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河北省盐山中学2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．已知随机变量，若，且，则（ ）
A． B． C．5 D．6
2．下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x（单位：t）与相应的生产能耗y（单位：t标准煤）的几组数据：
3 4 5 6
标准煤 2.5 3 m 4.5
根据散点图分析知x与y线性相关，且求得经验回归方程为，则（ ）
A．x与y负相关 B．
C．回归直线过点 D．时的残差为0.05
3．将数字1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，则该数列为单调数列的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（ ）
A．11 B．10 C．12 D．13
5．已知随机变量的分布列为
1 2 3 6
当在上变化时，的数学期望的变化情况为（ ）
A．单调递增 B．先减后增
C．单调递减 D．先增后减
6．已知变量与变量的关系可以用模型（其中为自然对数的底数）拟合，设，变换后得到一组数：
8 9 10 11 12
2.5 4.5 5 5.5 7.5
则当时，的估计值为（ ）
附：线性回归方程中的系数，．
A． B． C． D．
7．的展开式中的系数为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．援鄂医护人员A，B，C，D，E，F共6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和当地的一位领导共7人站成一排拍照，则领导和队长A相邻且不站两端，B与C相邻，B与D不相邻的排法种数为（ ）．
A．120 B．240 C．288 D．360
二、多选题
9．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（ ）
2 4 6 8 10
2a 0.25 0.1 0.25
A． B．
C． D．
10．已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，剔除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ）
A．变量与具有负相关关系 B．剔除后不变
C．剔除后的回归方程为 D．剔除后相应于样本点的残差为0.05
11．“石头，剪刀，布”游戏起源于中国汉朝，称为“手势令”．游戏规则为：（1）参加游戏的人随机出一种手势，且石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；（2）两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时，都出相同的手势或三种手势都出现为平局．现有个人共举行了局游戏，且各局游戏互不影响，则下列说法正确的有（ ）
A．若，，则只有一人获胜的概率为
B．若，，则平局的概率为
C．若，且规定其中一人连续两局获胜，比赛结束，则恰经过5局比赛结束的概率为
D．若，且规定每局比赛输者淘汰，则恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率为
三、填空题
12．3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格：
项目 常德高腔 常德丝弦 桃源刺绣 安乡木雕 澧水船工号子
志愿者人数 30 60 50 40 20
若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为____________.
13．已知某学校高二年级有男生500人、女生450人，调查该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取24人，则抽取的女生人数为______．
14．某校开展学农活动，举办劳动技能比赛，通过初选，甲、乙、丙、丁、戊名同学进入决赛，决出第名到第名的名次．比赛后甲、乙、丙三人去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不是最差的．”对丙说：“甲比你好．”对这三个回答进行分析，这人的名次排列顺序有____种可能．
四、解答题
15．某同学为了研究两个变量与的相关关系，收集到如下表格的组数据：
x 2 3 4 5 6
y 2 3 5 6 9
(1)从表格中的组数据中随机抽取组，记与相等的组数为随机变量，求的分布列与期望；
(2)根据上表提供的数据，求经验回归直线方程．
参考公式：，．
16．袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)一次取球所得计分介于20分到40分之间的概率．
17．现有高二四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法
（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法
（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法
18．近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的青睐．据统计，2021年12月至2022年5月全国新能源市场三种车型月度零售销量数据如下（单位：万辆）：
12月 1月 2月 3月 4月 5月
轿车 28.4 21.3 15.4 26.0 16.7 21.0
MPV 0.8 0.2 0.2 0.3 0.4 0.4
SUV 18.1 13.7 11.7 18.1 11.3 14.5
(1)从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，求该月零售销量超过这6个月该车型月度零售销量平均值的概率；
(2)从2022年1月至2022年5月中任选3个月份，将其中的月度零售销量相比上个月份增加的月份个数记为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量数据的方差为，同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据的方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）
19．为了某次的航天飞行，现准备从10名预备队员（其中男6人，女4人）中选4人参加航天任务．
（1）若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？
（2）若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？
（3）若选中的四个航天员分配到三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？
参考答案
1．C
解析：因为，
所以，即，解得，
所以，
又，所以.
