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浙江省宁波市奉化区奉港中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
1.图中与为内错角的是( )
A. B. C. D.
2.下列图案中，可以看作是由图案自身的一部分经平移后得到的是( )
A. B.
C. D.
3.浓度高会降低大气能见度，形成雾霾，对空气质量和生态环境造成严重影响对于人体，可穿透肺泡进入血液系统，对呼吸系统、心血管系统及其他器官造成危害若其直径不得超过米，则用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列运算中，正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知是方程的一组解，那么的值是( )
A. B. C. D.
6.下面是一位同学做的四道题目：；；；，做对的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7.我国古代九章算术里有这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问牛、羊各直金几何？意思是现有头牛、只羊，共值两金；头牛、只羊，共值两金问：头牛值多少金？只羊值多少金？据此求牛和羊的价格假设一头牛需要两金，一头羊需要两金则可建立方程组为( )
A. B. C. D.
8.已知多项式与的乘积展开式中不含的一次项，且常数项为，则的值为( )
A. B. C. D.
9.过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
若，则可以取的值有个；
关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，其中当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是．
其中正确的有( )
A. B. C. D.
10.如图，已知长方形纸片，点，分别在边和上，且，和分别是边和上的动点，现将点，沿向下折叠至点，处，将点，沿向上折叠至点，处，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
11.计算： ．
12.已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ．
13.如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件：
；；；．
能判断的有 个．
14.仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，，，点在直线上，，，则的度数为 ．
15.已知方程组的解是，则关于，的方程组的解是 ．
16.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就观察如图各式及其展开式，请问展开式中，含项的系数是 ．
17.解下列方程组：
；
．
18.计算：
；
．
19.先化简，再求值：，其中，．
20.已知关于，的方程组和有相同的解．
求出它们的相同解．
求的值．
21.如图，由若干个小正方形构成的网格中有一个三角形，它的三个顶点都在格点上，借助网格按要求进行下列作图：
过点作直线平行于，过作直线平行于交于点．
平移三角形，将三角形的顶点平移到点处，其中点和点对应，点与点对应，请画出平移后的三角形．
22.如图，已知，．
试说明：．
若，，求的度数．
23.规定：形如关于，的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组，、称之为共轭系数．
方程的共轭二元一次方程是______；
若关于，的二元一次方程组为共轭方程，求此共轭方程组的共轭系数；
对于共轭二元一次方程组，小聪通过探究发现，无论、为何值，解、一定相等你同意他的结论吗？请说明理由．
24.在直角三角板中，，，直尺的边与相交于点．
如图，直角三角板的边在直线上，则的度数为______；
如图，现将直角三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，用含的代数式表示和的度数，请写出推理过程；
如图，现将绕点以每秒的转速逆时针旋转，同时绕点以每秒的转速顺时针旋转，当第一次旋转回到起点时，，均停止转动，设旋转时间为请求出当为何值时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据内错角的定义，中的和是内错角，
故选：．
根据内错角的定义，解析解答．
本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
2.【答案】
【解析】解：选项B中的图案可以看作是由图案自身的一部分经平移后得到．
故选：．
根据平移变换的性质判断即可．
本题考查利用平移设计图案，解题的关键是掌握平移变换的性质．
3.【答案】
【解析】解：，
故选：．
用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较小的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项法则、单项式乘单项式法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的除法法则分别计算判断即可．
本题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：把代入方程中，得，
解得，
故选：．
根据二元一次方程的解的定义把代入方程中即可求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：与不是同类项，无法合并，则错误，
，则错误，
与不是同类项，无法合并，则错误，
，则正确，
综上，做对的个数是个，
故选：．
利用积的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂乘法法则进行判断即可．
本题考查积的乘方，合并同类项，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据题意，可建立方程组为．
故选：．
根据“头牛、只羊，共值两金；头牛、只羊，共值两金”，即可列出关于的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：，
又展开式中不含的一次项，且常数项为，
，
解得：，
，
故选：．
利用多项式与多项式相乘的法则求解即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键正确计算．
9.【答案】
