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高二年级学业质量监测
数学
注意事项:
1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 计算: ( )
A. 26 B. 325 C. 650 D. 15600
2. 函数 的图象在点 处的切线的斜率为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知某地青年男性的身高 (单位: ) 服从正态分布 ,且 , 在该地区随机抽取 1 名青年男性,则该男性身高不低于 的概率为( )
A. 0.05 B. 0.15 C. 0.25 D. 0.35
4. 函数 的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
5. 为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有 3 个唱歌节目、 2 个小品节目和 1 个戏曲节目，要求 3 个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为( )
A. 144 B. 72 C. 48 D. 36
6. 高一某班有 50 名学生, 其中男生有 35 人，女生有 15 人，在某次考试中，女生的物理成绩的优秀率为 0.4 , 男生的物理成绩的优秀率为 0.6 , 从该班随机抽取 1 名学生, 则这名学生本次考试物理成绩优秀的概率为( )
A. 0.56 B. 0.54 C. 0.52 D. 0.5
7. 已知直线 与函数 的图象交于点 ,与直线 交于点 ,当 最小时, ( )
A. B. C. D.
8. 已知数列 满足 是数列 的前 项和. 若不等式 对 恒成立,则实数 的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某 AI 软件的开发团队为迎合市场需求开发了一款手机软件，该软件最近 5 个月的用户数量如下表所示:
月份x 1 2 3 4 5
用户数量 (百万) 0.5 0.7 1.1 1.3 1.7
若 关于 的线性回归方程为 ,则()
A. 变量 正相关
B.
C. 可以预测当 时,用户数量首次突破 2 百万
D. 当 时,实际用户数量高于预测值
10. 已知 是函数 的极大值点,则( )
A. B. 是 的极小值点
C. 的单调递减区间为 D. 恰有 3 个零点
11. 如图,在三棱锥 中, 分别为 的中点，则()
A. 平面 平面
B. 直线 与平面 所成角的正弦值为
C. 异面直线 与 所成角的余弦值为
D. 平面 与平面 夹角的余弦值为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 的展开式中 的系数为-160，则 的值为_____.
13. 如图,在三棱台 中， 平面 ， ， ， ， 是 的中点，则三棱锥 的外接球的表面积为_____.
14. 已知关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
设 为数列 的前 项和,已知 .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
16. (15 分)
某医学研究院为了解患肝病与长期持续饮酒的关系，随机抽取 200 名中老年人对其肝脏的状态和饮酒习惯进行调查, 得到成对样本分类统计数据如下表:
肝病患者 非肝病患者 合计
长期持续饮酒 40 60 100
非长期持续饮酒 20 80 100
合计 60 140 200
(1)依据小概率值 的独立性检验，分析长期持续饮酒与患肝病是否有关联；
(2)从肝病患者样本中按比例用分层随机抽样的方法抽取 6 人，再从这 6 人中随机抽取 3 人，求这 3 人中至少有 2 人长期持续饮酒的概率.
附: .
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
17. (15 分)
某生物实验系统中初始时刻有一个可分裂细胞，1 分钟后这个细胞分裂成两个新细胞，共有三种分裂情况: 产生两个可分裂细胞，概率为 ；产生一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞，概率为 ；产生两个不可分裂细胞. 概率为 . 新产生的每个可分裂细胞在 1 分钟后又会按照上述概率分裂成两个新细胞. 当系统中没有可分裂细胞时实验达到完成状态.
(1)求第 2 分钟末时实验首次达到完成状态的概率;
(2)记第 2 分钟末时的可分裂细胞个数为 ，求 的分布列和数学期望.
18.(17分)
已知双曲线 的离心率为 2,且 经过点 .
(1)求 的方程.
(2)过 的右焦点 的直线 与 的右支交于 两点，直线 分别交直线 于点 ， .
( i ) 证明: ;
(ii) 求 的面积的最小值.
19.(17分)已知函数 .
(1)讨论 的单调性.
(2)已知函数 有 2 个不同的零点 ，且 .
( i ) 求实数 的取值范围;
(ii) 求证: .
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数学·答案
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
1. C 2. B 3. A 4. C 5. A 6. B 7. D 8. A
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。每小题全部选对的得 6 分, 部分选 对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. AC 10. BCD 11. ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解析 (1) 由题意知 ①,
当 时, ,
当 时, ②,
①-②，得 ，
, 又 ,
数列 是首项为 1,公比为 4 的等比数列,
.
(2) ，
是首项为 -5,公比为 的等比数列,
.
16. 解析 (1) 零假设为 : 长期持续饮酒与患肝病之间无关.
根据列联表中的数据,得 ,
根据小概率值 的独立性检验,推断 不成立,即认为长期持续饮酒与患肝病有关联,此推断犯错误的概率不大于 0.005 .
(2)由题意知，抽取的 6 人中，长期持续饮酒的有 4 人，非长期持续饮酒的有 2 人，
再从这 6 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中长期持续饮酒的人数为 ,
则 .
17. 解析 (1) 设第 2 分钟末时实验首次达到完成状态的概率为 ,有以下两种情况:
第 1 分钟末系统中有一个可分裂细胞与一个不可分裂细胞; 第 1 分钟末系统中有两个可分裂细胞.
根据题意有 .
(2) 的所有可能取值为0,1,2,3,4，
的分布列为
0 1 2 3 4
7 27 11 36 31 108 1 9
18. 解析 (1) 设双曲线的半焦距为 .
由题知 ,
,
的方程为 .
(2)(i)由(1)知， ，
设 ,直线 ,
代入 ,整理得 ,
且 ,得 ,
直线 ,
直线 ,
,
.
(ii)
其中 ,
,
,
当 时, .
19. 解析 (1) 的定义域为 ,
当 时, 在区间 上单调递增;
当 时, ,
当 时, ,当 时, ,
在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
综上所述,当 时, 在区间 上单调递增;
当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减.
(2)(i)由题知， ，定义域为 ， ，
当 时， ，
在区间 上单调递增,
在区间 上最多有一个零点,不符合题意.
当 时, ,
当 时, ,当 时, ,
在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
有 2 个不同的零点,
,
解得 ,
又 当 趋近于 0 时, 趋近于 ,当 趋近于 时, 趋近于 , 实数 的取值范围为 .
(ii) 是 的 2 个不同的零点,且 ,
,
即 ,
,
,
要证 ,只需证 ,
由 (i) 知, ,
即证 ,
即证 .
设 ,则 ,
只需证 .
设 ,
则 ,
在区间 上单调递增,
,
,
.

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