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第二十六章二次函数单元测试提升卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于的函数中，属于二次函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：、是二次函数，故此选项符合题意；
B、是一次函数，故此选项不符合题意；
C、是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、是正比例函数，故此选项不符合题意；
故选：．
形如、、是常数，的函数叫做二次函数，由此判断即可．
本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键．
2.将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，
得到的抛物线的解析式是．
故选：．
利用函数图象的平移规律即可求解．
本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握其平移规律是解题的关键．
3.抛物线与轴的交点的坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由题意，抛物线为，
令，则．
抛物线与轴的交点为．
故选：．
依据题意，由抛物线为，从而令，则，故抛物线与轴的交点为，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
4.若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】二次函数图像的对称轴为轴，若图像经过点，则该图像必经过点故选A．
5.如果抛物线与轴的一个交点的坐标为，那么另一个交点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由抛物线知，该抛物线的对称轴是直线．
该抛物线与轴的两交点一定关于对称轴对称，
另一个交点为．
故选：．
根据二次函数图象具有对称性和抛物线与轴的一个交点的坐标是，可以得到该抛物线与轴的另一个交点坐标．
本题考查抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6.函数的最大值和最小值分别是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】C
【解析】解：，
，
抛物线的对称轴为，时有最小值，
，
时，是最大值．
函数的最大值为，最小值为．
故选：．
先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值．
本题是一道有关二次函数图象性质的题，考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．
7.已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：因为二次函数解析式为，
所以抛物线的对称轴为直线，且开口向下，
则抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小．
因为，，，且，
所以．
故选：．
根据所给函数解析式，得出抛物线的对称轴及开口方向，再根据，，三点离对称轴的远近即可解决问题．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
8.已知直线的图象如图所示，则抛物线的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：直线的图象过第一、二、四象限，
，．
由，可知抛物线与轴的交点在轴的负半轴，排除，两个答案；
又抛物线的对称轴，排除答案．
故选B．
先根据一次函数的图象判断、的符号，再由此判断二次函数的图象所在的象限．
本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟记一次函数在不同情况下所在的象限，熟练掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9.表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
下列各选项中，正确的是( )
A. 这个函数的最小值为 B. 这个函数的图象开口向下
C. 这个函数的图象与轴无交点 D. 当时，的值随值的增大而增大
【答案】D
【解析】解：抛物线经过点，，
抛物线对称轴为直线，
抛物线经过点，
当时，随增大而减小，
抛物线开口向上，
时，随增大而增大，
当时，随增大而增大，
故选：．
根据抛物线经过点，可得抛物线对称轴为直线，由抛物线经过点可得抛物线开口向上，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
10.如图，二次函数的图象，有如下结论：
；；；为实数．
其中正确结论的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
【答案】C
【解析】解：对称轴在轴右侧，
、异号，
，
，
，
故错误；
对称轴，
；
故正确；
，
，
当时，，
，
，
故正确；
根据图象知，当时，有最小值；
当为实数时，有，
所以为实数．
故正确．
本题正确的结论有：，个；
故选：．
由抛物线的对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴判定；当时，；然后由图象顶点坐标确定与的大小关系．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右．简称：左同右异常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于．
11.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为下列结论：
；
；
方程有两个不相等的实数根；
抛物线与轴的另一个交点是；
当时，则，其中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用函数图象解决问题，所以中考常考题型．
利用函数图象的性质即可求解．
【解答】
解：因为抛物线对称轴是直线，则，，故正确，符合题意；
抛物线开口向下，故，
对称轴在轴右侧，故，
抛物线与轴交于正半轴，故，
，
故错误，不符合题意；
从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，正确，符合题意；
因为抛物线对称轴是：，，
所以抛物线与轴的另一个交点是，
故错误，不符合题意；
由图象得：当时，有，故正确，符合题意；
故正确的有：；
故选：．
12.如图，抛物线：与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为若四边形为矩形，则，应满足的关系式为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：令，得：．
令，得：，，，，
，．
要使平行四边形是矩形，必须满足，
，
．
，应满足关系式．
故选：．
利用矩形性质得出要使平行四边形是矩形，必须满足，即可求出．
此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若抛物线是常数与轴没有交点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解：由题意，抛物线是常数与轴没有交点，
．
．
故答案为：．
依据题意，由抛物线是常数与轴没有交点，从而，进而计算可以得解．
本题主要考查了抛物线与轴的交点，解题时要熟练掌握并能利用根的判别式来进行判断是关键．
14.抛物线的对称轴为直线 ．
【答案】
【解析】解：由题意，抛物线为，
抛物线的对称轴是直线．
故答案为：．
依据题意，由抛物线为，可得对称轴是直线，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
15.飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行时间单位：的函数解析式是在飞机着陆滑行中，飞机从开始滑行到停止所需时间为 秒
