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2025-2026学年重庆市南岸区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列多项式中，因式分解结果是（x+2）（x-2）的是（　　）
A. x2-2 B. x2+2 C. x2-4 D. x2+4
2.若分式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A. x≠-1 B. x=-1 C. x≥-1 D. x＞-1
3.分式方程的解是（　　）
A. x=-2 B. x=2 C. x=1 D. x=-1
4.如图，在△ABC中，点E是△ABC内一点，连接EB，EC，ED垂直平分AB，若∠EBC=∠ECB，EC=4，则点A，E之间的距离为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
5.已知a,b两个实数在数轴上的对应点如图所示，则以下结论错误的是（　　）
A. |a|＞|b| B. a+b＞a-b C. a＞ab D. a-b＞a
6.如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC交AC于点E，若∠B=72°，AB=a,BC=b,则△CDE的周长为（　　）
A. a+b
B. 2a-b
C. 2b-a
D. 3a-2b
7.如图，在 ABCD中，E为对角线AC上一点，且AE=3EC，F是BC的中点，AB⊥AC，若AB=5，AC=12，则EF的长为（　　）
A. 3 B. C. D.
8.如图所示，是一张边长为x的正方形纸板，将它的四个角各剪去边长为y的小正方形，然后将四周凸出部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒.用A表示这个无盖的长方体纸盒的底面积与侧面积的差，则A可因式分解为（　　）
A. （x-2y）（x-6y） B. （x-2y）（x-4y）
C. （x-y）（x-5y） D. （x-y）（x-4y）
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′点B，C的对应点分别为B′，C′，B′C′的延长线与边BC相交于点D，连接CC′，若AC=3，CD=4，则线段CC′的长为（　　）
A. B. C. 4 D. 5
10.已知a,b,c是△ABC的三条边长，记，其中k为整数.以下结论：①若三角形为等边三角形，则t=2；②若k=2，t=1，则△ABC为直角三角形；③若k=1，，c=1，则5＜t＜11；④若k=1，，a,b,c为三个连续整数，且a＜b＜c,则满足条件的△ABC的个数为6.其中，正确的结论有（　　）
A. ①② B. ②③ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：a2-a= .
12.一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ．
13.如图，将周长为20的△ABC沿BC方向平移2个单位长度得△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为 .
14.如图所示，是公交总站（A站点）与B，C两个站点的位置，已知AC=4km,∠B=45°，∠C=60°，则B站点离公交总站的距离AB= （结果保留根号）.
15.如图所示，A，B两个单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线l1，l2是街道两边沿，且l1∥l2），现在准备在这条街道上方修建一座垂直于街道的天桥，使得由A经过天桥走到B的路线最短.根据图中提供的数据，由A经过天桥走到B的最短路线长约为 m（结果保留根号）.
16.我们可以利用a2±2ab+b2=（a±b）2和x2≥0解决代数式求最值的问题.
例如x2-4x+5=x2-2×2x+22+1=（x-2）2+1.
∵（x-2）2≥0，∴（x-2）2+1≥1.
∴当x=2时，x2-4x+5有最小值，最小值为1.
利用以上的方法，可求出代数式x2-2x+3的最小值为______；用长为20m的篱笆围成一个长方形的花圃，能围成的花圃的最大面积是______m2.
三、计算题：本大题共3小题，共30分。
17.先化简，再求值：，其中.
18.数学课上，老师出示一道练习题：甲、乙两地相距1400km,乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h.已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍.求乘高铁列车从甲地到乙地的时间.
老师要求学生先用表格方式分析再解答.下面是两位同学分析时所用的表格.
小亮：设特快列车的平均行驶速度为x km/h.
路程/km 平均行驶速度/（km/h） 时间/h
高铁 1400 ______ ______
特快 1400 x ______
小颖：设乘坐高铁列车从甲地到乙地的时间为y小时.
路程/km 平均行驶速度/（km/h） 时间/h
高铁 1400 ______ y
特快 1400 ______ ______
（1）根据题意，补全表格中空缺的量；
（2）结合表格，选择一种方法进行解答.
19.李师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车.
燃油车：油箱容积45L，
油价8元/L，续航里程akm,
每千米行驶费用：元. 新能源车：电池电量60kw h,
电价：0.6元/（kw h），续航里程akm,
每千米行驶费用：？元.
（1）用a的含代数式表示新能源车每千米行驶费用；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出这两款车的每千米行驶费用；
（3）在（2）的条件下，燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4800元和7500元.每年行驶多少千米时，买新能源车的年费用更低？（说明：年费用=年行驶费用+年其他费用）
四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
请结合题意填空，完成本题的解答.
