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冀教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.4.2相遇问题和工程问题第五章一元一次方程冀教版七年级上册5.4.2相遇问题和工程问题专项练习题核心知识点回顾一、行程——相遇问题1.核心公式：路程=速度×时间2.相向相遇等量关系：甲路程+乙路程=总路程；相遇时两人运动时间相等。3.变形公式：（甲速度+乙速度）×相遇时间=总路程4.解题技巧：统一单位（km/h、m/min），设相遇时间或其中一人速度为未知数。二、工程问题1.总工程量默认看作单位1。2.核心公式：工作效率= $$\frac{1}{工作总时间}$$；工作量=工作效率×工作时间3.合作等量关系：甲工作量+乙工作量=总工程量（1）4.多人合作、先后干活、中途休息题型均用“工作量相加=总量”列方程。一、选择题（每题4分，共20分）1.甲乙两人从两地同时出发相向而行，甲速4km/h，乙速6km/h，相遇时两人相同的量是（）A.路程B.速度C.时间D.无法确定2.一项工程甲单独做需要10天完成，甲的工作效率是（）A. 10 B. $$\frac{1}{10}$$ C. $$\frac{1}{5}$$ D. 53.甲乙两车相距200km，相向而行，甲60km/h，乙40km/h，设x小时相遇，方程正确的是（）A. $$60x+40x=200$$ B. $$60x-40x=200$$ C. $$60+40x=200$$ D. $$60x+40=200$$4.甲单独做5天完成，乙单独做8天完成，两人合作1天的工作量是（）A. $$\frac{1}{5}$$ B. $$\frac{1}{8}$$ C. $$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}$$ D. $$\frac{1}{5}\times\frac{1}{8}$$5.甲乙两人相向而行，2小时相遇，甲走12km，乙每小时5km，两地距离为（）A. 22km B. 17km C. 10km D. 24km二、填空题（每题4分，共32分）1.相遇问题核心等量：甲路程+乙路程= ________。2.工程问题中，总工程量一般看作________。3.乙单独完成一项工作需要6天，乙的工作效率是________。4.两车相距360km，甲乙车速70km/h、50km/h，同时相向出发，________小时相遇。5.甲效率$$\frac{1}{6}$$，乙效率$$\frac{1}{12}$$，两人合作1天可完成________工作量。6.相遇问题中，同时出发、中途不停，相遇时两人的________相等。7.一项工程，甲先做2天，再由甲乙合作x天完成，总工作量=甲2天工作量+ ________。8.甲乙相向而行，速度和15m/min，4分钟相遇，两地相距________m。三、解答题（共48分）1.（16分）基础相遇问题：甲乙两地相距450千米，A、B两车同时从两地相向开出，A车每小时行70千米，B车每小时行80千米，经过几小时两车相遇？2.（16分）基础工程问题：一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。两人合作多少天可以完成这项工程？3.（16分）拔高变式问题：甲乙两队合作修路，甲单独修20天完成，乙单独修30天完成。先由甲单独修5天，剩下的由两队合作完成，还需要多少天？参考答案及详细解析一、选择题1.C解析：同时出发到相遇，运动时间相等。2.B解析：总工程量为1，效率=$$\frac{1}{总天数}$$。3.A解析：甲路程+乙路程=总路程。4.C解析：合作效率=各效率之和。5.A解析：乙路程$$5\times2=10$$km，总距离$$12+10=22$$km。二、填空题1.总路程2.1 3.$$\frac{1}{6}$$ 4.3 5.$$\frac{1}{4}$$ 6.时间7.甲乙合作x天工作量8.60三、解答题1.解：设经过$$x$$小时两车相遇。根据题意列方程：$$70x+80x=450$$合并同类项：$$150x=450$$系数化为1：$$x=3$$答：经过3小时两车相遇。2.解：设两人合作$$x$$天完成。甲效率$$\frac{1}{12}$$，乙效率$$\frac{1}{18}$$。列方程：$$(\frac{1}{12}+\frac{1}{18})x=1$$通分计算：$$\frac{3+2}{36}x=1，\frac{5}{36}x=1$$解得：$$x=\frac{36}{5}=7.2$$答：两人合作$$\frac{36}{5}$$天（或7.2天）可以完成。3.解：设还需要$$x$$天完成。甲效率$$\frac{1}{20}$$，乙效率$$\frac{1}{30}$$。甲先做5天工作量：$$\frac{1}{20}\times5=\frac{1}{4}$$合作工作量：$$(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})x$$列方程：$$\frac{1}{4}+(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})x=1$$化简：$$\frac{1}{4}+\frac{1}{12}x=1$$移项：$$\frac{1}{12}x=\frac{3}{4}$$解得：$$x=9$$答：还需要9天完成。试一试：
B地
A地
如图所示，甲、乙两车分别在A，B两地.若两车同时出发，相向而行，两小时后相遇.相遇时甲车比乙车多行进24km；相遇后半小时，甲车到达B地，求甲、乙两车的行进速度分别是多少.
