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2025-2026学年湖南省邵阳第二高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若集合A={x|2x-3＜3x}，B={x|x≥2}，则A∪B=（　　）
A. [2，+∞） B. （-3，+∞） C. （-3，2） D. （3，+∞）
2.“x或y为有理数”是“xy为有理数”的（　　）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.0.75-0.1（　　）0.750.1
A. 大于 B. 小于 C. 相等 D. 不确定
4.函数在区间[1，4]上的奇偶性和最小值分别是（　　）
A. 奇函数、 B. 偶函数
C. 奇函数、6 D. 既不是奇函数也不是偶函数、6
5.已知，求cosα-sinα的值（　　）
A. B. C. D.
6.在（x+y）（x-y）5的展开式中，x3y3的系数是（　　）
A. 10 B. 0 C. 10 D. 20
7.一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？（　　）
A. 24 B. 32 C. 30 D. 28
8.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=28，S8=24，则以下正确的是（　　）
A. a1=10 B. d=-1 C. an=11-n D. Sn最大值为30
10.设，则以下正确的是（　　）
A.
B. a0=1
C. a1+a2+a3+…+a2026=2026
D. 各项系数之和为1
11.已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为X，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为Y，则（　　）
A.
B.
C. 小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量满足，则的最小值为 .
13.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内.如果四边形ABCD是边长为4cm的正方形，那么这个八面体的体积是 cm3.
14.已知双曲线与直线y=x+1相交于相异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，则k的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC-b-c=0
（1）求A；
（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．
16.(本小题15分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，令cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中点．
（1）求证：AM⊥平面PCD；
（2）求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值．
18.(本小题17分)
某学院为了调查本校学生2026年4月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0，5]，（5，10]，（10，15]，…，（25，30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求出这40名学生中健康上网天数超过20天的人数，以及估计上网天数的样本数据的平均数和中位数；
（2）现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列及均值E（Y）.
19.(本小题17分)
已知定义在R上的函数f(x)满足: 对任意x, yR都有f(x+y)= f(x)+f(y),
且当x>0时,f(x)>0.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)为奇函数;
(2)判断函数f(x)的单调性,并证明;
(3)若f(k)+f(--)>0对任意x[-1,2]恒成立,求实数k的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】BC
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（）∵在中，，
利用正弦定理可得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入上式并约去2R得：
，
而,
∴,
∴,
∵C为三角形内角，∴0°< C<180°,∴sinC≠0，
∴，即，
∴，
∵A为三角形内角，∴0°< A<180°,
∴．
（）若，的面积为，
则，
∴①，
又由余弦定理可得，
∴②，
由①②解得．
16.【答案】解：(1)设等差数列{}的首项为,公差为d,
则解得
=+(n-1)d=1+(n-1)2=2n-1.
(2)=,=(2n-1),
=1+33+5++(2n-1),
=13+3++(2n-3)+(2n-1),
-,得-=1+2(3+++)-(2n-1)=1+2-(2n-1)=(2-2n)-2,
=(n-1)+1.

17.【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，CD 平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，又AM 平面PAD，
所以CD⊥AM，
因为△PAD是正三角形，M是PD的中点，则AM⊥PD，
又CD∩PD=D，CD，PD 平面PCD，
所以AM⊥平面PCD；
（2）解：取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，
则EF=CD，EF∥CD，所以EF⊥AD，
在正△PAD中，PE⊥AD，
因为EF∩PE=E，EF，PE 平面PEF，
则AD⊥平面PEF，
在正方形ABCD中，AD∥BC，
故BC⊥平面PEF，
所以∠PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，
由CD⊥平面PAD，EF∥CD，
则EF⊥平面PEF，又PE 平面PAD，
所以EF⊥PE，
设正方形ABCD的边长AD=2a，则，
所以，
则，
故侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为．
18.【答案】10人，平均数16.5，中位数为17.22 Y的分布列为：
Y 0 1 2
P

19.【答案】(1)证明:因为定义在R上的函数f(x)满足: 对任意x, yR都有f(x+y)= f(x)+f(y),
令x=y=0，则f(0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0,
令y=-x,则有f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x),
故函数 f(x)为奇函数.
(2)f(x)是R上的增函数.
证明如下:设>, 则, 所以 ,
由 ,得 ，
所以f(x)是R上的增函数;
(3)由题意可知,f(k+--)>0对任意x[-1,2]恒成立,
即f(k+--)>0对任意x[-1,2]恒成立,
由(1)知, f(0)=0, 所以f(k+--)>f(0)对任意x[-1,2]恒成立,
因为y=f(x)是R上的增函数, 所以k+-->0对任意x[-1,2]恒成立,
所以k>+-对任意x[-1,2]恒成立,
即k>1+-对任意x[-1,2]恒成立,
令t=,则t[,4],则g(t)=-4t+1,所以k>g,
当t=4时,g(t)的最大值为g(4)=16-16+1=1.
所以k>1
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