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冀教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.4.3追及、盈不足和等积变形问题第五章一元一次方程冀教版七年级上册5.4.3追及、盈不足和等积变形问题专项练习题核心知识点回顾一、追及问题（行程同向问题）1.适用场景：同向行驶，快的追慢的。2.核心等量关系：快者路程 慢者路程=初始距离（路程差）3.变形公式：速度差×追及时间=路程差4.关键：同时出发，追及时两人运动时间相等。二、盈不足问题（分配问题）1.适用场景：物品分配，分多了（盈）、分少了（不足）。2.核心等量关系：物品总数不变3.通用思路：设人数/份数为x，两种分配方式列出的总量相等列方程。三、等积变形问题1.核心思想：形状改变，体积（面积）不变。2.常用公式：长方体体积=长×宽×高；正方体体积=棱长 ；圆柱体体积小学简化公式可用底面积×高。3.等量关系：变形前体积=变形后体积一、选择题（每题4分，共20分）1.同向追及问题，正确的等量关系是（）A.快者路程+慢者路程=总路程B.快者路程 慢者路程=路程差C.快者速度 慢者速度=路程差D.慢者路程 快者路程=路程差2.把若干苹果分给同学，每人分3个剩2个；每人分4个缺3个，设同学有x人，苹果总数不变可列方程（）A. $$3x-2=4x+3$$ B. $$3x+2=4x-3$$ C. $$3x+2=4x+3$$ D. $$3x-2=4x-3$$3.一块橡皮泥捏成长方体再捏成正方体，不变的量是（）A.形状B.体积C.表面积D.棱长4.甲速度8m/s，乙速度6m/s，乙先出发10秒，甲同向追赶，核心路程差为（）A. 80m B. 60m C. 20m D. 10m5.长方形铁丝围成正方形，解题依据是（）A.面积不变B.周长不变C.体积不变D.边长不变二、填空题（每题4分，共32分）1.追及问题核心：快者路程 慢者路程= ________。2.盈不足问题解题关键：________的数量始终不变。3.等积变形问题核心原理：形状改变，________不变。4.小明每秒跑7米，小红每秒跑5米，两人同向同时出发，________秒后两人相差20米。5.一批本子分给学生，每人分5本余4本，若学生有x人，本子总数为________。6.一根铁丝围成长8cm、宽4cm的长方形，周长是________cm，改围成正方形，边长为________cm。7.每人分4颗糖少5颗，设人数为x，糖果总数可表示为________。8.追及问题中，速度差×________=路程差。三、解答题（共48分）1.（16分）追及问题：甲乙两人在同一条跑道上同向跑步，甲每分钟跑200米，乙每分钟跑180米，乙先跑40米后，甲开始追赶，几分钟后甲追上乙？2.（16分）盈不足问题：把一批练习本分给班级同学，如果每人分4本，剩余12本；如果每人分6本，缺少18本。这个班级有多少名学生？练习本有多少本？3.（16分）等积变形问题：一个长10cm、宽8cm、高5cm的长方体铁块，熔化后重新铸造成一个正方体（无损耗），求正方体的棱长（只需要列方程求解）。参考答案及详细解析一、选择题1.B解析：同向追及，路程差值等于初始距离，快减慢。2.B解析：盈加、不足减，总量相等：$$3x+2=4x-3$$。3.B解析：橡皮泥塑形问题，体积恒定，形状、表面积改变。4.B解析：路程差为乙先走的路程：$$6\times10=60$$m。5.B解析：铁丝围图形，铁丝长度不变，即周长不变。二、填空题1.路程差（初始距离）2.物品总数3.体积（面积/周长）4.10 5.$$5x+4$$ 6.24、6 7.$$4x-5$$ 8.追及时间三、解答题1.解：设$$x$$分钟后甲追上乙。追及时：甲路程 乙路程=初始路程差列方程：$$200x-180x=40$$合并同类项：$$20x=40$$解得：$$x=2$$答：2分钟后甲追上乙。2.解：设班级有$$x$$名学生。根据练习本总数不变列方程：$$4x+12=6x-18$$移项合并：$$2x=30$$，解得$$x=15$$练习本数量：$$4\times15+12=72$$（本）答：班级有15名学生，练习本有72本。3.解：设正方体棱长为$$x$$ cm。变形前后体积相等：正方体体积=长方体体积列方程：$$x^3=10\times8\times5$$化简：$$x^3=400$$，解得$$x=\sqrt[3]{400}$$答：正方体棱长为$$\sqrt[3]{400}$$cm。观察下列各图，小组讨论图中这些数据对我们生活的影响.
