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湖南省株洲市天元区联考2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．计算的结果等于（　　）
A． B．1 C．2 D．
2．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）
4．满足下列条件的不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
6．如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（　　）
A．5.5 B．2.5 C．3 D．2
8．已知点在第四象限，则一次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（　　）
A．18 B． C． D．24
10．、是一次函数图像上的不同的两点，则（　　）
A． B．
C． D．的符号无法判断
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．　 　．
12．对某班40位同学的一次考试成绩进行统计，若频数分布表中80.5~90.5分这一组的频率是0.2，则成绩在该分数段的人数是　 　．
13．如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为　 　．
14．中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则．如图1，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意．若将其抽象成如图2的图形，则的度数为　 　°．
15．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
16．如图，在正方形中，，点E是边的中点，将沿着翻折，得到，则　 　．延长交的延长线于点H，则　 　．
三、解答题（本大题共7个小题，第18题8分，第17、19、20、21题每小题10分，第22、23题每小题12分共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕点A顺时针旋转得到的，点B、C的对应点分别是、，写出的坐标________，的坐标________．
（2）求的面积．
20．天元区某学校为加强安全教育，开展了“防溺水”安全知识检测．该校七、八年级各有1000名学生．现从七、八年级学生中各随机抽取了名学生进行测试，将各年级测试成绩按下表分组方式分成6个组（得分用表示）：
组别
绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩组的全部数据为75，77，78，79．
根据以上信息，完成以下任务：
任务1 ________，________；
任务2 请直接写出七年级测试成绩的中位数落在________组；
任务3 若测试成绩不低于85分，则认定该学生对“防溺水”安全知识了解程度高，请估计该校七、八两个年级中，哪个年级对“防溺水”安全知识了解程度更高一些，并说明理由．
21．如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】根据多重符号的化简规则：“负负得正”进行计算即可．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】轴对称图形：如果一个图形沿一条对称轴折叠，对称轴两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕对称中心旋转180度，能与原图形完全重合，就是中心对称图形，根据概念进行判断，得A、D为轴对称图形，C、D为中心对称图形，故D满足题意.
3．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），
故答案为：C．
【分析】点关于y轴对称坐标特点是横反纵同.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，∴△ABC是直角三角形，故选项A不合题意；
B、时，最大的角，∴△ABC不是直角三角形，故选项B符合题意；
C、，则，∴△ABC是直角三角形，故选项C不合题意；
D、，则，∴△ABC是直角三角形，故选项D不合题意.
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定定理对各个选项进行判断，即可得到结论．
5．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，是和的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
【分析】本题以测量湖面宽度为背景，考查了三角形中位线定理的实际应用。由C、D分别为OA、OB的中点得CD为△AOB的中位线，根据中位线等于第三边的一半，求出AB的长。
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
故选：A．
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，证明，得到，，即可求解．
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，，
∴经过一、三、四象限．
故选：A．
【分析】根据点在第四象限，可知，，然后根据、的符号与函数图象的关系即可知图像 经过一、三、四象限，即可知A正确．
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹得到平分，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，交于点O，如图，
∵，
而，
∴四边形为菱形，
∴，，，
在中，，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，交于点O，先证出四边形为菱形，利用菱形的性质可得，，，再利用勾股定理求出OB的长，最后求出BG的长即可.
10．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
随的增大而减小，
当时，，当时，，
与异号，
，
故选：A．
【分析】根据 一次函数可知图像是y 随 x 增大而减小，则判断与异号，即可求解.
11．【答案】2025
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：；
故答案为：2025．
【分析】本题考查绝对值概念的理解与应用。解题关键在于掌握绝对值的基本性质：正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值等于其相反数。本题根据题目要求，只需将负数的绝对值转化为其相反数即可得出正确答案。
12．【答案】8
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵，
∴这个分数段的人数是8．
故答案为：8．
【分析】根据 该分数段的人数总数 80.5~90.5分这一组的频率，从而可求出解．
13．【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：，点为的中点，
，
∵，两点在数轴上对应的数分别为，，
∴，
.
故答案为：8．
【分析】根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解．
14．【答案】36
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正五边形每个内角的度数为
∴．
故答案为：36．
【分析】多边形的内角和公式，再求出每个角得度数，用减去三个正五边形的内角的度数即可.
15．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：一次函数与的图象交于点，
关于的不等式的解集是指一次函数图象在的图象上方部分对应的的取值范围，
如图所示：
在直线右侧，一次函数图象在的图象上方，
故关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】由题意可所求的解集是指一次函数图象在的图象上方部分，对应的的取值范围，数形结合，一次函数图象与的图象交点是P(-1， 3)，时，．
16．【答案】；
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵点E是边的中点，
∴，
在中，，
∵将沿着翻折，得到，
∴，，，，
∴，
如图，过点作于点F，过点C作于点G，
则，
∴
，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴ ，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：，．
【分析】先根据勾股定理求出，根据折叠的对应角相等，对应边相等的性质，得到，，，，进而得到，过点作于点F，过点C作于点G，根据等腰三角形三线合一 ，则，于是，由直角三角形两锐角互余，得到，故为等腰直角三角形 ，，由可算出，在中，，则，求解即可.