【答案】
【解析】解：，
时，取最大值，
即飞机从开始滑行到停止所需时间为，
故答案为：．
将函数解析式配方成顶点式求出的最大值时的的值即可得到结论．
本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的最大距离即为的最大值是解题的关键．
16.如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】解：抛物线与直线相交于点，，
关于的不等式的解集为，
故答案为：．
根据、两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可．
本题考查了二次函数与不等式，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出不等式的解集是解此题的关键．
17.在平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值的最小值为，则______．
【答案】
【解析】【分析】
将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线与抛物线交点为最低点，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
【解答】
解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
当时，，
，方程无解．
当时，将代入得，
令，
解得舍或，
故答案为：．
18.如图，抛物线与轴分别交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，，则周长的最小值是 ．
【答案】
【解析】解：点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，则点为所求点，此时，的周长为最小，
令，解得或，
令，则，
点、、的坐标分别为、、，
，
此时的周长，
周长的最小值是．
故答案为：．
点关于函数对称轴的对称点为点，连接交函数对称轴于点，则点为所求点，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知抛物线经过点，．
求，的值；
若，是抛物线上不同的两点，且，求的值；
将此抛物线沿轴平移个单位长度，当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，求的值．
【答案】解：把点，代入得，，
解得：；
由得函数解析式为，
把代入得，，
，
，且对称轴为直线，
；
，
抛物线开口向上，的对称轴为直线，
抛物线在时有最小值为，
向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值，
，
将代入得：，
或，
，
；
向右平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值，
，
将代入得：，
解得：或，
，
；
综上所述，或．
【解析】把点，代入解方程组即可得到结论；
把代入得到，于是得到，即可得到结论；
根据函数的性质，图象向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值．
本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，平移规律，注意分类讨论，正确的理解题意是解题的关键．
20.本小题分
平面直角坐标系中，已知抛物线．
当时，
直接写出抛物线的解析式；
求抛物线的顶点坐标；
在的条件下，将该抛物线关于轴对称后，得到新的二次函数的图象当时，请分别求出变换后新二次函数的最大值与最小值．
已知，为抛物线上的两点，若，，，试判断与的大小，并说明理由．
【答案】；；
最大值为，最小值为；
，理由：
抛物线，
抛物线的对称轴为，
，，，
当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
，
到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
，
当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
，
到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
，
综上所述，
【解析】当时，抛物线的解析式为；
，
抛物线的顶点坐标为；
由条件可知原抛物线关于轴对称的解析式为，
，对称轴为直线，，
，，
，；
，理由如下：
抛物线，
抛物线的对称轴为，
，，，
当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
，
到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
，
当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
，
到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
，
综上所述，．
将代入抛物线解析式即可得解；将抛物线的解析式化为顶点式，由此即可得解；
先求出原抛物线关于轴对称的解析式为，再结合二次函数的性质计算即可得解；
先求出抛物线的对称轴为，再分两种情况：当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为；当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为；分别利用二次函数的性质求解即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
21.本小题分
某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的倍经市场调研发现，日销售量千克与销售单价元符合一次函数关系，如图所示．
求与之间的函数关系式；
若该经销商希望每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？
在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】；
销售单价为元或元；
销售单价为元时，利润最大，最大利润为元
【解析】设与之间的函数关系式为，
该函数的图象过，，
，
解得，
与之间的函数关系式为．
由题意，设利润为，则，
当时，，
解得，，
销售单价为元或元．
由得到，
，
当时，有最大值，最大值为，
当销售单价为元时，该经销商每天获得的利润最大，最大利润是元．
运用待定系数法求解即可，设与之间的函数关系式为，将点，代入，求出，的值，即可解答；
由题意，利润，将代入，求解即可解答；
根据二次函数的性质即可解答．
本题考查待定系数法，二次函数解决实际问题，二次函数的性质，掌握其性质是解题的关键．
22.本小题分
如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔水平距离为单位：的地点，主索距桥面的竖直高度为单位：，则与之间近似满足函数关系．
小石通过测量获得与的几组数据如下：
根据上述数据，解决以下问题：
主索最低点与桥面的距离为______
求出主索抛物线的解析式；
若与点水平距离为处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
【答案】；
；
这两条吊索的总长度为．
【解析】解：由表格数据知，抛物线的对称轴为，
当时，，即，
故答案为：；
抛物线的顶点坐标为，且过，
则抛物线的表达式为：，
则，解得：，
故抛物线的表达式为：；
设点在点左侧处，则，
当时，，
则这两条吊索的总长度为：，
这两条吊索的总长度为．
由表格数据知，抛物线的对称轴为，即可求解；
用待定系数法即可求解；
设点在点左侧处，则，当时，，即可求解．
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
23.本小题分
如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
求证：；
