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2025-2026学年甘肃省兰州市亚西亚中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（　　）
①+2+2+；②2+2+3+3+；③++；④-+-.
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①④
2.已知空间向量=（1，-2，1），=（-1，0，-1），则向量在向量上的投影向量是（　　）
A. B. C. D.
3.曲线在点（-3，2）处的切线方程为（　　）
A. x-y+5=0 B. x+y+1=0 C. 3x-y+11=0 D. 3x+y+7=0
4.已知函数f（x）=lnx-x2，则=（　　）
A. ln2-4 B. -3 C. -7 D. 2ln2-8
5.直线a,b的方向向量为，平面α，β的法向量分别为，则下列选项正确的是（　　）
A. 若a∥b,则 B. 若b∥β，则
C. 若a⊥α，则 D. 若α∥β，则
6.下列求导运算正确的是（　　）
A. y=ln2，则y′=
B. 若f（x）=2xlnx,则f'（x）=
C. 若f（x）=cos（2x+3），则f′（x）=2sin（2x+3）
D. 若f（x）=，则f'（x）=
7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，AB=1，AD=AA1=2，求直线BD1与A1D所成角的余弦值（　　）
A. 0 B. C. D.
8.已知函数f（x）在R上的导函数为f'（x），且f'（x）-1＜0，则f（x）+2x-8＞f（3x-8）的解集为（　　）
A. （-∞，4） B. （0，+∞） C. （-∞，0） D. （4，+∞）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若函数f（x）=alnx++（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　）
A. bc＞0 B. ab＞0 C. b2+8ac＞0 D. ac＜0
10.下列结论正确的是（　　）
A.
B. 设函数f（x）=xlnx,且f′（x0）=2，则x0=e
C. 若，则
D. 设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）=x2+3xf′（2）+lnx,则
11.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（　　）
A.
B. AC1⊥BD
C. 四边形BDD1B1的面积为
D. 平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间中有三点A（3，2，0），B（3，2，2），C（3，0，1），则A到直线BC的距离为 .
13.已知曲线y=ex+1在x=0处的切线也是曲线y=ln（x+1）+a的切线，则a= .
14.已知函数f（x）=x3+mx2，若 x1，x2∈R，且x1＞x2，都有，则实数m的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设=，=，=.
（1）求AE的长；
（2）求AE和CD夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x2（a-lnx）在（1，f（1））处的切线与直线y=x+2平行.
（1）求a的值；
（2）求f（x）的极值.
17.(本小题15分)
棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，F为BD中点，G为AA1的中点.
（1）证明：EF∥平面ABC1D1；
（2）证明：平面BDC1⊥平面BDG.

18.(本小题17分)
在三棱锥P-ABC中，AB=BC=1，，平面ABC⊥平面PBM.
（1）证明：PA=PC；
（2）求三棱锥P-ABC的体积；
（3）求平面APC与平面PCB夹角的余弦值.
19.(本小题17分)
将一个边长为1米的正六边形铁皮的六个角截去六个全等的四边形，再把它沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正六棱柱铁皮盒.
（1）试把这个正六棱柱铁皮盒的容积V表示为盒底边长x的函数；
（2）x多大时，盒子的容积V最大？
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】BD
11.【答案】BD
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】解：（1）=+=++，
=||||cos90°=0，
=||||cos60°=5×4×=10，
=||||cos60°=3×=6，
所以=+++2++
=25+9+×16+0+10+6=54，
所以||==，
即AE=；
（2）=
=
=-25+0-=-30，
||=5，
所以cos===．
所以AE和CD夹角的余弦值为|cos|=．
16.【答案】a=1；
极大值为，无极小值．
17.【答案】解：（1）证明：以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），E（0，0，1），F（1，1，0），B（2，2，0），D1（0，0，2），
则，，
所以，故，
又EF 平面ABC1D1，BD1 平面ABC1D1，
所以EF∥平面ABC1D1；
（2）证明：D（0，0，0），B（2，2，0），C1（0，2，2），G（2，0，1），
所以，=（2，0，1），，
设平面BDC1的一个法向量为，
由，则，令x=1，得，
设平面BDG的一个法向量为，
由，则，令x′=1，得，
由，
得，
故平面BDC1⊥平面BDG．
18.【答案】证明：因为AB=BC=1，点M为AC中点，因此BM⊥AC，
又平面ABC⊥平面PBM，且平面ABC∩平面PBM=BM，AC 平面ABC，
因此AC⊥平面PBM，又PM 平面PBM，因此AC⊥PM，
又点M为AC中点，因此PM是线段AC的垂直平分线，因此PA=PC
19.【答案】解：（1）正六棱柱铁皮盒的底面边长为x（0＜x＜1），
则正六棱柱铁皮盒的高为（1 x），
∴正六棱柱铁皮盒的容积为V（x）=6×x （1-x）=（-x3+x2）（0＜x＜1），
（2）由（1）知，V（x）=（-x3+x2）（0＜x＜1），
则V′（x）=-，
令V'（x）=0，解得x=，
当0＜x＜时，V'（x）＞0，V（x）单调递增，
当x＞时，V'（x）＜0，则V（x）单调递减，
∴当x=时，容积V（x）取得极大值，即最大值，
故底面边长x为时，正六棱柱铁皮盒的容积最大．
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