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2025-2026学年辽宁省辽阳市第一高级中高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若有以下两个命题：命题甲：a,b,c成等比数列；命题乙：b2=ac.则命题甲是乙的（　　）
A. 充分而非必要条件 B. 必要而非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.数列0，，，，…的一个通项公式为（　　）
A. an= （n∈N*） B. an= （n∈N*）
C. an= （n∈N*） D. an= （n∈N*）
3.已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A. 函数y=f（x）在（-∞，-1）上是增函数
B. x=3是函数y=f（x）的极小值点
C. f′（3）＜f′（5）
D. f（-1）＜f（3）
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，，，则a7=（　　）
A. 1 B. C. D.
5.如图1甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中已知：OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=A5A6=A6A7=A7A8=…=1，A1，A2，A3…为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为{ln}，则=（　　）
A. 2 B. 3 C. D.
6.给出定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导函数，若方程f″（x）=0有实数解，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”.已知函数f（x）=3x+4sinx-cosx的拐点为M（x0，f（x0）），则下列结论正确的为（　　）
A. tanx0=4 B. 点M在直线y=3x上 C. sin2x0= D. 点M在直线y=4x上
7.已知函数f（x）=ex-x2，对于任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都，则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，2-2ln2） B. （-∞，2-2ln2]
C. （2-2ln2，+∞） D.
8.已知函数，若f（x）≥0对 x∈（0，+∞）时恒成立，则a的值为（　　）
A. B. 1 C. 2 D. e
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知Sn等差数列{an}的前n项和，且a8＜0，a5+a10＞0，则下列选项不正确的是（　　）
A. 数列{an}为递减数列 B. a7＜0
C. Sn的最大值为S7 D. S15＞0
10.已知Sn是数列{an}的前n项和，S8=17S4.下列结论正确的是（　　）
A. 若{an}是等差数列，则S12=48S4 B. 若{an}是等比数列，则S12=273S4
C. 若{an}是等差数列，则公差d＞0 D. 若{an}是等比数列，则公比是2或-2
11.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是关于整除的问题（如7被3除余1，1被2除余1）．现有这样一个整除问题：将1到500这500个正整数中能被4除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，余下的数按从小到大的顺序排成一列构成数列{bm}，记数列{an}的前n项和为An，数列{bm}的前m项和为Bm，则下列说法正确的有（　　）
A. an=20n-19（n≤25，n∈N*） B. An=10n2-9n（n≤25，n∈N*）
C. 数列{bm}共有476项 D. B200=21255
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn=5an-7，则an=______．
13.由正整数组成的数对按规律排列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）， .则数对（5，21）排在第 位.
14.已知a＞1，b＞1时，不等式bea-nalnb≥0恒成立，则n的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
求下列函数的导数
（1）y=ln3；
（2）y=x-3；
（3）；
（4）y=（2x2-1）（3x+1）；
（5）；
（6）.
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足，且S3=2a3-1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=3n-2，求数列{an+bn}的前n项和为Tn．
17.(本小题15分)
求下列数列的和：
（1）1+2x+3x2+ +nxn-1（x≠0）；
（2）.
18.(本小题17分)
已知{an}是递增的等差数列，a3=8，且a2，a4-1，a7成等比数列.
（1）求{an}的通项公式；
（2）记{an}中满足的项的个数为bk，求数列{bk}的前k项和Tk.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=2sinx-ax.
（1）若曲线y=f（x）在x=处的切线斜率为-，求a的值；
（2）讨论函数f（x）在区间[0，π]上的极值点个数；
（3）设g（x）=f（x）+a2ex-2ax,证明：当a≥1时，g（x）≥1恒成立.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】AB
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】305
14.【答案】e2
15.【答案】y′=0 y′=-3x-4 y′=18x2+4x-3
16.【答案】解：（1）由可知，数列{an}是公比为2的等比数列，所以q=2，
又因为S3=2a3-1，所以a1+2a1+4a1=8a1-1，所以a1=1，
所以数列{an}的通项公式为；
（2），
．
17.【答案】；
．
18.【答案】an=3n-1
19.【答案】 当a≤-2或a≥2时，f（x）在[0，π]上无极值点；当-2＜a＜2时，f（x）在[0，π]上有一个极值点 g（x）=2sinx+a2ex-3ax，令G（a）=2sinx+a2ex-3ax，
则G（a）=ex a2-3x a+2sinx是关于a的二次函数，对称轴为，
令，则，
令h′（x）＞0，则x＜1，h′（x）＜0，则x＞1，
所以h（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以，
所以G（a）在[1，+∞）上单调递增，
问题可转化为证明G（1）≥1，即证ex-3x+2sinx-1≥0，
令，则，
令φ（x）=2-3x+2sinx-2cosx，
则，
所以φ（x）在R上单调递减，且φ（0）=0，
所以当x＜0时，F′（x）＞0，当x＞0时，F′（x）＜0，
所以函数F（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
所以F（x）≤F（0）=1，
即，证毕
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