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25.2.1 配方法（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、选择题
1．方程的解为（ ）
A．1 B． C．0或1 D．1或
2．方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列解方程正确的是（ ）
A． 解：
B． 解：
C． 解：
D． 解：
4．一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
5．现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ）
A．4或 B．7或 C．19或 D．
二、填空题
6．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可）
7．方程的解是______．
8．若方程的一个根为，则另一个根为________
9．在实数范围内定义一种运算“ ”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________．
10．若实数分别满足下列条件：（1）；（2）．试判断点所在的象限为______．
三、解答题
11．利用直接开平方法解下列方程：
(1)；
(2)．
12．阅读下列材料．完成相应问题：
我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程化为“”（a为常数）的形式，从而求出解．而解一元二次方程时，常运用“转化思想”，把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解．例如“直接开平方法”就是典型例子：
对于方程，根据平方根的定义，若，则或．因此可将原方程转化为两个一元一次方程：或，分别求解得．
问题：
(1)请用“直接开平方法”解一元二次方程，写出转化过程及最终解．
(2)已知方程，小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方法求解．请你按照这个思路，完成该方程的求解过程．
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25.2.1 配方法（第1课时）同步练习
班级：________ 姓名：________
一、选择题
1．方程的解为（ ）
A．1 B． C．0或1 D．1或
【答案】D
【解析】本题考查了直接开平方法解方程，根据，得的值是1或
解：∵，
∴，
∴的值是1或，
故选：D．
2．方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根．
解：∵，
∴或，
当时，，
当时，，
∴方程的根为，
故选：A．
3．下列解方程正确的是（ ）
A． 解：
B． 解：
C． 解：
D． 解：
【答案】C
【解析】本题考查直接开平方法解方程，逐一分析各选项解方程的过程是否正确，即可得出答案．
解：，没有实数解，故A选项解方程错误；
解：，，故B选项解方程错误；
解：，故C选项解方程正确；
解：，故D选项解方程错误；
故选：C．
4．一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】本题考查了一元二次方程的解法，用平方根的定义即可求方程的根，进而得到答案．
解：，
，
，
故选：C．
5．现定义运算“”：对于任意实数、，都有，如，若，则实数的值为（ ）
A．4或 B．7或 C．19或 D．
【答案】D
【解析】本题考查了新定义下的实数运算，根据新定义求解即可，正确理新定义是解题的关键．
解：由新定义可知，，
∴
∴，
故选：D．
二、填空题
6．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可）
【答案】4（答案不唯一）
【解析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可．
解：原方程移项得，
开平方得，
因为方程的根为整数，
因此为整数，
即为完全平方数，
取，此时方程的根为，均为整数，符合要求．
7．方程的解是______．
【答案】或
【解析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．直接开方即可．
解：，
，
解得：或，
故答案为或．
8．若方程的一个根为，则另一个根为________
【答案】3
【解析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出a的值，再解原方程即可得到答案．
解：∵方程的一个根为，
∴，
∴原方程为，
解得，
∴原方程的另一个根为，
故答案为：．
9．在实数范围内定义一种运算“ ”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________．
【答案】或
【解析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解．
解：由运算规则 ，得：
，
即
或
解得或．
故答案为：或．
10．若实数分别满足下列条件：（1）；（2）．试判断点所在的象限为______．
【答案】第一或第二象限
【解析】本题考查象限内点的符号特征，解一元二次方程．根据题意，求出的值，的取值范围，进而判断出的横纵坐标的符号，即可．
解：∵，
∴或，
∵，
∴，
当时：，，
∴点在第二象限；
当时，，，
∴点在第一象限；
综上：点在第一或第二象限；
故答案为：第一或第二象限．
三、解答题
11．利用直接开平方法解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
解：（1），
直接开平方，得，
，；
（2）
移项，得，
直接开平方，得，
，．
12．阅读下列材料．完成相应问题：
我们知道，解一元一次方程的核心是通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将方程化为“”（a为常数）的形式，从而求出解．而解一元二次方程时，常运用“转化思想”，把未知的一元二次方程转化为已知的一元一次方程来求解．例如“直接开平方法”就是典型例子：
对于方程，根据平方根的定义，若，则或．因此可将原方程转化为两个一元一次方程：或，分别求解得．
问题：
(1)请用“直接开平方法”解一元二次方程，写出转化过程及最终解．
(2)已知方程，小明发现左边可以写成完全平方形式，他先将方程变形，再用直接开平方法求解．请你按照这个思路，完成该方程的求解过程．
【答案】(1)或
(2)或
【解析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
（1）直接利用直接开平方法解方程即可；
（2）先用完全平方公式将方程左边因式分解，再利用直接开平方法解方程即可．
解：（1）开方得：或
解得：或；
（2）
或
解得：或．
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