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1.1多项式的因式分解
刷基础
知识点1 因式分解的概念
1[2025 湖南怀化期中]下列各式从左到右的变形中是因式分解的有 ( )
- 6y=3(x-2y);
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
知识点2因式分解与整式乘法的关系
2(3x-y)(3x+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果 ( )
3若 可以因式分解为(x-2)(x+b),则a-b的值为 ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
4由 可知把 因式分解的结果是 .
5判断下列因式分解是否正确.
6仔细阅读下面例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值.
解：设另一个因式是x+n，则 3)(x+n),所以
所以 解得
所以另一个因式是x-7，m的值是-21.
(1)已知二次三项式 有一个因式是2x-3，求另一个因式以及k的值；
(2)若二次三项式 有一个因式是2x+1,求a的值.
2刷易错
易错点忽略了结果中各因式必须是整式
7下列各等式中，从左到右是因式分解的是 ( )
B.72=2×2×2×3×3
刷提升
1若 a)(x+b),且a,b为整数,则a+b的值不可能是( )
A.14 B.2 C.16 D.-14
2分解因式 甲看错了a的值，分解的结果是(x-3)(x+2),乙看错了b的值,分解的结果是(x-2)(x-3),则a+b= .
3将 分解因式的结果为 (x-y),则n的值为 .
4如图(1)所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，若①②都是边长为a 的大正方形，③④都是边长为b的小正方形，剩下的都是长、宽分别为a，b的小长方形.
(1)观察图(1)，发现多项式 可以因式分解为 ；
(2)类似地，利用立体图形体积的等量关系也可以得到某些数学公式.如图(2)表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新的长方体，请你根据图(2)中图形的变化，写出一个代数恒等式(因式分解形式).
刷素养
方法探究：已知二次多项式 我们把x=-3代入多项式，发现 由此可以推断多项式中有因式x+3.设另一个因式为x+k，多项式可以表示成 则有 因为对应项的系数是对应相等的，即k+3=-4,解得k=-7,因此多项式分解因式得 我们把以上分解因式的方法叫“试根法”.
问题解决：
(1)对于二次多项式 我们把x= 代入该式，会发现 成立；
(2)对于三次多项式 我们把x=1代入多项式，发现 由此可以推断多项式中有因式x-1，设另一个因式为 ax+b，多项式可以表示成 试求出题目中a，b的值；
(3)利用“试根法”分解因式：
1.1多项式的因式分解
刷基础
1. B 【解析】 等式左边不是多项式，故不是因式分解； 等式右边不是几个多项式乘积的形式，故不是因式分解； 是整式乘法；④3x-6y=3(x-2y)是因式分解； 是因式分解； 中含有不是整式的式子，不是因式分解.故是因式分解的有④⑤,共2个,故选 B.
2. C 【解析】因为 所以选C.
3. B 【解析】由题意得, 所以a=2-b,2b=1,所以 所以 故选 B.
4.(x-2)(x-1) 【解析】因为 3x+2,所以
5.【解】(1)正确,因为 所以因式分解 正确.
(2)正确,因为 所以因式分解 正确.
(3)不正确，因为 所以因式分解 不正确.
6.【解】(1)设另一个因式为x+b,则 (2x-3)(x+b),所以 所以 所以 所以另一个因式为x+3，k的值为9.
(2)设另一个因式为 则 所以 所以 所以a=34.
刷易错
7. D【解析】A选项，等式右边不是整式乘积的形式，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B选项，等式的左边不是多项式，不是因式分解，故本选项不符合题意；C选项，等式右边因式的分母中含有未知数，不是整式，故该选项不符合题意；D选项，是因式分解，故该选项符合题意.故选 D.
刷提升
1. C 【解析】因为 所以 所以a+b=-k,ab=-15.因为a,b为整数,所以若a=1,b=-15,则a+b=-14;若a=-1,b=15,则a+b=14;若a=-3,b=5,则a+b=2;若a=3,b=-5,则a+b=-2.故选C.
2.-11 【解析】因为 所以b=-6.因为(x-2)(x-3)= 所以a=-5,所以a+b=(-5)+(-6)=-11,故答案为-11.
3.4 【解析】 故n的值为4.
4.【解】(1)由题图(1)可得，长方形纸板的面积为(2a+b)(a+2b),还可表示为 所以 可以因式分解为(2a+b)(a+2b).故答案为(2a+b)(a+2b).
(2)由题图(2)中左图得几何体体积为 4x，由题图(2)中右图得几何体体积为x(x+2)(x-2),所以代数恒等式为 2)(x-2).
刷素养
5.【解】(1)当x=±2时, 故答案为±2.
(2)因为 所以
所以1-a=1,b=-3,所以a=0,b=-3.
(3)当x=-1时, 所以该多项式分解后有一个因式是x+1，
设另一个因式是
所以 所以p+2=1,解得p=-1,
所以原式
又当x=3时,
所以该多项式分解后有一个因式是x-3.
设另一个因式是2x+q，
所以 6)x-3q,
所以3q=15,解得q=5,所以 15=(x+1)(x-3)(2x+5).

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