5折酬宾
课堂导入
某企业2022年的生产总值为95 930万元，比2021年增长了7.3％．那么2021年该企业的生产总值为多少万元？(精确到1万元)
思考：
（1）本题具体的等量关系是什么？
2021年生产总值+2022年比2021年增长的产值=2022年的生产总值.
（2）抽象的等量关系是什么？
原有数量＋增长数量=现有数量
一起探究
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知识点1 增长率问题
2021年的生产总值 2021年～2022年间增长的产值 2022年的生产总值
x
(3)设该企业2021年的生产总值为x万元，填表：
7.3%x
95 930
(4)列出的方程是
x+7.3%x=95 930.
(5)请解这个方程
x≈89 404元.
增长率问题中常见的等量关系：
原量×（1+增长率）=增长后的量
原量×（1-减少率）=减少后的量
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知识点1 增长率问题
高利息

“存款利率问题”
例1 某期3年期国债，年利率为2.8%；这期国债发行时，3年期定期存款的年利率为3.0%.小红的爸爸有一笔钱，如果用来存3年期定期存款比买这期国债到期后可多得利息48元，那么这笔钱为多少元？
【分析】利息＝本金×年利率×年数；
解：设这笔钱是x元.依题意，得
x×3.0%×3-x×2.8%×3=48.
解得 x=8 000.
答：这笔钱是8 000元.
储蓄问题中常见的等量关系：
本金×利率×时间=利息
本金+利息=本息和
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知识点1 增长率问题
例2 玻璃厂熔炼玻璃液，由石英砂和长石粉混合而成.要求原料中含二氧化硅70%.根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2吨原料中，石英砂和长石粉各多少吨？
解：设需石英砂x吨，则长石粉为(3.2-x)吨.
依题意，得
x×99%+（3.2-x）×67%=3.2×70%.
解得x=0.3，
所以3.2-x=3.2-0.3=2.9（吨）.
答：需石英砂0.3吨，长石粉为2.9吨.
浓度问题中常见的等量关系：
浓度=溶质质量÷溶液质量×100%
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知识点1 增长率问题
跳楼价

“销售中的利润问题”
问题1 根据所学知识，完成下列内容：
（1）商品原价200元，九折出售，售价是 元；
（2）商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元.
利润率是 ；　
（3）某商品原来每件零售价是a元， 现在每件降价10%，降价后每件零售价是 元；
（4）某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 元；
（5）某商品按定价的八折出售，售价是14.8元，则原定售价是
　元.　　　　　　　　
180
30
20％
0.9a
1.25a
17
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知识点2 销售问题
销售问题中常见的等量关系：
1.售价、进价、利润的关系：
利润= 实际售价—进价（或成本）
2.进价、利润、利润率的关系：
利润率=利润÷进价×100%
3.标价、折扣数、售价关系 ：
售价= 标价×（折扣数÷10）
4.售价、进价、利润率的关系：
售价= 进价×（1+利润率）
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知识点2 销售问题
问题2 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损？或是不盈不亏
1.你估计盈亏情况是怎样的？
A. 盈利
B. 亏损
C. 不盈不亏
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知识点2 销售问题
2.销售的盈亏决定于什么？
120 ＞ 总成本
120 ＜ 总成本
120 ＝ 总成本
盈 利
亏 损
不盈不亏
销售的盈亏取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系.
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知识点2 销售问题
3.两件衣服的成本各是多少元？
盈利的一件
解：设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意,得x＋0.25 x＝60.