【解析】解：：同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故不符合题意；
：垂直于同一条直线的两条直线平行，缺少“在同一平面内”的限定，错误，故不符合题意；
：若，，，则，满足题意；当，，则，，满足题意；当，，则，，不满足题意；可以取的值有个，即或，可以取的值有个，故符合题意；
：由题意可得，，联立方程组有，，解得：，
当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是，故符合题意；
综上，符合题意．
故选：．
逐一分析每个结论即可．
本题考查了因式分解、二元一次方程组的解、平行线的性质知识点，熟练掌握各个知识点是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：延长和分别交于，，
，，
．
由折叠可知，，
．
，
．
，
．
又，
．
故选：．
根据平行线的性质进行计算即可．
本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据零指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：把代入二元一次方程中，得，
解得，
故答案为：．
根据二元一次方程的解的定义把代入二元一次方程中即可求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如果，那么，故错误；
，那么；内错角相等，两直线平行，故正确；
，那么；同位角相等，两直线平行，故正确；
，那么；同旁内角互补，两直线平行，故正确．
即正确的有．
故答案为：．
【分析】
根据平行线的判定定理进行逐一判断即可．
此题考查的是平行线的判定定理，比较简单，解答此题的关键是正确区分两条直线被第三条直线所截所形成的各角之间的关系．
14.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以．
故答案为：．
本题考查平行线的性质．
15.【答案】
【解析】解：方程组可变形为：，
方程组的解是，
，
解得：，
故答案为：．
先将方程组可变形为：，从而可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题知，
展开式中项的系数为：，
展开式中项的系数为：，
展开式中项的系数为：，
展开式中项的系数为：，
，
所以展开式中项的系数为．
当时，
展开式中，含项的系数是．
故答案为：．
根据题意，依次求出展开式中项的系数，发现规律即可解决问题．
本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意得出展开式中项的系数为是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，
，得，
解得，
把代入，得，
解得，
所以方程组的解是；
，
，得，
，得，
解得，
把代入，得，
解得，
所以方程组的解是．
利用加减消元法解二元一次方程组即可；
利用加减消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：
；
．
先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可；
先根据积的乘方法则、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可．
本题考查了整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19.【答案】，原式．
【解析】解：
，
当，时，原式．
先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：根据题意联立得，
解得，即两个方程组相同的解是；
把代入方程和中，得，
解得，
所以．
根据题意组成新的方程组，求解即可；
把中、的值代入另两个方程得到关于、的方程组，求解即可．
本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键．
21.【答案】图形如图所示； 如图，即为所求
【解析】解：图形如图所示；
如图，即为所求．
根据题目要求画出图形即可；
利用平移变换的性质分别作出，的对应点，即可．
本题考查作图平移变换，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
22.【答案】，
，
．
，

【解析】证明：，
，
．
，
；
解：，
，
．
，，
．
，
，
．
根据平行线的性质及判定进行证明即可；
根据平行线的性质及判定进行计算即可．
本题主要考查了平行线的判定与性质及角的计算，熟知平行线的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：；
关于，的二元一次方程组为共轭方程，
，，
整理得：
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
，，
则此共轭方程组的共轭系数为，；
不同意他的说法，理由为：
方程组
得：，
得：，
当，即时，，
则当时，无论为何值，与的值相等．
【解析】解：方程的共轭二元一次方程是；
故答案为：；
见答案；
见答案．
根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可；
根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出共辄系数；
表示出方程组的解，根据与相等确定出的范围，即可作出判断．
此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．
24.【答案】 ，，
如图可知，，，，
，
，
，
，
，
，
， 当的值为或或时，
【解析】解：由图可知：，，，
，
，
，
故答案为：；
如图可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，
分类如下：
，如图：
由题意，得，，
，
，即，
解得：；
，如图：
由题意，得，，
，
，即，
解得；
，如图：
由题意，得，，
，
，即，
解得：，
综上所述，当的值为或或时，．
根据邻补角的定义和平行线的性质解答即可；
根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；
由题意，知，因此可画出旋转过程中使的三种情况下的图形，结合图形列出相关角的代数式，利用平行线性质列出方程，求解即可；
本题考查了平行线的性质及应用，垂线的定义，邻补角的定义，一元一次方程的解法，掌握平行线的性质并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．

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