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冀教版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.5.4.4追及及等积变形问题第五章一元一次方程冀教版七年级上册5.4.4追及及等积变形问题专项练习题核心知识点回顾一、追及问题（同向行程问题）1.适用场景：两个物体同向行驶，速度快的物体追赶速度慢的物体。2.核心等量关系：快者路程 慢者路程=初始路程差（相距距离）3.常用推导公式：速度差×追及时间=路程差4.核心解题要点：同时出发，追及瞬间两者运动时间相等；不同时出发，需单独计算先行物体的路程差。二、等积变形问题1.核心原理：物体形状、形态发生改变，体积或周长、面积保持不变（无损耗）。2.高频题型：橡皮泥塑形、铁块熔铸、铁丝围图形、液体转移盛装。3.核心等量关系：变形前总量=变形后总量4.常用公式：长方体体积=长×宽×高；正方体体积=棱长 ；长方形周长=2(长+宽)；正方形周长=4×边长。一、选择题（每题4分，共20分）1.同向追及问题的核心等量关系是（）A.快者路程+慢者路程=总路程B.快者路程 慢者路程=路程差C.速度和×时间=路程差D.慢者路程 快者路程=路程差2.甲、乙两人同向跑步，甲速度更快，下列说法正确的是（）A.出发时距离越近，追及时间越长B.速度差越大，追及速度越快C.追及时两人路程相等D.追及时两人速度相等3.把圆柱形铁块熔铸成长方体铁块，不变的量是（）A.形状B.体积C.表面积D.底面积4.乙先出发10秒，速度5m/s，甲以7m/s同向追赶，初始路程差为（）A. 50m B. 70m C. 20m D. 120m5.一根铁丝从长方形改围成正方形，解题依据是（）A.面积不变B.周长不变C.体积不变D.边长不变二、填空题（每题4分，共32分）1.追及问题中，速度差×________ =初始路程差。2.等积变形问题的核心是：形状改变，________不变。3.同向同时出发追及问题，追及时两人的________相等。4.甲速9m/s，乙速6m/s，同向而行，________秒后两人相距15米。5.长方体长6cm、宽5cm、高4cm，体积为________cm 。6.追及问题核心公式：快者路程 ________ =路程差。7.长10cm、宽6cm的长方形铁丝，改围成正方形，正方形边长为________cm。8.物体熔铸变形，无损耗时，变形前体积________变形后体积（填“＞”“＜”或“=”）。三、解答题（共48分）1.（16分）基础追及问题甲、乙两人在同一直道上同向骑行，甲每分钟行250米，乙每分钟行220米，乙先行60米后甲开始追赶，多少分钟后甲能追上乙？2.（16分）基础等积变形（周长不变型）一根铁丝恰好可以围成一个长9cm、宽5cm的长方形，若用这根铁丝重新围成一个正方形，求正方形的边长。3.（16分）拔高等积变形（体积不变型）一个长12cm、宽10cm、高4cm的长方体铝块，熔化后无损耗重新铸成一个正方体，求正方体的棱长。参考答案及详细解析一、选择题1.B解析：同向追及核心公式，快者路程减去慢者路程等于初始相距的路程差。2.B解析：速度差越大，单位时间缩短的距离越多，追及速度越快。3.B解析：物体熔铸变形，形状、表面积改变，体积保持不变。4.A解析：路程差为乙先行路程，$$5\times10=50$$m。5.B解析：铁丝长度固定，围不同图形，周长始终不变。二、填空题1.追及时间2.体积（周长/面积）3.运动时间4.5 5.120 6.慢者路程7.8 8.=三、解答题1.解：设$$x$$分钟后甲追上乙。根据追及等量关系列方程：$$250x-220x=60$$合并同类项：$$30x=60$$解得：$$x=2$$答：2分钟后甲能追上乙。2.解：设正方形边长为$$x$$ cm。长方形周长：$$2\times(9+5)=28$$（cm）根据周长不变列方程：$$4x=28$$解得：$$x=7$$答：正方形的边长为7cm。3.解：设正方体棱长为$$x$$ cm。长方体体积：$$12\times10\times4=480$$（cm ）根据体积不变列方程：$$x^3=480$$解得：$$x=\sqrt[3]{480}$$答：正方体的棱长为$$\sqrt[3]{480}$$cm。想一想：
阿基米德为了帮助国王辨别皇冠的真假，需要测量皇冠的体积，确定皇冠的密度，聪明的阿基米德用非常巧妙的方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
h
r
=
课堂导入
小明早晨要在7：20以前赶到距家1 000米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度出发，5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带历史作业，于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．
问爸爸追上小明用了多长时间？
新知探究
知识点1 追及问题
分析：当爸爸追上小明时，两人所走路程相等.
