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山东青岛市市南区2025-2026学年2025~2026学年度第二学期期末学业水平质量检测八年级数学
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.胶州剪纸是青岛非遗项目，其纹样对称优美．下列剪纸纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.把分式中的x、y同时变为原来的0.5倍，那么分式的值（　 ）
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不改变
3.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A. B.
C. D.
4.对于下列命题：
①是最简分式；
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
③无论x取何值，代数式的值都不小于1；
④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
其中真命题有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.某工地有一个可调节的三角支撑支架，支架底部端点为O，两条可绕O转动的杆分别为、，点N固定在上，点A在上滑动，点M在上滑动，三根支撑段满足．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6.我们约定：若一个正整数能表示成两个偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“美丽数”，如，所以4就是一个“美丽数”．下列数字中，不是“美丽数”的是（ ）
A. 36 B. 40 C. 44 D. 48
7.在梯形中，，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9.若关于的不等式组有4个整数解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，四边形和四边形均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等），将正方形绕点A旋转，使点E恰好落在上，连接．以下结论正确的有（ ）
①；
②；
③的面积为面积的一半；
④点B在的垂直平分线上．
A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若，，则 （填“”或“”或“”）
12.已知关于x的多项式因式分解的结果为，则k的值为 ．
13.如图，在中，O为对角线和的交点，点M，N，P分别是，，的中点，连接，，，，，则的度数为 °．
14.线段两个端点的坐标分别为，，将平移后，A的对应点的坐标为，则B对应点的坐标为 ．
15.对于两个分式M和N，我们定义一种新的运算“※”如下：，其中，．例如：，则 ．
16.如图，平面直角坐标系中，过点的直线与轴垂直，点M、N为直线上两个动点，且线段长度固定为3．已知点，，则的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
(1) 因式分解：；
(2) 解分式方程：；
(3) 解不等式组：，并写出它的所有整数解的和．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
已知：线段a，b，求作：，使，高．（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）
19.(本小题6分)
如图所示的平面直角坐标系中，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，四边形的顶点都在格点上．将四边形向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到四边形，四边形关于点O的中心对称图形是四边形．
(1) 请画出四边形；
(2) 请画出四边形；
(3) 若将四边形绕某一点旋转可得到四边形，则旋转中心的坐标是 ．
20.(本小题7分)
先化简：，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
21.(本小题7分)
某公司根据青岛海洋城市特点推出“海蛎子”和“生蚝”两种海鲜毛绒玩偶进行销售，已知“海蛎子”毛绒玩偶的销售单价比“生蚝”毛绒玩偶的销售单价少10元，用1800元购买“海蛎子”毛绒玩偶的数量是用2750元购买“生蚝”毛绒玩偶数量的，求“海蛎子”毛绒玩偶和“生蚝”毛绒玩偶的销售单价．
22.(本小题8分)
已知：在中，，分别平分，，分别交于点E，F，连接，．
(1) 求证：；
(2) 求证：四边形是平行四边形．
23.(本小题9分)
某超市从海鲜养殖基地以20元/斤的价格购进了100斤活虾，运输过程中部分活虾无法存活，销售时会以冰鲜虾的价格出售，活虾的售价为30元/斤，冰鲜虾的售价为15元/斤．这批虾运到超市上架销售，若当天全部卖出，可获得利润为850元．
(1) 求运输过程中虾的存活率是多少？
(2) 在实际销售过程中，若当天不能全部卖完，每天又会有3斤活虾无法存活，超市将这批虾最多多少天卖完，才能获得至少的利润？
24.(本小题11分)
已知：如图①，是等边三角形，O为中线的交点，M，N分别为边，上一点，．
(1) 求证：是等腰三角形；
(2) 如图②，四边形是边长为1的正方形，，点O为和的角平分线的交点，M，N分别为边，上一点，当 °时，是等腰三角形，此时的最小值是 ；
(3) 反思以上解题过程，你还可以研究哪些问题？
25.(本小题12分)
数形结合是数学中一种重要的思想方法，利用它可以将一些复杂、抽象的问题简洁直观地解决．
(1) 用图1中的若干边长为a和b的正方形卡片，以及若干长为a、宽为b的小长方形卡片，可以拼成图2的大长方形，利用大长方形总面积和每张卡片的面积之间的关系，可以得到一个关于因式分解的等式为 ；
(2) 请你利用图1中的若干卡片拼出面积为的长方形，请画出图形，并写出你得到的关于因式分解的等式．
(3) 以上两个问题都是利用拼图的方法将一个多项式进行因式分解，除了拼图，我们也可以利用割补的方法来解决一些问题．
①要分解多项式，可以将图3的正方形裁去一部分（阴影部分），把剩下的图形割补成图4的长方形，请在图形中完成填空，则分解因式_________；
②类似的，请你利用割补的方法将多项式进行因式分解，画出图形表达割补的过程，并写出结论．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】9
13.【答案】110
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：原式
【小题2】
解：方程两边同乘以，得
解得
检验：当时，
∴原方程无解
【小题3】
解：解不等式，得
解不等式，得
∴不等式组的解集为
∴不等式组的整数解为，
∴不等式组的所有整数解的和为

18.【答案】
19.【答案】【小题1】
如图
【小题2】

【小题3】


20.【答案】
，
∵，，
∴，，
∴当时，原式；当时，原式.

21.【答案】解：设“海蛎子”毛绒玩偶的销售单价为元，则“生蚝”毛绒玩偶的销售单价为元，
根据题意，得：
解得；
经检验，是原方程的解，且符合题意，
；
答：“海蛎子”毛绒玩偶的销售单价为45元，“生蚝”毛绒玩偶的销售单价为55元.

22.【答案】【小题1】
证明：四边形是平行四边形，
、、，
，
，分别平分，，
、，
，
在和中，
，
；
【小题2】
证明：由（1）知，，
、，
，
即，
，
四边形是平行四边形．

23.【答案】【小题1】
解：设出售的活虾为斤，
根据题意，得，
解得，
∴运输过程中虾的存活率是；
【小题2】
解：设超市天卖完这批虾，才能获得至少的利润，
根据题意，得，
解得，
答：最多10天卖完.

24.【答案】【小题1】
证明：是等边三角形，O为中线的交点，
点也是角平分线的交点、，
，
、，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形；
【小题2】
90

【小题3】
在（2）中若是等腰直角三角形，求四边形的面积？
解：由（2）知，，
，
，
，且，
，
四边形的面积为．

25.【答案】【小题1】

【小题2】
解：拼接方法：拼出长为、宽为的长方形，共使用2张边长为的正方形、2张边长为的正方形、5张长、宽的长方形，即可得到因式分解等式：；
；
【小题3】
解：①图4中，割补后长方形的长为、宽为，
因此，；
②解：割补后的图形如图：
结论：．

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