17．【答案】解：（1）
；
（2），
解①，得，
解②，得，
该不等式组的解集为．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1） 算术平方根公式， 零指数幂，绝对值： ，根据公式化简，最后算加法计算即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，解①，得；解②，得，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集.
18．【答案】解：
；
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】括号内先通分，再利用平方差公式进行化简，然后将 代入求值即可．
19．【答案】（1）解：如图，
的坐标，的坐标
（2）解：
【知识点】三角形的面积；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）解：如图所示，即为所求，
的坐标，的坐标为，
故答案为：，；
【分析】（1）根据旋转的性质分别作出，，再首尾顺次连接即可得出答案；
（2）利用“割补法”将 三角形“框” 进一个矩形里，再减去周围多余的直角三角形面积，计算数值即可.
（1）解：解：如图所示，即为所求，
的坐标，的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：．
20．【答案】任务1：，；任务2 ：；
任务3 七年级测试成绩不低于85分的学生人数为：，
八年级测试成绩不低于85分的学生人数为：
，
由于两个年级学生数和抽取的学生数均相同，所以八年级对“防溺水”安全知识了解程度更高一些
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：任务1：依题意，，
∴，
∴；
故答案为：80，16；
任务2：∵，，
∴中位数落在，即C组；
故答案为：C；
【分析】任务1：根据总数=频数频率，得出八年级的人数即可求得的值，进而列式，求得的值；
任务2：根据中位数的定义：把一组数据 按从小到大（或从大到小）*排列后：如果数据个数是奇数：中间那个数就是中位数，如果数据个数是偶数：中间两个数的平均数就是中位数，推出在C组；
任务3：七年级测试成绩不低于85分的学生人数为加起来求解，八两个年级测试成绩不低于85分的频数=总数×不低于85分的频率，求解．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点，∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴当时，四边形是菱形，
∴，，，
∵四边形是矩形，点是对角线的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（）已知矩形的对边平行，对角线相等且互相评分，根据两直线平行，内错角相等，证明，，根据两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，得，继而得到，进而即可求证；
（）由得四边形是菱形，由勾股定理得，即得，设，则，由勾股定理得，再代入即可求出．
（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
∴，，，
∵四边形是矩形，点是对角线的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴．
1 / 1湖南省株洲市天元区联考2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．计算的结果等于（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【知识点】化简多重符号有理数
【解析】【解答】解：．
故选：C．
【分析】根据多重符号的化简规则：“负负得正”进行计算即可．
2．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【分析】轴对称图形：如果一个图形沿一条对称轴折叠，对称轴两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕对称中心旋转180度，能与原图形完全重合，就是中心对称图形，根据概念进行判断，得A、D为轴对称图形，C、D为中心对称图形，故D满足题意.
3．点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2）
C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，1）
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），
故答案为：C．
【分析】点关于y轴对称坐标特点是横反纵同.
4．满足下列条件的不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、，∴△ABC是直角三角形，故选项A不合题意；
B、时，最大的角，∴△ABC不是直角三角形，故选项B符合题意；
C、，则，∴△ABC是直角三角形，故选项C不合题意；
D、，则，∴△ABC是直角三角形，故选项D不合题意.
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定定理对各个选项进行判断，即可得到结论．
5．如图，一辆货车，为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
6．如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点，是和的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
【分析】本题以测量湖面宽度为背景，考查了三角形中位线定理的实际应用。由C、D分别为OA、OB的中点得CD为△AOB的中位线，根据中位线等于第三边的一半，求出AB的长。
7．如图，，垂足为，是上一点，且，连接、，．若，，则的长为（　　）
A．5.5 B．2.5 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
故选：A．
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，证明，得到，，即可求解．
8．已知点在第四象限，则一次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第四象限，
∴，，
∴经过一、三、四象限．
故选：A．
【分析】根据点在第四象限，可知，，然后根据、的符号与函数图象的关系即可知图像 经过一、三、四象限，即可知A正确．
9．如图，在中，用尺规作的平分线，交于点G，若，，则的长为（　　）
A．18 B． C． D．24
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图痕迹得到平分，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
连接，交于点O，如图，
∵，
而，
∴四边形为菱形，
∴，，，
在中，，
∴．
故答案为：D．
【分析】连接，交于点O，先证出四边形为菱形，利用菱形的性质可得，，，再利用勾股定理求出OB的长，最后求出BG的长即可.