小组讨论解决此问题的方法.
可以用列方程的方法解答
甲
乙
课堂导入
相遇问题
甲、乙两地间的路程为375km.一辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90km/h，公共汽车的平均速度为60km/h.它们出发后多少小时在途中相遇？
问题1：找出本题中的等量关系.
轿车行驶的路程+公共汽车行驶的路程=甲乙两地间的路程.
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知识点1 行程问题
问题2：设两车出发后x h相遇，请解释下图的含义.
375 km
甲
乙
90x km
60x km
轿车行驶方向
公共汽车行驶方向
相遇地点
问题3：列出的方程是_________________________
90x+60x=375.
解得x=2.5.
即轿车与公共汽车出发后2.5h在途中相遇.
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知识点1 行程问题
相遇问题中常见的等量关系：
总路程＝速度和×时间
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离
【注意】相向而行的始发时间和地点
相遇问题
新知探究
知识点1 行程问题
例1 小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为13 km/h，小红骑车的速度是12 km/h.
（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？
【分析】由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，
他们走的路程的和等于两家之间的距离，即
小明走的路程+小红走的路程=两家之间的距离（20 km）.
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知识点1 行程问题
解：（1）设小明与小红骑车走了x h后相遇，
则根据等量关系，得
13x + 12x = 20 .
解得 x = 0.8 .
答：经过0.8 h他们两人相遇.
小明走的路程
小红走的路程
相遇
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知识点1 行程问题
（2）如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少小时才能与小明相遇？
小明先走的路程
小红出发后小明走的路程
小红走的路程
解：（2）设小红骑车走了t h后与小明相遇，
则根据等量关系，得
13(0.5 + t )+12t = 20 .
解得 t = 0.54 .
答：小红骑车走0.54h后与小明相遇.
相遇
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知识点1 行程问题
例2 一项工作，小李单独做需要6h完成，小王单独做需要9h完成.如果小李先做2h后，再由两人合做，那么还需几小时才能完成 ？
【分析】如果设还需两人合做x h才能完成，那么有下面分析图.
工程问题
小李单独做2h完成的工作量
小王、小李合做xh完成的工作量
总工作量
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知识点2 工程问题
解：设两人合做x小时才能完成．依题意，得
解得
答：两人合做 小时才能完成这项工作．
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知识点2 工程问题
2.相等关系：
（1）按工作时间：各时间段的工作量之和=完成的工作量.
（2）按工作者：若一项工作有甲、乙两人参与，则甲的工作
量+乙的工作量=完成的工作量.
工程问题
1.三个基本量：
工程问题中的三个基本量：工作总量、工作效率、工作时间.
它们之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间.
若把工作量看作1，则工作效率=
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知识点2 工程问题
知识点1 行程问题
1. 一名快递员需要在规定时间内开车将快递从北京送到沧州：若
快递员开车每分钟行驶，则早到 ：若快递员开车每
分钟行驶，则要迟到 ，关于嘉嘉和淇淇所列的方程，
下列判断正确的是( )
嘉嘉：设快递员所行驶的总路程为 ，则
;
淇淇：设规定时间为，则
B
A. 只有嘉嘉正确 B. 只有淇淇正确
C. 嘉嘉、淇淇都正确 D. 嘉嘉、淇淇都不正确
2. 甲、乙两运动员在长为的直道（ 为直道两端点）
上进行匀速往返跑训练，两人同时从点起跑，到达 点后，
立即转身跑向点，到达点后，又立即转身跑向 点……若
甲跑步的速度为，乙跑步的速度为 ，则起跑后
内，两人相遇的次数为( )
C
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
【点拨】根据题意，甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为
.
