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2.5可化为一元一次方程的分式方程
课时1 分式方程及其解法
刷基础
知识点1 分式方程的概念
1有下列方程： 属于分式方程的有 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
知识点2 解分式方程
2解分式方程 时，去分母正确的是 ( )
A. x-2=x-1 B. x-2(x-2)=x-1
C. x-2(x-2)=-x-1 D. x-2(x-2)=-x+1
3对于非零实数m，n，规定 若(3x+2)☆x=1,则x的值为 .
4解下列方程：
知识点3 根据分式方程无解求字母的值
5若关于 x的方程 无解，则 m 的值为
知识点4 根据分式方程解的情况求字母的值
6已知关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范围是( )
A. m≥3且m≠6 B. m<3
C. m>-3且m≠3 D.m≤-3且m≠-6
7若关于x 的分式方程 的解是正整数，则所有符合条件的整数a的和为 .
刷易
易错点 ①去分母时，常数项漏乘最简公分母而出错；②解分式方程忘记检验
8小丽解分式方程 1- 时，出现了错误，她的解题过程如下：
解:去分母得1-(x-3)=6x.……第一步
解得 ……第二步
所以原分式方程的解是 ……第三步
(1)小丽的解答过程从第 步开始出错，这一步应为 ，这一步的依据是 .
(2)小丽解答过程缺少的步骤是 .
(3)请写出正确的解题过程.
刷提升
1对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号 min[a,b]表示a,b中较小的值,如 min[2,4]=2.按照这个规定，方程 (x>0)的解为 ( )
A.-1或2 B.2 C.-1 D.无解
2若关于x 的不等式组 的解集为x<1，且关于y 的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为 .
3使分式方程最简公分母为0的未知数的值不是分式方程的解，我们称它是该分式方程的增 根.已知 关 于 x 的 分 式 方 程
(1)若方程的增根为x=1，求m的值；
(2)若方程有增根，求m的值；
(3)若方程无解，求m的值.
4[较难]观察下列方程以及解的特征：
的解为
的解为
的解为
…
(1)猜想关于x 的方程 的解，并利用“方程解的概念”进行验证；
(2)利用(1)的结论解分式方程：
刷素养
5新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程 的解是 成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程 的一个“关联数对”.例如：a=2，b=-5使得关于x的分式方程 的解是 成立，所以数对[2，-5]是关于x的分式方程 的一个“关联数对”.
(1)判断下列数对是否为关于x 的分式方程 的“关联数对” 若是，请在括号内画“ ”;若不是,画“×”.
①[-1,-1]( ).②[3,4]( ).
③[1,1]( ).
(2)若数对| 是关于x的分式方程 的“关联数对”，求n的值.
(3)若数对[m-k,k](m≠-1且m≠0,k≠1)是关于x的分式方程 的“关联数对”，且关于x的方程 有整数解，求整数m的值.
课时2 分式方程与实际问题
刷基础
知识点1 路程问题
1某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米.师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达.设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为 ( )
2如图，快递员甲和乙同时从配送点A 和 D 出发，分别沿不同路线前往仓库 C.甲从A 经过中转站B再到C，乙从 D 直接前往C，且乙的速度与甲从B到C的速度相同.两人在各路段均保持匀速行驶，各点间距如图所示.若甲从A 到B 的速度比从 B 到 C 的速度慢10 m/ min,且从A 到B 的时间为从 B 到C 时间的一半，则 (填“甲”或“乙”)先到达仓库 C.
知识点2 工程问题 知识点3 销售问题(
3DeepSeek 公司使用通用模型 V3新素材与推理模型 R1协作完成一项数据分析任务，V3单独完成需要的时间比R1多2小时，若两模型协作，共需要6小时.设R1单独处理数据需要x小时，则正确反映协作效率的方程是
( )
B. x+(x+2)=6
4为了解决雨季时城市内涝的难题,我市决定对部分老街道的地下管网进行改造.在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务.求实际施工时，每天改造管网的长度.
知识点3 销售问题
5 2024 年11 月中华人民共和国首届青少年三大球运动会在长沙举行.某校为响应国家政策，在课后延时服务中开设了多个社团，其中排球社团需要添置一些排球，第一次购买排球花费了 3 000 元，因报名学生较多排球不够，第二次又花费了3 000元购买排球，但单价比上次上涨了 25%，结果第二次购买的排球比第一次少15个.
(1)求两次购买的排球单价分别是多少；
(2)求该社团前后两次一共购买的排球数量.
刷提升
1一条船往返于甲、乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶，已知船在静水中的速度为 8k m/h，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：1，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h.则甲、乙两港之间的距离为( )
A. B.15 km C. km D.20 km
2甲、乙、丙三名工人共同承担生产一批零件的任务.已知甲、乙、丙、丁四人聊天时的对话信息如下：
甲说：我的工作效率比乙的工作效率少
乙说：我3小时完成的工作量与甲4小时完成的工作量相等；
丙说：我工作效率不高，我的工作效率是乙的工作效率的
丁说：我没参加此项工作，但我可以计算你们的工作效率.我知道工程问题中三者关系是工作效率×工作时间=工作总量.