如果筝形的两条对角线长分别为、，则筝形的面积 ______；
已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足试求当，的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？
【答案】证明：，
点在的垂直平分线上．
同理点在的垂直平分线上．
垂直平分．
所以．
；
令，则，
由知，
，
又，的长度为整数值，
则当时，
有最大值，最大值为．
此时．
【解析】证明：，
点在的垂直平分线上．
同理点在的垂直平分线上．
垂直平分．
所以．
由知，，
，
，
则
．
又筝形的两条对角线长分别为，，
所以
故答案为：．
令，则，
由知，
，
又，的长度为整数值，
则当时，
有最大值，最大值为．
此时．
由和可得出点和点都在的垂直平分线上，进而解决问题．
由的结论即可解决问题．
设的长为，用表示出筝形的面积，再求最值即可．
本题考查二次函数的最值，能用长表示出筝形的面积是解题的关键．
24.本小题分
已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数．
判断：和；和；和，其中为关于的对称函数的是______填序号；
若和为关于的对称函数求、的值．
若和为关于的对称函数，令，当函数与函数有且只有一个交点时，求的取值范围．
【答案】解：．
和为关于的对称函数，
，
，
解得．
和为关于的对称函数，
，
，
解得，
，
函数的开口向上，对称轴为直线，与轴的交点为，
函数与函数有且只有一个交点，
，
解得．
【解析】解：，
和关于对称，
，
和关于对称，
，，
和不关于对称，
故答案为：．
和为关于的对称函数，
，
，
解得．
和为关于的对称函数，
，
，
解得，
，
函数的开口向上，对称轴为直线，与轴的交点为，
函数与函数有且只有一个交点，
，
解得．
根据中点公式可得，然后逐个函数进行判断；
根据，将函数解析式代入求解；
根据，求出，，的值，然后由得到，根据开口方向、对称轴及与轴的交点，结合函数与函数有且只有一个交点列出不等式组求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，掌握函数关于对称的特征，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
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第二十六章二次函数单元测试提升卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于的函数中，属于二次函数的是( )
A. B. C. D.
2.将抛物线的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的解析式是( )
A. B.
C. D.
3.抛物线与轴的交点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点( )
A. B. C. D.
5.如果抛物线与轴的一个交点的坐标为，那么另一个交点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.函数的最大值和最小值分别是( )
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
7.已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知直线的图象如图所示，则抛物线的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
9.表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值：
下列各选项中，正确的是( )
A. 这个函数的最小值为 B. 这个函数的图象开口向下
C. 这个函数的图象与轴无交点 D. 当时，的值随值的增大而增大
10.如图，二次函数的图象，有如下结论：
；；；为实数．
其中正确结论的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
11.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为下列结论：
；
；
方程有两个不相等的实数根；
抛物线与轴的另一个交点是；
当时，则，其中正确的是( )
A. B. C. D.
12.如图，抛物线：与轴交于点、点在点的左侧，与轴交于点将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为若四边形为矩形，则，应满足的关系式为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若抛物线是常数与轴没有交点，则的取值范围是 ．
14.抛物线的对称轴为直线 ．
15.飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行时间单位：的函数解析式是在飞机着陆滑行中，飞机从开始滑行到停止所需时间为 秒
16.如图，抛物线与直线相交于点，，则关于的不等式的解集为 ．
17.在平面直角坐标系中，已知二次函数为常数，，若对于任意的满足，且此时所对应的函数值的最小值为，则______．
18.如图，抛物线与轴分别交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，，，则周长的最小值是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知抛物线经过点，．
求，的值；
若，是抛物线上不同的两点，且，求的值；
将此抛物线沿轴平移个单位长度，当自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，求的值．
20.本小题分
平面直角坐标系中，已知抛物线．
当时，
直接写出抛物线的解析式；
求抛物线的顶点坐标；
在的条件下，将该抛物线关于轴对称后，得到新的二次函数的图象当时，请分别求出变换后新二次函数的最大值与最小值．
已知，为抛物线上的两点，若，，，试判断与的大小，并说明理由．
21.本小题分
某食品经销商购进一种食品若干千克，成本价为每千克元，物价部门规定其销售单价不得低于成本价，且不得高于成本价的倍经市场调研发现，日销售量千克与销售单价元符合一次函数关系，如图所示．
求与之间的函数关系式；
若该经销商希望每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？
在销售过程中，当销售单价为多少元时，该经销商每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
22.本小题分
如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间，悬挂着主索，再以相等的间隔，从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线建立如图所示的平面直角坐标系，设在距桥塔水平距离为单位：的地点，主索距桥面的竖直高度为单位：，则与之间近似满足函数关系．
小石通过测量获得与的几组数据如下：
根据上述数据，解决以下问题：
主索最低点与桥面的距离为______
求出主索抛物线的解析式；
若与点水平距离为处，有两条吊索需要更换，求这两条吊索的总长度．
23.本小题分
如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
求证：；
如果筝形的两条对角线长分别为、，则筝形的面积 ______；
已知筝形的对角线，的长度为整数值，且满足试求当，的长度为多少时，筝形的面积有最大值，最大值是多少？
24.本小题分
已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，都有点、关于点对称，则称这两个函数为关于的对称函数，例如，和为关于的对称函数．
判断：和；和；和，其中为关于的对称函数的是______填序号；
若和为关于的对称函数求、的值．
若和为关于的对称函数，令，当函数与函数有且只有一个交点时，求的取值范围．
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