设两人相遇的次数为，因为起跑后时间总共为 ，即
,
所以，所以 .
根据题意，两人相遇的次数 为整数，
所以 ，即两人相遇的次数为5，故选C.
3. 一客轮沿江从A港顺流到达B港需要 ，从B港逆流到A港
需要.一天，客轮从A港出发开往B港， 后，客轮上的一
位旅客的帽子不慎落入江中，则帽子漂流到B港需要____ .
32
【点拨】设A港到B港的路程为1，则顺水速度为 ，逆水速度
为，水流速度为.设帽子漂流到B港需要的时间是 ，
由题意，得，解得 .故帽子漂流到B港
需要 .
知识点2 工程问题
4. [烟台中考] 《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.
书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟.初日织
五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：现
有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天
减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺
布，30天完工，问一共织了多少布？( )
C
A. 45尺 B. 88尺 C. 90尺 D. 98尺
5. 师徒二人检修管道，____，求师傅与徒
弟每小时各检修多长的管道.
条件：
①该管道长 ；
②师傅每小时比徒弟多检修 ；
③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务；
④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务.
在上述四个条件中选择____（选3个，填序号，写一种即
可），并完成解答.
【解】答案不唯一，写一种即可.
当选择①②③时，设师父每小时检修 ，则徒弟每小时检
修 .
由题意，得 ,
解得,所以 .
答：师父每小时检修,徒弟每小时检修 .
当选择①②④时，设师父每小时检修 ,则徒弟每小时检修
.
由题意，得 ,
解得,所以 .
答：师父每小时检修,徒弟每小时检修 .
当选择②③④时，设师父每小时检修 ,则徒弟每小时检修
.
由题意，得 ,
解得,所以 ,
答：师父每小时检修,徒弟每小时检修 .
6. 甲、乙两个工程队完成一项工程，每天完成的工作量始终
保持不变.甲队先干了3天，然后乙队加入，合作完成剩下的
工程，设工作总量为1.下面是未记录完整的工程进度表.根据
表中的数据，写出的值为_ _， 的值为___.
天数 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 … 第 天
工程总进度 … 1
9
【点拨】因为甲的工作效率为 ，所以
.因为前5天一共干了 ，所以乙的工作效率为
.由题意，得，解得 .
7. 如图，已知一周长为 的圆形
轨道上有相距的， 两点
（备注：圆形轨道上相距 是圆上这
两点间的较短部分展直后的线段长为
），动点从点出发，以 的
3或7或
速度，在轨道上按逆时针方向运动，与此同时，动点从 点
出发，以的速度按同样的方向运动，设运动时间为 ，
在，第二次相遇前，当动点，在轨道上相距 时，
_ ________.
8. 甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，
乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚
款1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同.
（1）正常情况下，甲、乙两人能否履行该合同？为什么？
【解】正常情况下，甲、乙两人能履行该合同.理由：设甲、
乙两人合作完成此项工程需 天.
则,解得 .
因为 ，所以正常情况下，甲、乙两人能履行该合同.
（2）现两人合作完成了这项工程的 ，因别处有急事，
必须调走1人，问调走谁更合适？为什么？
调走甲更合适.理由：设两人合作天完成了这项工程的 ，
则，解得 .
若调走甲，则乙还需 （天）；
若调走乙，则甲还需 （天）.
因为（天）天，（天） 天，
所以调走甲更合适.
甲的工作量+乙的工作量=完成的工作量
列一元一次方程解决相遇、工程问题
相遇问题
工程问题
总路程＝速度和×时间
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙之间的距离
工作总量=工作效率×工作时间
各时间段的工作量之和=完成的工作量

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