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2025-2026学年山西省太原市高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在统计中，属于连续型随机变量分布的是（　　）
A. 两点分布 B. 二项分布 C. 超几何分布 D. 正态分布
2.已知离散型随机变量X～B（10，0.3），则E（X）=（　　）
A. 7 B. 3 C. 2.1 D. 0.7
3.如图四幅散点图所对应的样本相关系数的大小关系为（　　）
A. r2＜r4＜r3＜r1 B. r4＜r2＜r3＜r1 C. r2＜r4＜r1＜r3 D. r4＜r2＜r1＜r3
4.已知随机变量X的期望E（X）=0，方差D（X）=2，随机变量Y=X-3，则下列结论正确的是（　　）
A. E（Y）=-3，D（Y）=2 B. E（Y）=0，D（Y）=2
C. E（Y）=-3，D（Y）=4 D. E（Y）=0，D（Y）=4
5.已知随机变量X满足P（X=0）=1-p,P（X=1）=p,0＜p＜1，若，则D（X）=（　　）
A. B. C. D.
6.现有甲、乙、丙、丁等8人分成A、B两个技术小组，要求每组4人，且甲、乙必须在同一组，丙、丁不能在同一组，则不同的分配方案有（　　）
A. 10种 B. 12种 C. 16种 D. 24种
7.对某试验的一个数学量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该试验此数学量的最后结果.已知最后结果的误差，为使误差Xn在（-0.75，0.75）内的概率不小于0.9973，则该试验至少需要测量的次数为（　　）
（附：若X～N（μ，σ2），则P（|X-μ|≤3σ）=0.9973）
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
8.已知甲袋中有2个黑球、2个红球，乙袋中有2个红球、1个黑球和1个白球，每个球大小形状都完全相同.现进行摸球游戏，游戏规则为：先从甲袋中随机摸出两个球，再从乙袋中随机摸出一个球.游戏中奖规定：摸出的三个球，若恰有两个红球，则中奖；若恰有一个白球，也中奖；若摸出两个红球和1个白球，则不中奖；其余情况也不中奖，那么一名游戏参与者中奖的概率为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的是（　　）
A. 用χ2独立性检验推断的结论可靠，不会犯错误
B. 独立性检验是对两个分类变量之间的关联性进行统计推断，这种推断基于小概率原理，它与反证法有所不同
C. 在回归分析中，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D. 在回归分析中，决定系数R2越小，模型的拟合效果越好
10.将不同年级的3本数学书和3本不同的物理书排列在同一层书架上，则下列结论正确的是（　　）
A. 若3本数学书都相邻，则不同排列的方法种数为24
B. 若3本数学书都不相邻，则不同排列的方法种数为144
C. 若3本数学书按年级从小到大顺序排列，则不同排列的方法种数为120
D. 若将这6本书分给甲、乙、丙三人，每人1本数学书和1本物理书，则不同排列的方法种数为36
11.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为四个自然数的平方和.例如正整数6=22+12+12+02.设方程58=a2+b2+c2+d2的解集为U={（a,b,c,d）}，其中a,b,c,d均为自然数，则下列结论正确的是（　　）
A. （1，2，2，7）∈U B. U中存在a,b,c,d全不相等的元素
C. U中存在满足a+b+c+d=10元素 D. U中元素的个数为54
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则m= .
13.已知变量x,y之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为.若，则= .
14.已知袋子装有标号分别为1，2，3，4，5，6的6个小球（仅标号不同），从中有放回地随机抽取3次，每次抽取1个球.记X为3次取球试验中，这6个小球至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E（X）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问：
（Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？
（Ⅱ）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？
（Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
16.(本小题15分)
已知（1-2x）（2-x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6.
（1）求a3的值；
（2）求a0+a2+a4+a6的值；
（3）求2a1+23a3+25a5的值.
17.(本小题15分)
2026年6月19日是中国传统的“端午节”，“端午”是中国农历五月初五.端午节源于自然天象崇拜，集祈福辟邪、欢庆娱乐及饮食为一体的民俗大节.为调查不同年龄人群对“端午节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某社区的100位居民，得到如下2×2列联表：
年龄 不了解 了解 合计
30岁以下 25 15 40
50岁以上 20 40 60
合计 45 55 100
（1）依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析受调居民中对“端午节”民俗的了解程度是否存在年龄差异？
（2）受调居民甲、乙两人参加一次民俗文化答题调研.已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道.规定每次甲、乙都从备选试题中各随机抽出3道试题进行回答，答对一题得5分，答错一题得0分.
①求甲答对试题数X的分布列；
②乙答题得分Y的数学期望.
附：χ2=；
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
18.(本小题17分)
男子10米气步枪是奥运会射击比赛项目，国家队在选拔运动员时，通常需要测试运动员在不同场景下的命中率.运动员小明为备战奥运会，到射击馆选择场景A与场景B进行相关训练，训练规则如下：若在某场景下命中目标，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中目标，则更换到另一场景下进行射击.已知小明在场景A下命中率为，在场景B下命中率为.训练时，每次射击命中目标记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击.
（1）求小明在前3次射击得到1分的概率；
（2）若小明在前3次射击得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率；
（3）求小明第n次在场景A下射击的概率Pn.
19.(本小题17分)
某人工智能科技公司对其产品研发年投资额x（单位：百万元）与其年销售量y（单位：千件）的数据进行统计，整理后得到如下统计表1和散点图.
表1：
x 1 2 3 4 5
y 0.5 1 1.5 2.5 4.5
（1）求年销售量y关于年投资额x的线性经验回归方程；
（2）该公司科研团队通过进一步分析散点图的特征后，计划用y=ebx+a作为年销售量y关于年投资额x的非线性经验回归方程，请根据表2的数据，求出此方程；
表2：
x 1 2 3 4 5
z=lny -0.7 0 0.4 0.9 1.5
（3）请根据表3的数据，用残差平方和比较（1）和（2）中经验回归方程的拟合效果.
表3：
n 2 3 4 5
1.7n的近似值 2.9 4.9 8.4 14.2
参考公式；
参考数据：e0.53≈1.7，e-1.17≈0.3.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】2或5
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，从5名男生中选出2人，有C52=10种选法，
从4名女生中选出2人，有C42=6种选法，
则4人中男生和女生各选2人的选法有10×6=60种；
（Ⅱ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法，
其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有C74=35种，
则甲与女生中的乙至少要有1人在内的选法有126-35=91种；
（Ⅲ）先在9人中任选4人，有C94=126种选法，
其中只有男生的选法有C54=5种，只有女生的选法有C44=1种，
则4人中必须既有男生又有女生的选法有126-5-1=120种．
16.【答案】-200 364 -2560
17.【答案】存在 ①
X 0 1 2 3
P
②12
18.【答案】
19.【答案】=0.95x-0.85 =e0.53x-1.17 （2）中经验回归方程=e0.53x-1.17的拟合效果好
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