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同步探究学案
课题 25.2.1 配方法（第1课时） 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．依据平方根的意义，理解形如型方程的降次思路． 2．掌握直接开平方法解方程的步骤，能区分时根的不同情况． 3．体会“降次”转化思想，能规范书写直接开平方法解方程完整步骤．
重点 掌握直接开平方法解型方程的完整步骤，能根据p的取值判断方程实数根的三种情况．
难点 理解将(mx+n)看作整体进行开平方的整体代换思路，体会解方程“降次转化”的核心数学思想．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是一元二次方程？ 答案：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 2．什么是一元二次方程的根？ 答案：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
新知探究 本节课来研究： 本节我们通过“降次”研究一元二次方程的解法。 问题：解一元二次方程 解：根据平方根的意义，得 即 思考1：把4换成0呢？ 即： 答案：x1＝x2＝0 思考2：把4换成呢？ 即： 答案：无解 归纳：一般地，对于方程 (1)当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 (2)当时，方程有两个相等的实数根; (3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根. 注意：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法． 直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，其依据是平方根的意义． 探究：对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程 在解方程时，由方程得.由此想到：由方程 ① 得 即 ② 于是，方程的两个根为 归纳：在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 例：解下列方程: (1)； (2). 解:(1)移项，并将二次项系数化为1，得 由此可得 即 归纳：用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解． 解:(2)移项，得 由此可得 即 归纳：解形如(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)的关于x的一元二次方程时，运用整体思想，把mx＋n看作一个整体，直接开平方降次，得mx＋n＝± ，再求解．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．一元二次方程的根是（ ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 答案：C 2．方程解为_________． 答案： 3．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； 解：（1）∵， ∴， ∴， 解得，； （2） 或 解得； 选做题： 4．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 答案：或4 【综合拓展类练习】 5．在平面直角坐标系中，已知点和点，点是轴上一点，如果，求点的坐标． 解：已知，，由两点间距离公式： ， 点在轴上， 设， ， 根据列方程： ， 两边同时平方消去根号： ， ， ， ， 当时，； 当时，， 点的坐标为或．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．方程的根是___________． 答案： 3．解下列方程． (1) ； (2) ． 解：（1）∵， ∴， ∴， 解得，； （2）， ， ， ， 解得． 选做题： 4．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A． B． C． D． 答案：D 【综合拓展类作业】 5．如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果． 甲乙丙丁取倒数平方取相反数加2
(1)若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果； (2)如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为，求选取的数字． 解：（1）若选取数字2，按照丙乙丁甲的顺序运算得： ， （2）解;设所选数字为x，根据运算程序所以列出方程： ， ∴， 解得，， ∵所选数为非负数， ∴所选数为0．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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课题 25.2.1 配方法（第1课时） 单元 第二十五章 学科 数学 年级 九年级
学习 目标 1．依据平方根的意义，理解形如型方程的降次思路． 2．掌握直接开平方法解方程的步骤，能区分时根的不同情况． 3．体会“降次”转化思想，能规范书写直接开平方法解方程完整步骤．
重点 掌握直接开平方法解型方程的完整步骤，能根据p的取值判断方程实数根的三种情况．
难点 理解将(mx+n)看作整体进行开平方的整体代换思路，体会解方程“降次转化”的核心数学思想．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是一元二次方程？ 2．什么是一元二次方程的根？
新知探究 本节课来研究： 本节我们通过“降次”研究一元二次方程的解法。 问题：解一元二次方程 解：根据平方根的意义，得 即 思考1：把4换成0呢？ 即： 思考2：把4换成呢？ 即： 归纳：一般地，对于方程 (1)当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 (2)当时，方程有两个相等的实数根; (3)当时，因为对任意实数，都有，所以方程无实数根. 注意：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法． 直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，其依据是平方根的意义． 探究：对照上面解方程的过程，你认为应怎样解方程 在解方程时，由方程得.由此想到：由方程 ① 得 即 ② 于是，方程的两个根为 归纳：在上面的解法中，由方程①得到②，实质上是根据平方根的意义，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了. 例：解下列方程: (1)； (2). 解:(1)移项，并将二次项系数化为1，得 由此可得 即 归纳：用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解． 解:(2) 归纳：解形如(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0)的关于x的一元二次方程时，运用整体思想，把mx＋n看作一个整体，直接开平方降次，得mx＋n＝± ，再求解．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．一元二次方程的根是（ ） A． B． C．无实数根 D．以上均不正确 2．方程解为_________． 3．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； 选做题： 4．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 【综合拓展类练习】 5．在平面直角坐标系中，已知点和点，点是轴上一点，如果，求点的坐标．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．解一元二次方程时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为，则另一个方程为（ ） A． B． C． D． 2．方程的根是___________． 3．解下列方程． (1) ； (2) ． 选做题： 4．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A． B． C． D． 【综合拓展类作业】 5．如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果． 甲乙丙丁取倒数平方取相反数加2
(1)若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果； (2)如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为，求选取的数字．
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