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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§1.3勾股定理的应用
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6
3．（本题3分）《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ）
A．4米 B．8米 C．9米 D．7米
6．（本题3分）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小时开始受到台风影响．
A． B． C．6 D．
7．（本题3分）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（ ）
A．60m B．80m C．100m D．160m
8．（本题3分）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（ ）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里
10．（本题3分）如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向．
12．（本题3分）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____．
13．（本题3分）一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率是__________．
14．（本题3分）如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______．
15．（本题3分）如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？
17．（本题7分）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为．
(1)求快递投放点B，C之间的距离；
(2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离．
18．（本题8分）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域．
(1)求监测点A与监测点B之间的距离．
(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由．
19．（本题8分）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米．
(1)求梯子的底端距墙角多少米？
(2)如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长．
20．（本题8分）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，
(1)求证：；
(2)请你计算点，之间的距离．
21．（本题9分）综合与探究
定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数．
2 1 3 4 5
3 1 8 6 10
3 2 5 12 13
4 1 15 8 ①
4 2 12 ② 20
4 3 ③ 24 25
… … … … …
（1）请写出表中①，②，③上的数．
（2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤．
（3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整．
(1)①__________；②__________；③__________；
(2)④__________；⑤__________；
(3)⑥__________．
22．（本题9分）综合与实践
【项目主题】
几何模型在最短路径问题中的应用
【项目准备】
求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？”
解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长．
(1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①__________；②__________；③__________．
【项目应用】
(2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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【北师大版八年级数学（上）课时练习】
§1.3勾股定理的应用
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）直角三角形纸片的两直角边长分别为，，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：依题意得：，，，，
设，，
中，，，
解得，．
2．（本题3分）如图，长的梯子斜靠在一竖直的墙边，梯子的底端离墙脚的距离为，则梯子顶端距离地面的高度为（ ）
A．1.8 B．2.4 C．2.5 D．2.6
解：由勾股定理得，．
3．（本题3分）《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为，
最小长度为，
故箭在投壶外面部分的长度可能是，
故选：D．
4．（本题3分）如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（ ）
A． B． C． D．
解：∵舟艇速度为，用时，
∴
∵是礁石到河岸的距离，
∴，即是直角三角形
由勾股定理得：
．
故选：C．
5．（本题3分）如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为（ ）
A．4米 B．8米 C．9米 D．7米
解：楼梯的水平宽度=，
∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，
∴地毯的长度至少为：3+4=7米，
故选D.
6．（本题3分）今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以的速度沿方向移动．已知A市到的距离，如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市经过（ ）个小时开始受到台风影响．
A． B． C．6 D．
解：如图，设台风中心移动到点E时，A市开始受到台风影响，此时，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
时，
即A市经过个小时开始受到台风影响．
故选：D
7．（本题3分）小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（ ）
A．60m B．80m C．100m D．160m
解：由题意可得，小明向正东方向走了
故选：B．
8．（本题3分）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示：

由于圆柱体的底面周长为，
则．
由题意得，，
所以．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是．
9．（本题3分）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（ ）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里
解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里，
，，
，
故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里