解得 x＝48.
亏损的一件
设亏损 25%的衣服进价是 y元，
依题意,得y－0.25y＝60.
解得 y＝80.
两件衣服总成本：48＋80＝128 元；
因为120－128＝－8元；
所以卖这两件衣服共亏损了8元.
这个结论与你的猜想一致吗？
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知识点2 销售问题
知识点1 盈亏问题
1. 《算法统宗》是中国古代数学名著，是
明代数学家程大位著.《算法统宗》中记载了这样—个题目：
隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两
分之少半斤.其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，
则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两（注：在明代1
斤 两，故有“半斤八两”这个成语）.下列说法中错误的是
( )
A. 设这群人人数为，则可列方程为
B. 设所分银子的数量为两，则可列方程为
C. 这群人人数为6
D. 所分银子的数量为46两
√
【点拨】设这群人人数为 ，根据题意列方程得
，故A符合题意；设所分银子的数量为 两，
则可列方程为 ，故B不符合题意；由
，得 ，所以这群人人数为6，故C不符
合题意；所分银子的数量为 （两），故D不符
合题意.故选A.
2. [邢台期末] 学校举办秋季田径运动会，七（1）班班委会
为班上参加比赛的运动员购买了8箱饮料，如果每人发2瓶，
则剩余16瓶；如果每人发3瓶，则少24瓶.问该班有多少人参
加比赛 每箱饮料有多少瓶
【解】设该班有 人参加比赛，
由题意得，，解得 ，
每箱饮料有 （瓶），
答：该班有40人参加比赛，每箱饮料有12瓶.
知识点2 形积变化问题
3. 用一根铁丝围成一个三边长度都是 的三角形，如果
将其改围成一个正方形，则这个正方形的面积为( )
B
A. B. C. D.
4. 现有一把无刻度
的直尺和四块一样的矩形纸片，已知
纸片的长度是其宽度的2倍，将纸片
和直尺按如图所示的方式摆放在桌面
上，则根据图中给出的数据可知直尺
的长度是( )
D
A. B. C. D.
【点拨】设矩形纸片的宽为，则长为 .根据题意，
得，解得 .所以
，即直尺的长度是 .
5. 一根内径为 的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中
的水逐渐滴入一个内径为、高为 的圆柱形玻璃杯
中，当玻璃杯装满水时，试管中水的高度下降了_____ .
12.8
【点拨】设试管中水的高度下降了 .根据题意，得
,解得 .所以高度下降了
.
6. 有一块棱长为 的正方体钢坯，若将它锻造成横截面
是 的长方体钢材，求锻成的钢材的高.
【解】设锻成的钢材的高为 .
根据题意，得 ,
解得 .
故锻成的钢材的高为 .
7. “曹冲称象”是广泛流传的故事.按照曹冲的方法，
先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然
后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3名搬运工
（每名搬运工的体重均为 ），这时水位恰好到达标记位
置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1名搬运工，水
位也恰好到达标记位置，则象的体重为_____ .
2.58
【点拨】设1块条形石的质量为 .根据题意,得
，解得
， ，
即象的体重为 .
8. 如图，一个瓶子的容积为 ，瓶内装着一些溶液.当瓶
子正放时，瓶内溶液的高度为 ，将瓶子倒放时，空余
部分的高度为 ，现把溶液全部倒在一个底面直径为
的圆柱形杯子里.
（1）瓶内溶液的体积是多少？
【解】 ,
设瓶内溶液的体积为 .根据题意，得
，解得 .
答：瓶内溶液的体积是 .
（2）圆柱形杯子溶液的高度是多少？（结果保留 ）
设圆柱形杯子溶液的高度是 ,
则，解得 .
答：圆柱形杯子溶液的高度是 .
列一元一次方程解决百分率、销售问题
百分率问题
销售问题
储蓄问题
增长率问题
利润=售价-进价
售价=标价×（折扣÷10）
浓度问题
利润率=利润÷进价

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