如果每小时只安排1名工人，那么按照甲、乙、丙的顺序轮流工作至完成所有任务，共需 小时.
3下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所写的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务.
题目 某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2 000 元购进甲种商品和用1 200 元购进乙种商品的数量相同.求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元
解题过程 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：购进甲种商品数量=购进乙种商品数量
解法二 设…… 等量关系：甲种商品进价-乙种商品进价=20
任务：
(1)根据题中解法可求出甲种商品的进价为 元/件，乙种商品的进价为 元/件.
(2)商店计划用不超过1 440元的资金购进甲、乙两种商品共 40件，至多购进甲种商品多少件
刷素养
4 某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，匀速向上运行.甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走的台阶数是乙的2倍.已知甲走了24级台阶到扶梯顶部，乙走了 16 级台阶到扶梯顶部(甲、乙两同学每次只跨1级台阶).
(1)扶梯露在外面的部分有多少级台阶
(2)如果与扶梯并排有一楼梯，台阶数与扶梯露在外面的级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次与乙相遇时是在扶梯上还是在楼梯上 他已经走动的台阶级数是多少级
2.5可化为一元一次方程的分式方程
课时1 分式方程及其解法
刷基础
1. B【解析】②③中的分母含有未知数，属于分式方程.
2. D【解析】分式方程 方程两边同乘x-2,得x-2(x-2)=-x+1,故选 D.
【解析】因为 且(3x+2)☆x=1,所以 解得 x= 经检验： 是原方程的解，所以x的值为 故答案为
4.【解】(1)方程两边同乘最简公分母(x+1)(x-1),得( .去括号，得 移项，得 3.合并同类项,得-2x=1,解得 检验：当 时,(x+1)(x-1)≠0,所以 是原方程的解
(2)方程两边同乘最简公分母x(x+1)(x-1),得2(x+1)+3(x-1)=x.去括号,得2x+2+3x-3=x,解得 检验：当 时,x(x+1)(x-1)≠0,所以 是原方程的解.
5.1或3 【解析】方程两边同乘x-1,得 mx-1=3x-3,所以(m-3)x=-2.当m-3=0,即m=3时，原方程无解，符合题意.当m-3≠0时，x= 因为方程无解,所以x-1=0,所以x=1,所以m-3=-2,所以m=1.综上,当m=1或3时，原方程无解.
6. A 【解析】 方程两边同乘x-3，得2x-m=x-3.移项及合并同类项,得x=m-3.因为分式方程 的解是非负数，且x-3≠0,所以 解得m≥3且m≠6,故选 A.
7.12 【解析】 去分母,得 ax-8=2(x-1),移项、合并同类项,得(a-2)x=6,系数化为1，得 因为分式方程 2的解是正整数,且x-1≠0,所以a-2=1或2或3或6且 ,所以a=3或4或5,所以符合条件的所有整数a的和为3+4+5=12，故答案为12.
刷易错
8.【解】(1)小丽的解答过程从第一步开始出错，这一步应为2x+2-(x-3)=6x,这一步的依据是等式的性质,故答案为一,2x+2-(x-3)=6x，等式的性质.
(2)小丽解答过程缺少的步骤是检验，故答案为检验.
去分母得2x+2-(x-3)=6x，解得x=1，经检验，x=1是原方程的解，所以原分式方程的解是x=1.
刷提升
1. D 【解析】因为x>0,所l以 所以 所以 解得x=-1.经检验，x=-1是方程的根.因为x>0，所以x=-1不符合题意，故原方程无解.故选 D.
2.-15 【解析】解不等式组 得 因为不等式组的解集为x<1，所以 解得a≥-7.解关于y的分式方程 得 因为分式方程的解为正整数，所以 且 所以 且a≠-1,所以 且 a≠-1，所以满足条件的所有整数a的值为-7，-5，-3，所以符合条件的所有整数a的和为-7-5-3=-15.
3.【解】方程两边同乘(x+2)(x-1),得2(x+2)+mx=x-1,整理得(m+1)x=-5.
(1)因为x=1是分式方程的增根，所以1+m=-5,解得m=-6.
(2)因为原分式方程有增根，所以(x+2)(x-1)=0,所以x=-2或x=1.当x=-2时,m=1.5;当x=1时,m=-6.故m的值为1.5或-6.
(3)当m+1=0时,该方程无解,此时m=-1;当 m+1≠0时，要使原方程无解，由(2)得m=-6或m=1.5.综上,m的值为-1或-6或1.5.
4.【解】(1)关于x 的方程 的解为 验证:当x=m时,左边=m+ 右边，所以：x=m是该分式方程的解；当 时，左边=右边，所以x= 是该分式方程的解.