解：设爸爸追上小明用了x分钟，则此题的数量关系可用线段图表示.
据题意，得 80×5＋80x=180x.
答：爸爸追上小明用了4分钟．
解得 x=4.
80×5
80x
180x
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知识点1 追及问题
追及问题解题思路：
追及问题中的等量关系：
速度差×追及时间=追及路程
其中追及时间指快者和慢者共同行驶的时间，追及路程指慢者先行驶的路程.
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知识点1 追及问题
例1 某学校七年级学生进行了一次徒步行走活动.带队教师和学生们以4 km/h的速度从学校出发，20 min后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以12 km/h的速度行驶，那么小王要用多久才能追上队伍？此时，队伍已走了多远？
分析：小王追上队伍，就是小王和队伍走过的路程相等.
即小王骑车行驶的路程=队伍行走的路程.
列方程时，量的单位要统一, 20min= h.
新知探究
知识点1 追及问题
解：设小王要用x h才能追上队伍，这时队伍行走的时间为（ ）h.依题意，得
解得
答：小王要 h才能追上队伍.此时，队伍已行走了2 km.
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知识点1 追及问题
例2 甲、乙两地相距100 km，一列慢车与一列快车同时从甲、乙两地出发，慢车每小时行驶65 km，快车每小时行驶85 km，快车行驶几小时后追上慢车？
分析：快车与慢车同时出发，即它们行驶的时间相等.
快车追上慢车，比慢车多行驶的距离即为甲、乙两地的距离.
即：快车行驶路程=慢车行驶路程+100km.
解：设快车出发x h能追上慢车. 依题意，得
解得 x=5.
答：快车出发5h能追上慢车.
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知识点1 追及问题
归纳总结
追及问题：
1.同地不同时：(1)
(2) (a为慢者先走的时间）
2.同时不同地：(1)
(2)
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知识点1 追及问题
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少名学生，共有多少本图书？
【分析】如果设这个班有x名学生，则图书的本数可以表示为___________本
或___________本.
根据图书的本数可以列方程解决.
解：设这个班有x名学生，根据题意列方程，得
解得x=45.
所以3x+20=3×45+20=155.
答：这个班有45名学生，共有155本图书.
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知识点2 盈亏问题
例3 某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克．如果每公顷施肥400 kg，那么余下化肥800 kg；如果每公顷施肥500 kg，那么缺少化肥300 kg；这块麦田是多少公顷？现有化肥多少千克？
【分析】设这块麦田有x公顷，根据题意可得化肥的总数可表示为400x+800，或500x﹣300，根据化肥的总数不变可得方程．
解：设这块麦田有x公顷，根据题意, 得
400x+800＝500x﹣300，
解得 x＝11．
现有化肥数：400x+800＝5 200．
答：这块麦田是11公顷，现有化肥5 200千克．
新知探究
知识点2 盈亏问题
常见图形周长及面积公式
名称 图形 正方形
三角形
梯形
圆
平行四边形
r
a
b
h
c
d
a
h
b
c
a
a
h
b
用字母表示公式
周长（C）
面积（S）
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知识点3 等积变形问题
常见图形的体积公式
名称 图形 用字母表示公式
体积（V）
正方体
长方体
圆柱体
圆锥体
a
a
b
c
r
h
r
h
新知探究
知识点3 等积变形问题
问题 用一根长为100米的铁丝围成一个长比宽长10米的长方形，问这个长方形的长和宽各是多少米？
在这个过程中什么没有发生变化？
长方形的周长=原铁丝的长度
新知探究
知识点3 等积变形问题
解：设长方形的宽为x米，则长为(x+10)米.
依题意，得
2（x+x+10）=100.
解得 x=20.
所以长为x+10=20+10=30（米）.
答：长方形的长为30米，宽为20米.
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知识点3 等积变形问题
例4 如图，用直径为200毫米的圆钢，锻造一个长、宽、高分别为300毫米、300毫米和90毫米的长方体毛坯底板，应截取圆钢多少？（计算时，π取3.14）
200
x
90
300
300
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知识点3 等积变形问题
解：设应截取圆钢x毫米.依题意，得
【分析】本题中涉及的等量关系为
圆钢体积=长方体毛胚的体积
答：应截取258毫米长的圆柱体钢.
