资源简介

/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第1章《二次函数》单元检测2026-2027学年上学期浙教版九年级数学上册（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线顶点式，直接求解即可．
【详解】解：抛物线，
该抛物线的顶点坐标为，
故选：A
将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，
得到的二次函数解析式是（　　 ）
A. B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，
得到的二次函数解析式是．
故选：D．
3．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是（　　 ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】A
【详解】）∵y=－x2＋4x=，
∴当x=2时，y有最大值4，
∴最大高度为4m．
故选A．
4．二次函数，用配方法化为的形式是（　　 ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的关系式，
利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，再匹配对应选项即可．
【详解】解：∵，
∴正确选项为A．
故选：A．
点均在抛物线上，则a，b，c的大小关系为（　　 ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由可知抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向下，而点到对称轴的距离最远，点最近，
∴，
故选：A．
关于二次函数，下列说法正确的是（　　 ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
【答案】D
【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选：D．
7．在2026年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，
发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）
与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，
则小康这次实心球训练的成绩为（　　 ）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
【答案】B
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】解：当时，则，
解得（舍去）或．
故选：B．
8．二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（　　 ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象的综合，根据二次函数图象可得的符号，则可判断出一次函数和反比例函数图象经过的象限，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∵二次函数的图象与y轴交于y轴的负半轴，
∴，
∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故选：C．
如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，
其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：
①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．其中正确的是（　　 ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
【详解】解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得
，
其中，即，
①的长不可以为，原说法错误；
②当时，
解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；
③菜园面积的最大值为，原说法正确；
综上，正确结论是②③．
故选：C．
为规避碰撞风险，两艘渔船在航行时需测量两船实时距离．如图1，甲船位于乙船的正西方向，
甲船从点A出发朝正北方向匀速航行，同时乙船从点B出发朝正西方向匀速航行，
当乙船到点A时，两船均停止航行．设乙船航行的时间为t（单位：），
乙两船距离的平方为y（单位：）．如图2，y关于t的函数图象与y轴交于点，
最低点，且经过点．下列结论中正确的有（　　 ）
①； ②； ③甲船的速度为；
④若存在2个时刻，对应的两船距离相等，且，
则时刻对应的两船距离平方为．
A．②③④ B．①③ C．①③④ D．①④
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的应用，利用勾股定理得出甲、乙两船距离的平方y与t满足二次函数关系，再结合图象上已知点的坐标，利用图象性质逐一分析即可求解．
【详解】解：当时，甲船在点A处，乙船在点B处此时两船距离为，
已知函数图象与y轴交于点，即当时，，
因为y表示甲、乙两船距离的平方，
所以，即，故①正确；
设甲船的速度为，乙船的速度为，经过时间为，甲船航行的距离为，乙船航行的距离为，
根据勾股定理得，
∴y与t满足二次函数关系，
∵点，点，
∴根据二次函数图象性质得，最低点E的横坐标，故②错误；
根据题意，乙船航行的时间时，，
解得，
∵过点，
∴，
解得，故③正确；
∵存在2个时刻，对应的两船距离相等，
∴根据二次函数性质得，
又因为，
所以，
∵，
把，，代入得：，故④正确，
综上，正确的结论是①③④，
故选：C．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．当 时，函数是二次函数．
【答案】－1
【详解】解：依题意得：a2+1=2且a-1≠0，
解得a=-1．
故答案是：－1.
12．二次函数经过点，则的值为 ．
【答案】
【分析】直接代入已知点求解即可.
【详解】解：代入点得，3=1-2+c，解得c=4.
故答案为4.
13. 函数与轴的交点坐标是 ．
【答案】，
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，解一元二次方程的运用，根据题意，令，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：根据题意，令，
∴，即，
解得，，
∴二次函数与轴的交点为：，
故答案为： ．
如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；
则当水面的宽度为米时，水位上升______米．
【答案】/
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够准确地建立坐标系进行求解．
如图建立平面直角坐标系，由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，求出抛物线解析式，然后把代入求解即可．
【详解】解：如图，以水面所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，
由题意得：C为抛物线顶点且坐标为，
可设抛物线解析式为 ，
∴ 即 ，
∴抛物线解析式为 ，
当水面宽度为米时，即当 ， ，
∴水面上升的高度为米，
故答案为：
如图，已知拋物线经过，，三点，
直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，
当最短时，点M的坐标为 ．

【答案】
【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标．
【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，