(2)①因为 所以 或 所以y=2或
②令4x-8=t,则 所以原方程变形为 所以 所以 即 则 或 所以t=2a或 即4x-8=2a或 解得 或
刷素养
5.【解】(1)当a=-1,b=-1时，分式方程为 解得 因为 所以①[-1,-1]不是关于x 的分式方程 的“关联数对”.当a=3,b=4时，分式方程为 解得.x=1.因为 1，所以②[3，4]不是关于x 的分式方程 1=b的“关联数对”.当a=1,b=1时，分式方程为 此方程无解，所以③[1，1]不是关于x的分式方程 的“关联数对”.故答案为×,×,×.
(2)因为数对 是关于x 的分式方程 的“关联数对”，所以 解得 所以 所以
(3)因为数对 且 1)是关于x 的分式方程 的“关联数对”，所以 所以m(m-k)+1=k,解得 因为关于x的方程 可化为k(m+1)x-m(m+1)+(m+1)=-2mx,所以 1)(m-1),解得 因为方程有整数解，且m为整数，所以整数m+1=±1,±2,即m=0,-2,1,-3.又因为m≠0,k≠1,所以 所以m=-2或-3.
课时2 分式方程与实际问题
刷基础
1. A【解析】由题意可列方程为
2.甲 【解析】设甲从A 到B 的速度为x m/ min,则从B 到 C 的速度为( 根据题意得 解得.x=50.经检验，x：x=50是原方程的解，所以：x+10=50+10=60,所以甲从A到C所用的时间为 6(min),乙从 D 到 C 所用的时间为 12(min).因为 6m in<12 min,所以甲先到达仓库 C.故答案为甲.
3. C【解析】R1 单独处理数据需要x 小时，则V3 单独处理数据的时间为(x+2)小时.依题意得 故选 C.
4.【解】设原计划每天改造管网x米，则实际施工时每天改造管网(1+20%)x米.
由题意得
解得x=60,
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意.此时， (米).
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米.
5.【解】(1)设第一次购买的排球单价为x元，则第二次购买的排球单价为(1+25%)x元.
由题意，得
解得.x=40.
经检验，x=40是原分式方程的解.
所以第二次购买的排球单价为 1.25×40=50(元).
答：第一次购买的排球单价为40 元，第二次购买的排球单价为50元.
(2)第一次购买的排球数量为3000÷40=75(个)，第二次购买的排球数量为75-15=60(个),
一共购买的排球数量为ˊ75+60=135(个).
答：该社团前后两次一共购买的排球数量为135个.
刷提升
1. D【解析】设甲、乙两港之间的距离为 s km，平时水流速度为 x km/h.由题意得 2:1,即 解得 经检验， 是原方程的解且符合题意.因为某天恰逢暴雨，水流速度是原来的 2 倍，这条船往返共用了
9h,所以解得s=20.故甲、乙两港之间的距离为 20 km.故选D.
【解析】设甲单独完成任务需要x 小时，则甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 由题意得 解得.x=20.经检验，x=20是原方程的解，且符合题意，所以甲的工作效率是
乙的工作效率是 因为丙的工作效率是乙的工作效率的 所以丙的工作效率是 所以按甲、乙、丙的顺序工作一轮的工作量为 所以工作六轮后剩余的工作量为 所以甲还需要工作1小时，此时乙需要完成的工作量为 所以乙还需要工作的时间为 (时)，所以按照甲、乙、丙的顺序轮流工作至完成所有任务，共需 (时).故答案为
3.【解】 去分母得2000(x-20)=1200x,整理得5x-100=3x,解得：x=50.经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，所以x-20=50-20=30.故答案为50,30.
(2)设购进甲种商品a件，则购进乙种商品(40-a)件.因为商店计划用不超过 1 440 元的资金购进甲、乙两种商品，所以：50a+30(40-a)≤1440,所以
答：至多购进甲种商品12件.
刷素养
4.【解】(1)设扶梯露在外面的部分有x级台阶，乙每分钟走的台阶级数为a，则甲每分钟走的台阶级数为2a，扶梯每分钟向上运动b级台
阶.由题意得
①÷②,得 整理，得b=2a,将b=2a代入②，解得x=48.
答：扶梯露在外面的部分有48级台阶.
(2)设甲第1次与乙相遇时，甲走扶梯走了m遍，走楼梯走了n遍，则乙走扶梯走了((m-1)遍，走楼梯走了((n-1)遍.
由(1)知 2a，整理得m+6n=16,，其中m，n中必有一个是正整数，且
①若 m 为正整数，因为 所以 (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)或 (符合题意)或 (不合题意，舍去)或 (不合题意，m=6,7，…时均不合题意，舍去).
②若 n 为正整数，因为m=16-6n,所以 或 或 或…，这些均不符合要求.
综上 此时甲在楼梯上.他已经走动的
台阶级数是 104=176(级).

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