解得
等积变形就是无论物体怎么变化都存在一个等量关系，即物体变化前后面积或体积不变
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知识点3 等积变形问题
知识点1 变化率问题
1. 今年4月，某省大型企业集团的资产总额已达到11 906万
元，同比去年4月增长了 ，下列说法：①去年4月该省大
型企业集团的资产总额为 万元；②去年4月
该省大型企业集团的资产总额为 万元；③若今年5月和6
月这两个月资产总额按 的增长率环比增长，则今年6月该
省大型企业集团的资产总额将达到 万元.
其中正确的是( )
A
A. ②③ B. ①③ C. ①②③ D. ①②
【点拨】设去年4月该省大型企业集团的资产总额为 万元，
由题意，得解得 ，所以①
是错误的，②是正确的；若今年5月和6月这两个月资产总额
按 的增长率环比增长，则今年6月该省大型企业集团的资
产总额将达到 万元，③是正确的.故选A.
2. 某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了 ，由
于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了
，则这个月的石油价格相对上个月的增长率为______.
【点拨】设这个月的石油价格相对上个月的增长率为 .根据
题意,得,解得 .故这个月
的石油价格相对上个月的增长率为 .
知识点2 储蓄问题
3. 李阿姨存入银行2 000元,定期3年,到期后将得到本息共
2 075元，则该种储蓄的年利率为_______.
4. 小李以两种形式共储蓄20 000元，一种储蓄的年利率为
，另一种为 ，一年后本息和为20 214元，则两
种储蓄的本金分别为_________、__________.
8 000元
12 000元
知识点3 销售问题
5. [烟台中考] 某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出
售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风
扇盈利95元.这款风扇每台的标价为( )
A
A. 350元 B. 320元 C. 270元 D. 220元
6. [沧州期末] 某商品每件标价为150元，若按标价打八折后，
仍可获利 ，则该商品每件的进价为_____元.
100
【点拨】设该商品每件的进价为 元.
依题意，得，解得 .
故该商品每件的进价为100元.
7. 2026年春晚武术表演的宇树科技
进阶版机器人深受大家喜爱，某科技公司也购买
了,两种型号的同款机器人，已知型号机器人的单价比
型号机器人的单价多4万元，且5台 型号机器人的总价钱和6
台型号机器人的总价钱相等.则 型号机器人的单价是____
万元， 型号机器人的单价是____万元.
24
20
【点拨】设型号机器人的单价为万元，则 型号机器人的
单价是万元．依题意，得 ，解得
，（万元）．所以 型号机器人的单价是
24万元， 型号机器人的单价是20万元．
8. 为了丰富学生的课余生活，拓展学生的视野，学校小卖部
准备购进甲、乙两类中学生书刊.若购买400本甲类书刊和300
本乙类书刊共需要6 400元，其中甲、乙两类书刊的进价和
售价如下表：
甲 乙
进价/（元/本）
售价/（元/本） 20 13
（1）甲、乙两类书刊的进价各是多少元/本？
【解】由题意，得 ,
解得 ,
所以 .
答：甲类书刊的进价是10元/本，乙类书刊的进价是8元/本.
（2）第一次小卖部购进的甲、乙两类书刊共800本，全部售
完后总利润为5 750元，求小卖部分别购进甲、乙两类书刊
多少本.
设甲类书刊购进本，则乙类书刊购进 本,
由题意，得 解得
,
所以 .
答：小卖部购进甲类书刊350本，乙类书刊450本.
9. 某快餐店有线上和线下两种消费方式.2024年，该快餐店
的年收入总额达50万元，线上收入与线下收入的比是
年，该快餐店转变运营模式，同时加大了线上推广
的力度，因而收入总额明显提升.与2024年相比，年收入总额
增长了，其中线上收入增长了 .求该快餐店2025年的
线下收入的增长率.
【解】设该快餐店2024年线上收入万元，线下收入 万元，
则,解得.所以, ,即该快餐
店2024年线上收入20万元，线下收入30万元.设该快餐店2025
年的线下收入的增长率为 ,则
,解得
.故该快餐店2025年的线下收入的增长率为 .
10. 某商店购进一批蚊香，每盒加价 作为定价出售，
但当卖出这批蚊香的 时，夏季即将过去，为加快资金周
转，商店按照定价打七折，把剩余的蚊香全部卖出.这样，实
际所得纯利润比预期获得的利润少了 ，按规定，不论按
什么价钱出售，卖出这批蚊香必须上缴营业税360元
（税金与买蚊香用的钱一起作为成本），该商店购进这批蚊
香用了多少元？
【解】设该商店购进这批蚊香用了 元,
依题意，得 ,
解得 .
答：该商店购进这批蚊香用了3 000元.
列方程解决盈亏、追击及等积变形问题
追及问题
等积变形问题
同地不同时
同时不同地
等长变形
等积变形
盈亏问题
根据总数不变列方程

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