解不等式组.
解：解不等式①，得______；
解不等式②，得______；
在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图所示.
因此，原不等式组的解集为______.
21.(本小题8分)
以下是小明证明“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的过程.请按照要求补全图形和证明过程.
已知：如图，D是∠ABC边AB上一点，过点D作AB的垂线DE.
（1）尺规作图：在BC上截取BF=BD；作∠ABC的平分线交DE于点P，连接PF（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）补全以下证明过程.
证明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB=90°.
∵BP平分∠ABC，
∴______.
在△BDP和△BFP中，
，
∴△BDP≌△BFP（SAS）.
∴______，∠PFB=∠PDB=90°.
所以，点P到AB，CB的距离相等.
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系内，完成以下各题.
（1）将坐标为（2，0），（7，4），（5，0），（7，1），（7，-1），（5，0），（6，-2），（2，0）的点在已知图形中描出，并用线段依次连接，得到图形1；
（2）先将图形1向左平移两个单位后，再绕原点O旋转180°，得到的图形2；
（3）直接写出图形1中的任意一点M（x,y），在图形2中对应点M′的坐标.
23.(本小题10分)
如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线.
（1）若∠B=70°，∠C=30°，求∠AEC和∠DAE的度数；
（2）若∠B=α，∠C=β，且α＞β，直接写出∠AEC和∠DAE的度数（用含α，β的代数式表示）.
24.(本小题10分)
如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过点A，C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.
（1）若AB=4，∠ABE=45°，∠CBE=30°，求 ABCD的周长（结果保留根号）；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形.
25.(本小题10分)
在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点D在射线BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°-2α得到线段AE（点E不在直线AB上），过点E作EF∥AB，交直线BC于点F.
（1）如图1，α=45°，点D与点C重合，求证：AC=BF；
（2）如图2，点D在BC的延长线上，用等式表示DF与BC的数量关系并证明；
（3）若α=30°，点D在BC的延长线上，当A，B，E，F四点恰好构成平行四边形时，直接写出的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】a（a-1）
12.【答案】6
13.【答案】24
14.【答案】
15.【答案】（20+10）
16.【答案】2，25．
17.【答案】；．
18.【答案】2.8x，，；，y+9 高铁列车从甲地到乙地的时间为5h
19.【答案】元 燃油车每千米行驶的费用为0.6元，新能源车每千米行驶的费用为0.06元 当每年行驶里程超过5000千米时，买新能源车的年费用更低
20.【答案】x＞-2，x≤5，
，-2＜x≤5．
21.【答案】图形如图所示：
∠ PBF=∠PBD;PD=PF
22.【答案】如图所示，即为所求作； 如图所示，即为所求作．
点M′的坐标为（2-x，-y）
23.【答案】∠AEC=110°，∠DAE=20° ，
24.【答案】 ABCD的周长为 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，且AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∴AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形
25.【答案】证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵线段AD绕点A逆时针旋转180°-2×45°=90°得到线段AE，点D与点C重合，
∴AE=AD=AC，∠EAB=90°-∠BAC=45°，
∴∠EAB=∠ABC，
∴BC∥AE，
∵EF∥AB，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴BF=AE，
∴BF=AC 解：DF=2BC；证明：在BC上取点P，使PC=DC，连接BE，如图，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-90°=90°=∠ACB，
∵AC=AC，CD=PC，
∴△ACD≌△ACP（SAS），
∴CD=CP，∠DAC=∠CAP，AD=AP，
设∠PAB=β，
∵∠APC是△APB的外角，
∴∠APC=∠PAB+∠ABP=α+β，
∴∠CAP=90°-∠APC=90°-α-β，
∴∠DAC=∠CAP=90°-α-β，
∵∠DAE=180°-2α，
∴∠EAP=∠DAE-∠DAC-∠CAP
=180°-2α-90°+α+β-90°+α+β
=2β，
∴∠BAE=∠EAP-∠BAP=β，
∴∠BAE=∠BAP，
∵AE是由AD旋转得到，
∴AE=AD=AP，
∵AB=AB，
∴△ABP≌△ABE（SAS），
∴∠ABE=∠ABD=α，BE=BP，
∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE=α，
∴∠BEF=∠F，
∴BE=BF，
∴DF=DC+BC+BF=PC+BC+BE=PC+BC+BP=2BC 或
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