设直线的解析式为，
将，代入，得，解得，
∴直线的解析式为，
∵抛物线经过、，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，，
∴点M坐标为，
故答案为：．
如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为，
现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论：
①；②；③阴影部分的面积为4；④若，则．正确的是_______
【答案】①③
【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得；然后根据对称轴为 可得，据此判断即可．
②根据抛物线的图像，可得时，，即，据此判断．
③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．
④根据函数的最小值是，判断出时，a、b的关系即可．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
又∵对称轴为
∴，
∴结论①正确；
∵时，，
∴，
∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数的最小值是，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：，
∴结论③正确；
∵，
∴，
∴结论④不正确，
综上，结论正确的有①③．
故答案为：①③
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式．
【答案】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，，
∴二次函数的解析式为．
18. 小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，
下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，
小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．
当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．
．
求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式；
已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）．
【答案】(1)
(2)球不能被射进球门
【分析】此题考查了二次函数的应用，求出抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出当时的函数值，进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意，得，抛物线顶点坐标为，
设抛物线的函数表达式为，
点在抛物线上，
，解得
抛物线的函数表达式为；
（2）当时，
球不能被射进球门．
19．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
当t为何值时，的长度等于？
是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或2；
(2)存在，．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及二次函数的应用，理解题意，正确找出等量关系是解题的关键．
（1）由题意得，，则，再由勾股定理得出关于t的一元二次方程，计算即可得解；
（2）根据题意得出S关于t的二次函数解析式，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：，；
∴当或2时，的长度等于；
（2）解：由题意得，
∵，
∴当时，的面积最大．
杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，
其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示．
求演员弹跳离地面的最大高度；
已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
【答案】(1) ；
（2）能成功；
当x=4时，y=-×42+3×4+1=3.4=BC，
所以这次表演成功．
【分析】（1）将抛物线解析式整理成顶点式，可得最大值，即为最大高度；
（2）将x=4代入抛物线解析式，计算函数值是否等于3.4进行判断.
【详解】(1)y=-x2+3x+1=-+
∵-＜0，
∴函数的最大值是．
答：演员弹跳的最大高度是米．
（2）能成功；
当x=4时，y=-×42+3×4+1=3.4=BC，
所以这次表演成功．
21.如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
求，值；
(2) 动点在直线上方的二次函数图象上，连接，，设的面积为，
求的关于的函数表达式；
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，二次函数的图象和性质，待定系数法，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）首先根据一次函数的解析式求出点的坐标，然后利用待定系数法解题即可；
（2）过点作轴的垂线，交于点，交于点，设，则，，从而求出，然后表示出化简即可．
【详解】（1）解：把代入中，
得，
∴，
把代入中，
得，
∴，
把，代入中，
即，
解得．
（2）解：由上可得抛物线的解析式为，
如图，过点作轴的垂线，交于点，交于点，
设，则，，
∴，
∵，，
∴的面积为为，
∴的关于的函数表达式．
22. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，
一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，
当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．
设每组手办降价元．

(1)用的代数式表示：
①每一组手办的利润是________．
②每天可销售的手办组数是________．
(2)当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？
(3)当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)①；②
(2)每组手办降价5元时利润可以为3500元
(3)当时，有利润的最大值为3600元
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
（1）根据题意可得手办利润=售价-成本，手办组数=原定卖出的组数+每降价后增加的组数；
（2）根据利润关系可以列，计算结果即可；
（3）设每天的利润为，根据题意可以列解析式，再化为顶点式即可得出结果．
【详解】（1）解：①根据售价-成本-降价=利润可得：（元），
②每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组可得：（）元，
故答案为：①；②
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：每组手办降价5或15元时利润可以为3500元．
（3）每天的利润为，
则

