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2025-2026学年广东省韶关市第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={x∈R|x2-x-2＜0}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∩B=（　　）
A. （-1，4） B. C. D.
2.已知p：“x＞2”，q：“x2-x-a＞0”，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. （-∞，2] C. D. [2，+∞）
3.某教育机构为调查中小学生每日完成作业的时间，收集了某位学生100天每天完成作业的时间，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每个区间均为左闭右开），根据此直方图得出了下列结论，其中正确的是（　　）
A. 估计该学生每日完成作业的时间在2小时至2.5小时的有50天
B. 估计该学生每日完成作业时间超过3小时的概率为0.3
C. 估计该学生每日完成作业时间的中位数为2.625小时
D. 估计该学生每日完成作业时间的众数为2.3小时
4.已知首项a1=-6的等差数列{an}中，，若该数列的前n项和Sn=0，则n等于（　　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
5.已知等边△ABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，若，则=（　　）
A. B. C. D.
6.若2sin（α+）=cos（α-），则tan（α-）=（　　）
A. B. C. D.
7.已知m＞0，n＞0，直线与曲线y=2lnx-n+4相切，则的最小值是（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
8.设定义域为R的偶函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），若f'（x）+（x+1）2也为偶函数，且f（2a+4）＞f（a2+1），则实数a的取值范围是（　　）
A. （-∞，-1）∪（3，+∞） B. （-∞，-3）∪（1，+∞）
C. （-3，1） D. （-1，3）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.复数z=cos（）+isinθ，其中0，设z在复平面内的对应点为P，则下列说法正确的是（　　）
A. 当时，|z|= B. 当时，=-1-
C. 对任意θ，点P均在第一象限 D. 存在θ，使得点P在第二象限
10.已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A. 函数f（x）单调递增 B. 函数f（x）值域为（0，2）
C. 函数f（x）的图象关于（0，1）对称 D. 函数f（x）的图象关于（1，1）对称
11.某工厂对一条生产线上的产品A和B进行抽检.已知每轮抽到A产品的概率为P（0＜P＜1），每轮抽检中抽到B产品即停止.设进行足够多轮抽检后抽到A产品的件数与B产品的件数的比例为k,单轮抽检中抽检的次数为x,则（　　）
A. 若，则
B. 当时，P（x=4）取得最大值
C. 若一轮抽检中x的很大取值为M，
D. 恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为偶函数，若f（a）=11，则a= .
13.若函数的最小正周期为π，其图象关于点中心对称，则φ= ______.
14.对于有穷数列{an}，从数列{an}中选取第i1项、第i2项、 、第im项（i1＜i2＜ ＜im），顺次排列构成数列{bk}，其中，则称新数列{bk}为{an}的一个子列，称{bk}各项之和为{an}的一个子列和.规定：数列{an}的任意一项都是{an}的子列.则数列1，2，4，8，16，32的所有子列和的和为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量=（3，4），=（1，x），=（1，2）.
（Ⅰ）若⊥，求||的值；
（Ⅱ）若∥（-2），求向量-2与的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=xlnx,g（x）=.
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若当x＞0时，mx2-ex≤mf（x）恒成立，求实数m的取值范围.
17.(本小题15分)
如图是一个各棱长均为1米的正四棱锥S-ABCD，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从一个顶点开始，等可能地沿棱爬到相邻顶点，已知电子蛐蛐初始从顶点S出发，再次回到顶点S时停止爬行.
（1）求电子蛐蛐爬行2米后恰好回到顶点S的概率；
（2）在电子蛐蛐停止爬行时爬行长度不超过4米的条件下，记爬行长度为ξ，求ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（3）设电子蛐蛐爬行n（n≥2）米后恰好停止爬行（首次回到顶点S）的概率记为Pn，求Pn（用n表示）.
18.(本小题17分)
已知函数y=f（x），其中f（x）=，k∈R.若点A在函数y=f（x）的图像上，且经过点A的切线与函数y=f（x）图像的另一个交点为点B，则称点B为点A的一个“上位点”.现有函数y=f（x）图像上的点列M1，M2，…，Mn，…，使得对任意正整数n,点Mn都是点Mn+1的一个“上位点”.
（1）若k=0，请判断原点O是否存在“上位点”，并说明理由；
（2）若点M1的坐标为（3k,0），请分别求出点M2、M3的坐标；
（3）若M1的坐标为（3，0），记点Mn到直线y=m的距离为dn.问是否存在实数m和正整数T，使得无穷数列dT、dT+1、…、dT+n、…严格减？若存在，求出实数m的所有可能值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=5，S9=63，数列{bn}是公比大于1的等比数列，且b1+b2+b3=14，b1b2b3=64.
