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2025-2026学年安徽省安庆市迎江区田家炳中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.某班有4名男生和3名女生，现从中选出3人参加校运动会志愿者服务，要求选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（　　）
A. 24种 B. 30种 C. 35种 D. 40种
2.已知等差数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若a2+a8=18，则S10=（　　）
A. 60 B. 90 C. 100 D. 180
3.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
4.已知多项式，则a2=（　　）
A. 15 B. 20 C. 60 D. 80
5.若函数在定义域上为增函数，则实数a的范围为（　　）
A. （0，1] B. C. [e,+∞） D.
6.甲、乙、丙等6位同学都要报名参加学校举办的3项不同活动，每人只能报其中一项，要求每项活动至少有一人报名，则不同的报名方式共有（　　）
A. 360种 B. 480种 C. 540种 D. 720种
7.定义在R上的函数f（x）满足f′（x）-f（x）＞0，且f（0）=1，则不等式f（x）＞ex的解集为（　　）
A. （-∞，1） B. （1，+∞） C. （-∞，0） D. （0，+∞）
8.已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，圆O：x2+y2=a2与E的一条渐近线的一个交点为M．若，则E的离心率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.关于二项式（2x-1）5的展开式，下列说法正确的有（　　）
A. 常数项为-1 B. 含x3项的系数为-80
C. 各项系数之和为1 D. 二项式系数之和为16
10.下列有关计数问题的结论中，正确的有（　　）
A. 将一个圆面等分成4个扇形区域，按顺时针依次记为A，B，C，D．用4种不同的颜色涂色，要求相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法有84种
B. 用4种不同的颜色给正三棱柱ABC-DEF的6个顶点涂色，要求同一条棱的两个顶点颜色不同，则不同的涂色方法有264种
C. 将10个完全相同的小球放入4个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，不同的放法有种
D. 将10个完全相同的小球放入4个不同的盒子中，允许有空盒，不同的放法有种
11.设函数f（x）=2x3-3ax2+1，则（　　）
A. 当a＞1时，f（x）有三个零点
B. 当a＜0时，x=0是f（x）的极大值点
C. 存在a,b,使得x=b为曲线y=f（x）的对称轴
D. 存在a,使得点（1，f（1））为曲线y=f（x）的对称中心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演.若甲不站在两端，乙和丙相邻，则不同排列方式共有 种.
13.设函数，则曲线y=f（x）在x=0处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 .
14.“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝，它本身蕴含着非常丰富的数学规律和许多有趣的性质.如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 行中从左到右第12与第13个数的比为3：4.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}和等比数列{bn}，满足a1=b1=1，a2=2b2，a3=2b3-1.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线方程为y=5x-9.
（1）求实数a,b的值；
（2）求f（x）在[1，4]上的最大值和最小值.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PB=PD.
（1）求证：PA⊥BD；
（2）若PA⊥AB，且PA=AB=1，∠BAD=120°，求平面APD与平面CPD所成角的正弦值.
18.(本小题17分)
已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，同时F2也是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点.若点A是曲线E与C在第一象限的交点，且，点A的横坐标为.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）求椭圆E的标准方程；
（3）设椭圆E的左、右顶点分别为A1、A2，过F1的直线l与椭圆E交于P、Q两点（P、Q不与A1、A2重合），记直线PA2、QA1的斜率分别为k1、k2，证明：为定值.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex，g（x）=ax2+x+1（a∈R）.
（1）当时，求证：对于任意x＞0，函数f（x）的图象恒在g（x）图象的上方；
（2）设h（x）=f（x）-g（x），讨论h′（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）已知数列{an}满足，其前n项和为Sn，利用（2）中的结论，证明：对任意正整数n,都有：①；②Sn＞ln（n+1）.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABC
11.【答案】AD
12.【答案】24
13.【答案】
14.【答案】27
15.【答案】an=3n-2，
16.【答案】a=-8，b=1 最大值为3-8ln2，最小值为-4
17.【答案】证明：连接AC交BD于O，连接PO，
由ABCD为菱形，得BD⊥AC，
由PB=PD，得BD⊥PO，又因为AC∩PO=O，AC，PO 平面PAC，
所以BD⊥平面PAC，又因为PA 平面PAC，故PA⊥BD
18.【答案】y2=4x 设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：x=my-1，
联立，得（8m2+9）y2-16my-64=0，
Δ=256m2+256（8m2+9）＞0，
，，
因为A1（-3，0），A2（3，0），所以，
所以．
由，，得my1y2=-4（y1+y2），
所以为定值
19.【答案】f（x）=ex，g（x）=ax2+x+1（a∈R），
当a=时，令h（x）=f（x）-g（x）=ex-x2-x-1（x＞0），
则h′（x）=ex-x-1，，令m（x）=h′（x），则m′（x）=ex-1＞e0-1=0，
所以m（x）在（0，+∞）单调递增，则m（x）＞m（0）=e0-0-1=0，
所以h（x）在（0，+∞）单调递增，则h（x）＞h（0）=e0-0-0-1=0，即f（x）＞g（x）．
故对于任意x＞0，函数f（x）的图象恒在g（x）图象的上方 当a≤时，h′（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞时，h′（x）在（0，ln2a）单调递减，在（ln2a，+∞）单调递增 由（2）知，当a=0时，h′（x）在（0，+∞）单调递增，
所以h′（x）＞h′（0）=0得h（x）在（0，+∞）单调递增，
所以h（x）＞h（0）=0，即ex＞x+1，所以x＞ln（x+1），
故＞ln（+1），即an＞，即①得证；所以an＞==ln（n+1）-lnn，
a1＞ln2-ln1，a2＞ln3-ln2，a3＞ln4-ln3，…，an＞ln（n+1）-lnn．
累加得：Sn＞ln（n+1）-ln1=ln（n+1），故②得证
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