究2】
观察，，，…，，…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从6起也没有间断过．
(3)___________，___________；
(4)如果用（m为正整数且）表示勾，请用含有m的式子表示股和弦，则股___________，弦___________．
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