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广西来宾高级中学2025-2026学年高二下学期期末第一次适应性训练数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
4．一个体育队有4名女运动员和3名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（ ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，）
A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3174
6．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）

A． B． C． D．
7．已知函数在处有极小值，则的极大值为（ ）
A．1 B．1或3 C． D．4或
8．已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知二项式的展开式中各二项式系数和为64，则下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有6项
B．二项式系数最大的项是第4项
C．展开式的常数项为160
D．展开式中各项的系数和为1
10．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示．则（ ）
售价（元/件） 10 11 12 13 14
月销售量（千件） 10 9 9 7 5
参考数据：，，，．
A．关于的线性回归方程为：
B．相关系数（小数点后保留两位）
C．当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件
D．在线性回归方程的估计下，样本点的残差为
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的对称中心为
B．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是
C．曲线不可能是轴对称图形
D．若的极大值与极小值互为相反数，且，则
三、填空题
12．为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有__________种
13．已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____.
0 1 2
14．已知若函数有两个零点，则的取值范围为______．
四、解答题
15．已知函数．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性：
(3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围．
16．某学校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取5名同学去采集自然标本，设抽取的人中女生有名．
(1)求抽取的人中至多有1名女生的概率．
(2)设抽取的人中女生有名，求的分布列及数学期望．
17．某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组.调查发现：甲组成员共人，其中男生人.
(1)根据以上数据，填空列联表：
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
(2)依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关；
(3)将上述调查所得的频率视为概率，从该校全体女生中随机抽取3人，设抽取的女生中喜欢文学类书籍的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
18．已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)函数有两个零点，．
（i）求实数a的取值范围；
（ⅱ）若函数有两个零点为，，证明：．
19．甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为，设第天甲挑战的概率为．
(1)求，；
(2)求证数列为等比数列，并求；
(3)若随机变量服从两点分布，且，，则．记前天（即从第1天到第天）中甲挑战的天数为，求．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C C B C C C BD ABD
题号 11
答案 AD
12．36
13．
14．
15．(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）当时，，，
所以，.
所以在处的切线方程为：，即.
（2）因为，.
所以.
若，则在上恒成立，所以在上为减函数；
若，由，由.
所以在上为减函数，在上为增函数.
综上，时，在上为减函数；
时，在上为减函数，在上为增函数.
（3）由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值.
由，
由，
结合，得.
故的取值范围为.
16．(1)
(2)的分布列如下：
【详解】（1）抽取的人中没有女生的概率为，
抽取的人中有1名女生的概率为，
抽取的人中至多有1名女生的概率为.
（2）的取值可能为，
，
，
，
，
，
的分布列如下：
.
17．(1)
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
(2)学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关
(3)
的分布列为：
0
.
【详解】（1）甲组成员共46人，其中男生16人，则其中女生30人，
男生有50人，则男生在乙组有34人，女生有50人，则女生在乙组有20人，
则列联表为：
甲组 乙组 合计
男生
女生
合计
（2）零假设学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关.
（3）女生喜欢文学类书籍的概率为，
依题意，随机变量服从二项分布，
，
，
，
，
则随机变量的分布列如下表所示：
0
所以.
18．(1)
当时，在上无极值；
当时，有极小值，无极大值.
(2)（i）；
（ⅱ）证明：由（i）可知，.
由.
设，，则，
由；由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，，当时，.
当时，与函数的图象有两个交点，且.
所以，且.
又，，，，
结合（i），，.
由，由.
所以.
因为，所以，，
所以，即.
【详解】（1）因为（），所以.
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，无极值；
当时，由；由.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）（i）.
设，则问题转化为与函数的图象有两个交点.
因为.
由，由.
所以在上单调递增，在上单调递减.
，且当时，；；当时，.
所以当时，与函数的图象有两个交点.
所以实数的取值范围为.
（ⅱ）略
19．(1)，.
(2)证明见解析，
(3)
【详解】（1）根据题意，.
（2）当时，，所以，又,
所以是以为首，为公比的等比数列，所以，
即.
（3）因为，，
所以，
因为，，
所以当时，，
故.
答案第1页，共2页
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