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2025-2026学年山东省济南市莱芜区七年级（下）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（　　）
A. 科克曲线 B. 笛卡尔爱心曲线
C. 阿基米德螺线 D. 三叶玫瑰线
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A. （x+3）（x-3）=x2-9 B. x2-4y2=（x+4y）（x-4y）
C. x2-5x+6=x（x-5）+6 D. 4x2-4x+1=（2x-1）2
3.若x,y均为实数，且x＞y,则下列不等式不成立的是（　　）
A. x-y＞0 B. x+3＞y+3 C. -2x-1＞-2y-1 D.
4.在平面直角坐标系中，将点A（4，1）向左平移5个单位长度后，恰好在一次函数y=kx+3的图象上，则k的值为（　　）
A. 1 B. 2 C. -1 D. -2
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E.连接BD，若∠A=38°，则∠DBC的度数为（　　）
A. 30°
B. 33°
C. 36°
D. 38°
6.将分式中的m,n同时扩大为原来的2倍，分式的值将（　　）
A. 不变 B. 扩大2倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的
7.如图，直线y=kx+2与直线y=mx相交于点A（2，1），与x轴交于点B（4，0），则关于x的不等式组0＜kx+2＜mx的解集是（　　）
A. x＜4
B. x＞2
C. 2＜x＜4
D. x＞4或x＜2
8.关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（　　）
A. a＞-1 B. a＞-1且a≠1 C. a＜3 D. a＜3且a≠1
9.如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM，AN相交于点B，C；分别以点B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP.分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP，AN相交于点F，Q，H.若AB=8，∠PQE=67.5°，则AH=（　　）
A. B. 4 C. D.
10.如图，△ACB中，AB=AC，∠BAC=90°.D是△ACB内一点，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACE，BD延长线交CE于点F，ED延长线交BC于点G，连接AF.下列结论：①∠AED=45°；②BF⊥CE；③∠CGE=∠BAD；④FA平分∠BFE.其中正确的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.若分式的值为零，则x的值等于 .
12.分解因式：m2-2m-3= .
13.如图，在△ABC中，AB=2，∠B=60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移后，得到△A′B′C′，过点A′作A′D⊥BC于点D，则A′D= .
14.如果不等式组有3个整数解，则m的取值范围是 .
15.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，过点C作CE⊥BD于点E，CE=6，则BD= .
三、计算题：本大题共4小题，共31分。
16.（1）分解因式：x3-4x2y+4xy2；
（2）解方程：.
17.解不等式组：，并写出它的所有非负整数解.
18.化简：（a+2+），并在0，1，2中选择一个合适的a的值代入求值.
19.
背景 为遏制沙漠扩张，黄河“几字弯”防沙治沙核心区域启动“林草锁边带”工程，构建绿色屏障.工程引入两类智能机器，植树机器人A可用于挖坑、栽苗、浇水；飞播无人机B专攻复杂地形，飞播效率为人工的百倍以上.
问题解决
种植信息 植树机器人A每日种植面积比飞播无人机B多20亩，植树机器人A种植300亩沙地所用时间与飞播无人机B种植200亩沙地所用时间相等.
任务1 求植树机器人A和飞播无人机B每日种植面积；
设备成本 植树机器人A价格：6000元/台，飞播无人机B价格：4000元/台.
任务2 若治沙需要A，B两种机器共10台，且要求每天治沙面积不少于500亩，那么该工程如何购买A，B两种智能机器，才能使总成本最低？请求出最低成本.
四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上.
（1）画出与△ABC关于点O成中心对称的△A1B1C1，则C1的坐标是______；
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A2B2C，画出△A2B2C；
（3）在平面内存在点D，使得△ABD是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出符合条件的所有点D的坐标.
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点G，且AD=AB，E，F分别是边AB，AC上的点，且∠BDE=∠ADF.
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）若AB=AC=11，CF=8，求BE的长.
22.(本小题9分)
对于任意有理数a,b,c,d,定义一种新运算：.
（1）=______；
（2）对于有理数x,y,若是一个完全平方式，则k=______；
（3）对于有理数x,y,若x+y=5，xy=1，求的值.
23.(本小题10分)
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC.
（1）如图1，△ABC的外角∠ACF的平分线CP与BP交于点P.求证：；
（2）如图2，AC的垂直平分线交BP于点Q，交AC于点G，过点Q作QM⊥BC于点M，QN⊥BA，交BA的延长线于点N，若BC=9，BN=7，求AN的长.
24.(本小题12分)
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：.
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”.如这样的分式就是真分式，，这样的分式就是假分式.
类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如，.
根据材料，解决下列问题：
【理解知识】（1）分式是______分式（填“真”或“假”）；
【掌握知识】（2）将假分式化为带分式；
【运用知识】（3）求所有符合条件的整数x的值，使得分式的值为整数.
25.(本小题12分)
在△ABC中，点D是AB上一动点，连接CD.将线段CD绕点C逆时针旋转至CE，记旋转角为α，延长AC至点F，使CF=AC，连接EF，过点E作EG⊥AF于点G.
【特例感知】
（1）如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，α=90°，请直接写出BD与EF的数量关系______，BD与EG的数量关系______；
【类比迁移】
（2）如图2，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC，∠ACB=120°，α=60°.探究线段BD与EG的数量关系，并证明你的结论；
【拓展应用】
（3）如图3，已知在△ABC中，BC=11，AC=6，∠ABC=30°，∠ACB=180°-α，在点D的运动过程中，求线段EF长度的最小值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】3
12.【答案】（m-3）（m+1）
13.【答案】
14.【答案】1≤m＜2
15.【答案】12
16.【答案】x（x-2y）2 x=-1
17.【答案】，该不等式组的所有非负整数解为0，1，2，3．
18.【答案】，-1．
19.【答案】（任务1）植树机器人A每日种植面积是60亩，飞播无人机B每日种植面积是40亩；
（任务2）当购买5台植树机器人A，5台飞播无人机B时，总成本最低，最低成本为50000元．
20.【答案】如图，△A1B1C1，即为△ABC关于点O成中心对称的三角形，
（-3，-4）； 如图，△A2B2C是△ABC绕点C逆时针旋转90°所得 如图，点D的坐标为（-1，0）、（3，2）
21.【答案】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点G，
∴∠DAB=∠DAC=∠BAC=60°，
在△ABD中，AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形 BE的长为3
22.【答案】8 ±2 -15
23.【答案】∵BP平分∠ABC，与△ABC 的外角平分线CP交于点P，
∴，
，
∵∠ACF是△ABC的一个外角，
∴∠ACF=∠ABC+∠A，
∴∠A=∠ACF-∠ABC，
∵∠PCF是△PBC 的一个外角，
∴∠PCF=∠PBC+∠P，
∴∠P=∠PCF-∠PBC=2（ 2
24.【答案】真 1- -1或0或2或3
25.【答案】EF=BD;BD=EG BD=2EG，理由如下：
∵∠ACB=120°，AB=BC，
∴∠BCF=60°，∠A=∠B=30°，
∵AC=BC，CF=AC，
∴BC=CF，
由旋转得CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠BCF=∠DCE，
∴∠BCF-∠BCE=∠DCE-∠BCE，
∴∠DCB=∠ECF，
∴△DCB≌△ECF（SAS），
∴BD=EF，∠F=∠B=30°，
在Rt△EFG中，EF=2EG，
∴BD=2EG 线段EF长度的最小值为
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