（1）求{an}，{bn}的通项公式；
（2）将数列{an}，{bn}的所有项按照“当n为奇数时，bn放在an的前面；当n为偶数时，an放在bn的前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{cn}：b1，a1，a2，b2，b3，a3，a4，…，求数列{cn}的前4n+3项和T4n+3；
（3）是否存在数列{dn}，满足成立？若存在，求出数列{dn}的通项公式；若不存在，请说明理由.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】AD
12.【答案】-2
13.【答案】-
14.【答案】2016
15.【答案】（Ⅰ）．
（Ⅱ）；
16.【答案】解：（Ⅰ）函数其定义域为（0，+∞），
则g′（x）==≤0，
故g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
（Ⅱ）由题意mx2-ex≤mf（x），即mx2-ex≤mxlnx,可得，
即ex-lnx-m（x-lnx）≥0对任意的x＞0恒成立，
令F（x）=x-lnx,则F′（x）=1-=，
∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，
∴当x＞0时，F（x）≥F（1）=1，
令t=x-lnx,则t∈[1，+∞），则ex-lnx-m（x-lnx）≥0对任意的x＞0恒成立，
等价于et-mt≥0对任意的t≥1恒成立，
∴对任意的t≥1恒成立，即t≥1时，m≤，
令，则h′（t）=≥0，
则h（t）在[1，+∞）上单调递增，
故h（1）=e是h（t）在[1，+∞）上的最小值，即h（t）min=e,
所以m≤e,
即实数m的取值范围为（-∞，e]．
17.【答案】解：（1）记事件Ai=“电子蛐蛐爬行的第i米终点为A”，Bi=“电子蛐蛐爬行的第i米终点为B”，
Ci=“电子蛐蛐爬行的第i米终点为C”，Di=“电子蛐蛐爬行的第i米终点为D”，
Si=“电子蛐蛐爬行的第i米终点为S”，Ei=“电子蛐蛐爬行i米后恰好停止爬行”，
则P（E2）=P（A1S2）+P（B1S2）+P（C1S2）+P（D1S2）==；
（2）记事件M=“电子蛐蛐停止爬行时，爬行长度不超过4米”，
，
P（E4）=P（A1B2A3S4）+P（A1B2C3S4）+P（A1D2A3S4）+P（A1D2C3S4）+P（B1A2B3S4）+P（B1A2D3S4）+P（B1C2B3S4）+P（B1C2D3S4）+P（C1B2C3S4）+P（C1B2A3S4）+P（C1D2C3S4）+P（C1D2A3S4）+，
∴，
由题意可得，ξ的可能取值为2，3，4，
则，，，
故ξ的分布列为：
ξ 2 3 4
P
∴；
（3）由题意可知，（P1=0，n≥2）①，
则②，
②-①得：，
∵，
∴．
18.【答案】解：（1）k=0时，，所以f'（x）=x2，f'（0）=0，
所以函数过点A（0，0）的切线方程为y=0，
其与函数图像无其他交点，所以原点O不存在“上位点”．
（2）设点Mn的横坐标为tn，n为正整数，
则函数y=f（x）图像在点Mn+1处的切线方程为y-f（tn+1）=f'（tn+1）（x-tn+1），
代入其“上位点”Mn（tn，f（tn）），得f（tn）-f（tn+1）=f'（tn+1）（tn-tn+1），
化简得，
即得2tn+1+tn=3k（*）；
又点M1的坐标为（3k,0），
所以点M2的坐标为（0，0），点M3的坐标为．
（若没有写出递推公式，直接求出M2的坐标给（4分），M3的坐标给2分）
（3）将（3，0）代入y=f（x），得9-9k=0，解得k=1．
由（*）得，2tn+1+tn=3，即，
所以，即dn=|f（tn）-m|．
令un=|tn-1|，则严格单调递减．
因为（3x-x3）′=3-3x2，所以函数y=3x-x3在区间（0，1）上严格单调递增．
当时，，所以当n≥3时，{dn}严格单调递减，符合要求；
当时，．
因为n≥3时，，
所以当时，，
从而当时，{dn}严格单调递增，不存在正整数T，使得无穷数列dT，dT+1，…，dT+n，…严格单调递减．
综上，．
19.【答案】an=n+2， 4n+1+2n2+9n+5 存在；
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