故选：C
2．C
解析：A：由经验回归方程为，线性系数为，则与正相关，故A错误；
B、C：由，所以，所以回归直线过点，故C正确；
又，解得，故B错误；
D：时，，则残差为：，故D错误.
故选：C.
3．A
解析：1，2，3，4，5这五个数随机排成一列组成一个数列，共有种情况，
其中为单调数列的有2个，即1，2，3，4，5和5，4，3，2，1，
所以概率为.
故选：A
4．C
解析：∵只有第7项的二项式系数最大，∴，∴．
故选：C
5．D
解析：依题意，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以的数学期望是先增后减.
故选：D
6．D
解析：由，所以
根据所给图表可得，，
，
，
所以，
，
所以，
所以时，，
所以由，
所以的估计值为.
故选：D.
7．C
解析：可先求展开式通项公式，.
当中与展开式相乘时，令，，，系数为.
当中与展开式相乘时，令，，，系数为.
将两项系数相加，.所以展开式中的系数为12.
故选：C.
8．B
解析：先将领导和队长A，B和C“捆绑”，分别当作一个整体M，N，有种不同的排法．
将N与D，E，F一起排列，有种不同的排法，再让M从中间的3个位置选1个位置排，有种不同的排法，所以共有种不同的排法．
当B与D相邻时，将B安排在中间，C，D安排在B的两侧，有种排法，然后将他们3人当作一个整体P，与E，F一起排列，有种不同的排法，再让M从中间的2个位置中选1个位置排，共有种不同的排法．
故共有种不同的排法．
故选：B．
9．ABD
解析：由分布列的性质可得，
所以，此时，
所以，
，
所以，.
故选：ABD.
10．BC
解析：对于A，由剔除前回归直线的斜率为，剔除后重新求得的回归直线的斜率为，
两者均大于0，则变量与具有正相关关系，A错误；
对于B，剔除前，而剔除的两个数据点，，
因此剔除后不变，B正确；
对于C，剔除后，，而回归直线的斜率为，则回归直线方程为，C正确；
对于D，剔除后的回归直线方程为，当时，，则残差为，D错误.
故选：BC
11．ABD
解析：对于A，若，，则每个人出的手势都有种可能，
所以个人出手势的总情况数为种，只有一人获胜的情况有种情况，
因为三个人都有可能获胜，所以只有一人获胜的概率为，故A正确；
对于B，若，，个人出手势的总情况数为种，
计算平局的情况：
所有人出相同手势的情况有种（都出石头、都出剪刀、都出布）.
三种手势都出现的情况：用间接法，先计算不满足三种手势都出现的情况，
即只有一种手势的3种情况和只有两种手势的情况.
计算只有两种手势的情况：从3种手势中选2种，有种选法，
设选的两种手势为A和B，把5个人分配到这两种手势中，
排除5个人都出A和5个人都出B的情况，
有种情况，所以只有两种手势的情况有种.
那么三种手势都出现的情况有种.
综上平局的情况共有种，所以平局的概率，故选项B正确；
对于C，当时，两人每次出手势都有3种情况，所以每局的情况数为种，
恰经过5局比赛结束，说明前3局没有一人连续两局获胜，第4局和第5局是同一人获胜，
设两人为甲和乙，若恰经过5局比赛甲获胜，则
①第二局甲输，第四五局甲胜，第三局平局，第一局甲胜或者平局，
其概率为；
②第二局平局，第四五局甲胜，第三局平局或甲输，第一局均可，
其概率为；
③第二局甲胜，第四五局甲胜，第三局平局或甲输，第一局甲输或平局，
其概率为；
所以恰经过5局比赛甲获胜的概率为；
同理，恰经过5局比赛乙获胜的概率也为；
所以恰经过5局比赛结束的概率，故选项C错误；
对于D，若，每局比赛打平，则3个人出的手势一样，有3种情况，或者各不相同，
有种情况，所以三人打平的概率为；
若3人中两个人出的手势一样，与另外一个不一样，则一次淘汰两人的概率为，
①三局是平局，一局淘汰一人，一局淘汰两人，
概率为；
②前四局是平局，第五局淘汰两人，
概率为；
所以恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率，故选项D正确.
