资源简介

2025-2026学年北京市第三十一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设向量，，若，则x=（　　）
A. 2 B. 1 C. -1 D. 0
3.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为直角梯形A′B′C′D′，其中A′B′∥D′C′，，A′B′=3，，则四边形ABCD的周长为（　　）
A.
B.
C.
D.
4.已知向量，满足，，则与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若c+acosB=bcosA，则此三角形的形状为（　　）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.已知5-2i是关于x的方程x2+mx+n=0（m,n∈R）的一个根，则m=（　　）
A. 10 B. -10 C. 5 D. -5
7.已知m,n,l为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A. 若m∥n,n α，则m∥α
B. 若α⊥β，α∩β=l,m⊥l,则m⊥α
C. 若α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l,则l⊥γ
D. 若α⊥β，l⊥β，则l∥α
8.已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在一半球底面上，且A，B，C，D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数，则下列选项正确的是（　　）
A. z的虚部为-i B. z2为纯虚数
C. |z|=2 D. 在复平面内对应的点位于第二象限
10.下列说法正确的是（　　）
A. 若非零向量满足，则
B.
C. 若为单位向量，则
D. 向量可以作为平面内的一个基底
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1中点，则下列说法正确的是（　　）
A. 直线B1D1与BE是异面直线
B. CD1∥平面A1BE
C. AC⊥BE
D. 三棱锥B1-A1BE的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在△ABC中，，，若，则λ+μ= .
13.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1.则异面直线A1C，B1C1所成角的大小是 .
14.已知复数z满足|z+1|+|z-1|=2，则|z+3-4i|的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（a2+a-2）+（a2-7a+6）i,其中a∈R.
（1）若z∈R，求a的值；
（2）若z是纯虚数，求a的值；
（3）若z对应的点在第一象限，求a的取值范围.
16.(本小题15分)
已知向量=（1，2），=（2，-1），=（m,2），m∈R.
（1）当（+）⊥（λ-）时，求实数λ的值；
（2）当∥（+）时，求向量与的夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为，D为BC中点，且AD=1.
（1）若，求tanB；
（2）若b2+c2=8，求b,c.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，点E，F分别为AD，PC的中点.
（1）证明：DF∥平面PBE；
（2）在棱BC上是否存在点G，使得平面DFG∥平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19.(本小题17分)
如图所示，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E在PD上，且PE：ED=2：1.
（1）证明：BD⊥PC；
（2）求点A到平面PBD的距离；
（3）F是棱PC的中点，证明：BF∥平面AEC.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】BD
10.【答案】ABC
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】60°
14.【答案】
15.【答案】a=1或a=6；
a=-2；
（-∞，-2）∪（6，+∞）．
16.【答案】1；
．
17.【答案】解：（1）在△ABC中，因为D为BC中点，，AD=1，
则=，解得a=4，
在△ABD中，，
由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD ADcos∠ADB，
即=7，解得，
则，=，
所以；
（2）在△ABD与△ACD中，
由余弦定理得，
整理得，而b2+c2=8，则，
又S△ADC=，解得sin∠ADC=1，
而0＜∠ADC＜π，于是，
所以．
18.【答案】证明过程见详解；
=1．
19.【答案】证明过程请见解答； ； 证明过程请见解答．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