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山东济南市钢城区2025-2026学年度下学期期末诊断性评价八年级数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于的方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.在中，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（ ）
A. B. C. D.
4.一元二次方程根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
5.大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（　　）．
A. B. C. 3 D.
6.若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
7.南宋数学家秦九韶在其传世名著《数书九章》的“市易”卷中，曾探讨过商贾资本与货物周转的增值问题．书中记载，某丝绸商号在淳熙三年冬至时，用于采买生丝的本金为2000贯；至淳熙五年冬至，因经营有方、丝价上涨，该商号的总资本增至约3200贯．若设这两年间商号本金平均每年的增长率为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
8.函数与在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于，连接，再分别以为圆心，大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列说法中错误的是（ ）．
A. B. ∽ C. D.
10.如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知则代数式的值为 ．
12.若关于的方程是一元二次方程，则 ．
13.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，热气球与楼的水平距离为，这栋楼有多高 （结果保留根号）．
14.如图，平行四边形中，点是边上的一点，连接，交于点F；若，的面积为8，则的面积是 ．
15.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，在轴正半轴上，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点与边相交于点，若，，则 ．
三、计算题：本大题共2小题，共14分。
16.计算：
(1) ；
(2) ．
17.解下列方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共8小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题7分)
如图，在中，是上一点，是上一点，且．
(1) 求证：∽；
(2) 若求的长．
19.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，
(1) 以原点为位似中心，在轴的左侧作，使它与的相似比为，点，，的对应点分别为，，；
(2) 与的面积比为 ．
(3) 的面积是 ．
20.(本小题7分)
关于的一元二次方程．
(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若、是方程的两个实根，且，求的值．
21.(本小题8分)
近年来，户外露营行业快速发展，露营装备销量逐年增长．经市场调研发现，当某款帐篷每套盈利元时，月销售量为套．现对这款帐篷的销售单价进行调整，已知这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套．
(1) 若该帐篷每套涨价元，则此时月销售量是多少套？（用含的代数式表示）
(2) 若要使这款帐篷的月销售利润达到元，并最大限度让利给消费者，那么该款帐篷每套应涨多少元？
22.(本小题8分)
随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．
(1) 求的长；
(2) 求楼与之间的距离的长．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
23.(本小题6分)
某学校为了方便学生饮水，新近安装了智能饮水机．如图，楼道里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时，每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至时，饮水机会再次启动加热，重复上述自动程序．若水温为时，接通电源，水温与时间的关系如图所示．

(1) 分别写出水温上升和下降阶段与之间的函数关系式．
(2) 求在一个循环内水温高于的时间．
(3) 若饮水机早上已加满水，开机温度是，为了使下课时水温达到及以上，并节约能源，请通过计算写出饮水机在上午什么时候接通电源比较合适．
24.(本小题9分)
如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点．
(1) 求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2) 直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值；
(3) 如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标．
25.(本小题9分)
综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
(1) 【问题发现】如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为 ．
(2) 【拓展探究】如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，在旋转的过程中，与的数量关系是否发生变化？请利用图2进行证明．
(3) 【解决问题】如图3，当矩形的边时，点为射线上异于的一点，以为边在右侧作正方形，点为正方形的对称中心，连接，若，，求出的长．
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】70
15.【答案】36
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

17.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∴或，
∴，；
【小题2】
解：∵；
∴，，，
∴，
∴，
∴，．

18.【答案】【小题1】
证明：∵，，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴．

19.【答案】【小题1】
如图，即为所求；
【小题2】

【小题3】
14

20.【答案】【小题1】
证明：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根．
【小题2】
解：由题意可得，，
∵，
∴，
解得．

21.【答案】【小题1】
解：这款帐篷每套每涨价元，月销售量将减少套，
该帐篷每套涨价元时，月销售量为；
【小题2】
解：设该款帐篷每套涨价元，
根据题意得：，
解得：，，
要最大限度让利于消费者，所以涨价元，
答：该款帐篷每套应涨价元．

22.【答案】【小题1】
解：如下图所示，延长交的延长线于点，设米，
在中，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
答：的长为；
【小题2】
解：过点作，交于点，
，，
，
点到楼的水平距离为，即，
在中，，，
，
，
答：楼与之间的距离的长约为米．

23.【答案】【小题1】
解：水温上升时，即当时，设关于的函数关系式为，
由图像可得：，解得：，
∴关于的函数关系式为；
水温下降时，即当时，设关于的函数关系式为，
由图像可得：，解得：，
∴关于的函数关系式为；
【小题2】
解：当时，，解得；
，解得；
∴在一个循环内水温高于的时间为（分钟）；
【小题3】
解：由题意可得，当时，，解得：，
∴，即开机接通电源比较合适．

24.【答案】【小题1】
解：将代入直线得，，
解得，
∴一次函数的解析式为，
再将代入得，，
∴反比例函数的解析式为，
联立得，
解得：（舍去），，
∴；
【小题2】
解：在中，当时，，则，
作点E关于x轴的对称点，则，
根据轴对称性质，，
∴．
当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．
，
∴的最小值为．
设直线的方程为．
将和代入得，
解得．
∴直线的方程为
令，得，解得．
∴点P的坐标为．
【小题3】
解：如图，过C作轴交于点T，
设，，则，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴点C的坐标为．

25.【答案】【小题1】

【小题2】
与的数量关系不变，证明如下：
∵，旋转角为，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
【小题3】
解：当矩形的边时，四边形为正方形，
①如图3，当点E在线段上时，连接、，
∵四边形和四边形为正方形，且点H为正方形的对称中心，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②如图4，当点E在线段延长线上时，连接、，
∵四边形和四边形为正方形，且点H为正方形的对称中心，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或者．

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