，
当时，有利润的最大值为3600元．
23．再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，
已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），
距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：.
x 0 1 2 3 4
y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2
求出铅球的运动轨迹的解析式；
若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，
计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离；
为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，
试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少．
【答案】(1)
(2)所以G到F的距离
(3)增大，该男同学成绩增大
【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点代入得：解答即可；
（2）当时，，解方程求解即可；
（3）设变化后的二次函数表达式为，将点代入得：；解答即可．
本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：由表可知，抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的表达式为，
将点代入得：；
解得：，
∴，
（2）解：当时，
，
解得：，
，
所以G到F的距离
（3）由题意，变化后的二次函数表达式为，
将点代入得：；
解得：，
∴，
当时，，
解得：，
，
所以该男同学成绩增加.
24．在二次函数中．
(1) 若函数图象的顶点在x轴上，求t的值．
(2) 若点在抛物线上，令，求证：．
(3) 如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可；
（2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论；
（3）根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得或，
，
的值为；
（2）证明：点在抛物线上，
，
，
，
，
有最大值，
．
（3），都在这个二次函数的图象上，
二次函数的对称轴直线即为直线，
，
，
，
解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
在中，令得，
抛物线与轴交点为，
关于对称轴直线的对称点为，
，
，
解得；
①当，都在对称轴左侧时，
随的增大而减小，且，
，
解得，
此时满足的条件为；
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，
，
解得：，
此时满足的条件是，
综上所述，或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第1章《二次函数》单元检测2026-2027学年上学期浙教版九年级数学上册
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的顶点坐标是
A． B． C． D．
将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，
得到的二次函数解析式是（　　 ）
A. B．
C． D．
3．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是（　　 ）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
4．二次函数，用配方法化为的形式是（　　 ）
A． B．
C． D．
点均在抛物线上，则a，b，c的大小关系为（　　 ）
A． B． C． D．
关于二次函数，下列说法正确的是（　　 ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
7．在2026年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，
发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y（单位：米）
与飞行的水平距离x（单位：米）之间具有函数关系，
则小康这次实心球训练的成绩为（　　 ）
A．14米 B．12米 C．11米 D．10米
8．二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（　　 ）
A． B． C． D．
如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，
其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：
①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．其中正确的是（　　 ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
为规避碰撞风险，两艘渔船在航行时需测量两船实时距离．如图1，甲船位于乙船的正西方向，
甲船从点A出发朝正北方向匀速航行，同时乙船从点B出发朝正西方向匀速航行，
当乙船到点A时，两船均停止航行．设乙船航行的时间为t（单位：），
乙两船距离的平方为y（单位：）．如图2，y关于t的函数图象与y轴交于点，
最低点，且经过点．下列结论中正确的有（　　 ）
①； ②； ③甲船的速度为；
④若存在2个时刻，对应的两船距离相等，且，
则时刻对应的两船距离平方为．
A．②③④ B．①③ C．①③④ D．①④
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．当 时，函数是二次函数．
12．二次函数经过点，则的值为 ．
13. 函数与轴的交点坐标是 ．
如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；
则当水面的宽度为米时，水位上升______米．
如图，已知拋物线经过，，三点，
直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，
当最短时，点M的坐标为 ．

如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为，
现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，则下列结论：
①；②；③阴影部分的面积为4；④若，则．正确的是_______
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式．
18. 小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，
下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，
小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．
当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．
．
求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式；
已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）．
19．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
当t为何值时，的长度等于？
是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，
其身体看成一点的路线是抛物线的一部分，如图所示．
求演员弹跳离地面的最大高度；
已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
21.如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
求，值；
(2) 动点在直线上方的二次函数图象上，连接，，设的面积为，
求的关于的函数表达式；
22. 随着2025年春节电影《哪吒2》大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，
一组手办（一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组）的成本为60元，经过市场调查发现，
当一组手办定价为100元时，每天能卖出80组，如降价1元销售，其销售量会增加4组．
设每组手办降价元．

用的代数式表示：
① 每一组手办的利润是________．
② 每天可销售的手办组数是________．
(2) 当每组手办降价多少元时利润可以为3500元？
(3) 当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
23．再一次校运会上，一名男同学仍铅球时，其运动轨迹为如图所示的一条抛物线，
已知仍出铅球时，铅球距离男同学的水平距离长为x（单位：m），
距离地面高度为y（单位：m）满足下表关系：.
x 0 1 2 3 4
y 1.4 1.9 2.2 2.3 2.2
求出铅球的运动轨迹的解析式；
若铅球落地的沙坑低于水平面，沙坑边缘与男同学的距离，
计算裁判员测量的铅球落地位置G到F的距离；
为了使铅球抛出距离更远，该男同学计划让铅球扔出后，达到的最大高度在B的下方米处，
试计算说明，该男同学的抛出的铅球距离是增大还是减少？增大（或减少）多少．
24．在二次函数中．
(1) 若函数图象的顶点在x轴上，求t的值．
(2) 若点在抛物线上，令，求证：．
(3) 如果，，都在这个二次函数图象上，且，求的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