则沙田的面积为 （平方里）．
10．（本题3分）如图，中，，，，沿折叠，使点与点重合，则的长为（ ）
A． B． C． D．
解：∵，，，
∴，
∵沿折叠，使点与点重合，
∴，
设，
则，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∴．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）如图，超市在医院的南偏东的方向，且到医院的距离为，公园到医院的距离为．若公园到超市的距离为，则公园在医院的北偏东_________的方向．
解：如图，由题意得，，
∴
∴，
∴
∴，
故公园在医院的北偏东的方向．
12．（本题3分）如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____．
解：设，则，
由折叠可得，
∵，点D为的中点，
∴，
∵，
∴
∴
解得，
∴线段的长为．
13．（本题3分）一个小球在如图所示的地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，则小球停留在阴影区域的概率是__________．
解：设地砖的边长为1，则阴影区域的边长为，
∴总面积，阴影区域的面积，
∴小球停留在阴影区域的概率是．
14．（本题3分）如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______．
解：正方体侧面展开图如图所示，线段即为昆虫沿盒子表面爬行的最短路程，
根据勾股定理得，，
∴昆虫沿盒子表面爬行的最短路程是．
15．（本题3分）如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______．
解：由折叠的性质得，，
∵四边形是长方形 ，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴ ，
在中，由勾股定理得，
∴，解得：（已舍去负值）．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）如图，某港口C在南北方向的海岸线上，快、慢两艘船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，已知快、慢两船每小时分别航行12海里和5海里，2小时后两船分别位于点A，B处，且相距26海里，如果知道快船沿北偏西方向航行，那么慢船沿什么方向航行？
解：由题意知，海里，海里，海里，
∵，，
∴，
∴，
∵快船沿北偏西方向航行，
∴慢船沿南偏西方向航行．
17．（本题7分）如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为．
(1)求快递投放点B，C之间的距离；
(2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离．
（1）解：∵，，，
∴，
∴快递投放点B，C之间的距离为；
（2）解：设，
∴，
在中，，∴，
则有，解得，
∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为．
18．（本题8分）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一个台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一处海港，且点C与A、B两点的距离分别为、，，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域．
(1)求监测点A与监测点B之间的距离．
(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由．
（1）解：依题意得，在中，，，，
，
答：监测点A与监测点B之间的距离为；
（2）解：海港C不会受到台风影响，理由如下：
在中，，
，
，
解得：，
∵
∴海港C不会受到此次台风的影响．
19．（本题8分）如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为2.4米．
(1)求梯子的底端距墙角多少米？
(2)如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米到，梯子底端外移到，求的长．
（1）解：在中，，，，
∴，
答：梯子的底端到墙角的距离为0.7米；
（2）解：根据题意，得，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：的长为0.8米．
20．（本题8分）如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，
(1)求证：；
(2)请你计算点，之间的距离．
(1)证明：∵米，米，米，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且；
(2)点、之间的距离为18米
（2）解：由（1）得是直角三角形，且，
又∵米，
∴米，
∴米，
答：点、之间的距离为18米．
21．（本题9分）综合与探究
定义：一般地，若直角三角形三边长、、都是正整数，那么称、、为勾股数．设、是两个正整数，且，直角三角形三边长、、都是正整数．下表中的，，（、均小于）可以组成一些有规律的勾股数．
2 1 3 4 5
3 1 8 6 10
3 2 5 12 13
4 1 15 8 ①
4 2 12 ② 20
4 3 ③ 24 25
… … … … …
（1）请写出表中①，②，③上的数．
（2）对表中的数据探究发现，，继续探究发现和也可以用含、的代数式表示．请你用含、的代数式分别表示：④，⑤．
（3）某校计划在一块绿地上画出一个直角三角形（如图），该直角三角形三边长为米、米、米，且、、满足（2）中的规律．要求仅在该直角三角形边上种花，且每个顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1米．如果最短边可种8株花，那么该直角三角形上一共可以种植⑥株花．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整．
(1)①__________；②__________；③__________；
(2)④__________；⑤__________；
(3)⑥__________．
（1）解：，，，
当，时，，
①；
当，时，，
②；
当，时，，
③．
（2）解：，且，
，
，
，
，
，．
（3）解：最短边可种株花，且两端都种，
最短边长为（米），
为偶数，而为奇数，
最短边为，即，
，
，
，为正整数且，
，，
解得：，，
，，
三边长分别为米、24米、25米，
每边种花数为边长加，
三边合计（株），
三个顶点各被重复计算一次，
总花数（株）．
22．（本题9分）综合与实践
【项目主题】
几何模型在最短路径问题中的应用
【项目准备】
求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？”
解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长．
(1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①__________；②__________；③__________．
【项目应用】
(2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长．
解（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长．
（2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，，
当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，
过点A作交其延长线于点E，
到的垂直距离为，，，
，
，
从A到B的最短路程是．
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