故选：ABD.
12．/
解析：由题意得样本中澧水船工号子的人数为，所以可取，并且服从超几何分布，
，，，
所以.
故答案为：
13．9
解析：由题可知，喜欢徒步的男生有人，喜欢徒步的女生有人，
则女生应抽取人数为人.
故答案为：9
14．18
解析：由题意可得，第名只能是丁或戊，第名只能是丙、丁或戊，因此可分为如下三种情况：
①甲是第名，先考虑乙，有种情况，再考虑丙，有种情况，最后排丁、戊，有种情况，即此时所包含的情况有（种）．
②甲是第名，当乙是第名时，丙只能是第名，只需考虑丁、戊的排列，此时有种情况；当乙是第名时，丙可以有种选择，最后排丁、戊，有种情况．故此时包含的情况共有（种）．
③甲是第名，丙只能是第名，而乙有种选择，最后排丁、戊，有种情况，此时所包含的情况有（种）．
综上，这人的名次排列顺序有种可能．
15．(1)分布列为：
数学期望为
(2)
解析：（1）由题意可得的所有可能取值为，，，
，，，
的分布列为：
；
（2）由题意可得， ，
则 ，
所以 ，
所以 ．
16．(1)
(2)分布列见解析
(3)
解析：（1）解：由题意，“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件即为，
则.
（2）解：由题意，随机变量的可能取值为，
可得；；
；
可得随机变量的概率分布列为：
X 2 3 4 5
P
（3）解：“一次取球所得计分介于20分到40分之间记为事件C，
则．
17．（1）34种；（2）5040种；（3）431种.
解析：解：（1）根据题意，四个班共34人，要求从34人中，选其中一人为负责人，
即有种选法
（2）根据题意，分析可得：从一班选一名组长，有7种情况，
从二班选一名组长，有8种情况，从三班选一名组长，有9种情况，
从四班选一名组长，有10种情况，
所以每班选一名组长，不同的选法共有：（种）．
（3）根据题意，分六种情况讨论，
①从一、二班学生中各选1人，有种不同的选法；
②从一、三班学生中各选1人，有种不同的选法，
③从一、四班学生中各选1人，有种不同的选法；
④从二、三班学生中各选1人，有种不同的选法；
⑤从二、四班学生中各选1人，有种不同的选法；
⑥从三、四班学生中各选1人，有种不同的选法，
所以不同的选法共有：
（种）．
18．(1)
(2)分布列见解析，
(3)
解析：（1）这6个月MPV车型月度零售销量平均值为
故MPV月度零售销量超过的月份为12月，4月，5月，
所以从2021年12月至2022年5月中任选1个月份，
该月MPV零售销量超过的概率为.
（2）从2022年1月至2022年5月，SUV的月度零售销量相比上个月份增加的月份有2个：3月和5月，
所以的所有可能取值为，
则，
所以的分布列为
0 1 2
故的数学期望.
（3）依题意，2021年12月至2022年5月轿车月度零售销量分别为，
其平均值为，
所以轿车各月度零售销量与平均值的差约为，
所以，
同期各月轿车与对应的月度零售销量分别相加得到6个数据为，
其平均值为，
所以轿车与对应的各月度零售销量与平均值的差为，
所以，
故.
19．（1）28种；（2）185种；（3）7560种.
解析：解：（1）若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可．
即有种；
（2）至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名三类，利用分类计数原理可得种；
（3）先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分一组，再分配到三个实验室去，共有种．

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