10．、是一次函数图像上的不同的两点，则（　　）
A． B．
C． D．的符号无法判断
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：，
随的增大而减小，
当时，，当时，，
与异号，
，
故选：A．
【分析】根据 一次函数可知图像是y 随 x 增大而减小，则判断与异号，即可求解.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．　 　．
【答案】2025
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：；
故答案为：2025．
【分析】本题考查绝对值概念的理解与应用。解题关键在于掌握绝对值的基本性质：正数的绝对值等于它本身，零的绝对值等于零，负数的绝对值等于其相反数。本题根据题目要求，只需将负数的绝对值转化为其相反数即可得出正确答案。
12．对某班40位同学的一次考试成绩进行统计，若频数分布表中80.5~90.5分这一组的频率是0.2，则成绩在该分数段的人数是　 　．
【答案】8
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：∵，
∴这个分数段的人数是8．
故答案为：8．
【分析】根据 该分数段的人数总数 80.5~90.5分这一组的频率，从而可求出解．
13．如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，则的长为　 　．
【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：，点为的中点，
，
∵，两点在数轴上对应的数分别为，，
∴，
.
故答案为：8．
【分析】根据数轴上两点之间的距离得到，由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解．
14．中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则．如图1，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图1的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意．若将其抽象成如图2的图形，则的度数为　 　°．
【答案】36
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正五边形每个内角的度数为
∴．
故答案为：36．
【分析】多边形的内角和公式，再求出每个角得度数，用减去三个正五边形的内角的度数即可.
15．如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：一次函数与的图象交于点，
关于的不等式的解集是指一次函数图象在的图象上方部分对应的的取值范围，
如图所示：
在直线右侧，一次函数图象在的图象上方，
故关于的不等式的解集为，
故答案为：．
【分析】由题意可所求的解集是指一次函数图象在的图象上方部分，对应的的取值范围，数形结合，一次函数图象与的图象交点是P(-1， 3)，时，．
16．如图，在正方形中，，点E是边的中点，将沿着翻折，得到，则　 　．延长交的延长线于点H，则　 　．
【答案】；
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵点E是边的中点，
∴，
在中，，
∵将沿着翻折，得到，
∴，，，，
∴，
如图，过点作于点F，过点C作于点G，
则，
∴
，
∴，
∴为等腰直角三角形，，
∵，
∴ ，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：，．
【分析】先根据勾股定理求出，根据折叠的对应角相等，对应边相等的性质，得到，，，，进而得到，过点作于点F，过点C作于点G，根据等腰三角形三线合一 ，则，于是，由直角三角形两锐角互余，得到，故为等腰直角三角形 ，，由可算出，在中，，则，求解即可.
三、解答题（本大题共7个小题，第18题8分，第17、19、20、21题每小题10分，第22、23题每小题12分共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）
；
（2），
解①，得，
解②，得，
该不等式组的解集为．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1） 算术平方根公式， 零指数幂，绝对值： ，根据公式化简，最后算加法计算即可；
（2）分别求出两个不等式的解集，解①，得；解②，得，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
；
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】括号内先通分，再利用平方差公式进行化简，然后将 代入求值即可．
19．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕点A顺时针旋转得到的，点B、C的对应点分别是、，写出的坐标________，的坐标________．
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图，
的坐标，的坐标
（2）解：
【知识点】三角形的面积；作图﹣旋转
【解析】【解答】（1）解：如图所示，即为所求，
的坐标，的坐标为，
故答案为：，；
【分析】（1）根据旋转的性质分别作出，，再首尾顺次连接即可得出答案；
（2）利用“割补法”将 三角形“框” 进一个矩形里，再减去周围多余的直角三角形面积，计算数值即可.
（1）解：解：如图所示，即为所求，
的坐标，的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：．
20．天元区某学校为加强安全教育，开展了“防溺水”安全知识检测．该校七、八年级各有1000名学生．现从七、八年级学生中各随机抽取了名学生进行测试，将各年级测试成绩按下表分组方式分成6个组（得分用表示）：
组别
绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下：
已知八年级测试成绩组的全部数据为75，77，78，79．
根据以上信息，完成以下任务：
任务1 ________，________；
任务2 请直接写出七年级测试成绩的中位数落在________组；
任务3 若测试成绩不低于85分，则认定该学生对“防溺水”安全知识了解程度高，请估计该校七、八两个年级中，哪个年级对“防溺水”安全知识了解程度更高一些，并说明理由．
【答案】任务1：，；任务2 ：；
任务3 七年级测试成绩不低于85分的学生人数为：，
八年级测试成绩不低于85分的学生人数为：
，
由于两个年级学生数和抽取的学生数均相同，所以八年级对“防溺水”安全知识了解程度更高一些
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：任务1：依题意，，
∴，
∴；
故答案为：80，16；
任务2：∵，，
∴中位数落在，即C组；
故答案为：C；
【分析】任务1：根据总数=频数频率，得出八年级的人数即可求得的值，进而列式，求得的值；
任务2：根据中位数的定义：把一组数据 按从小到大（或从大到小）*排列后：如果数据个数是奇数：中间那个数就是中位数，如果数据个数是偶数：中间两个数的平均数就是中位数，推出在C组；
任务3：七年级测试成绩不低于85分的学生人数为加起来求解，八两个年级测试成绩不低于85分的频数=总数×不低于85分的频率，求解．
21．如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点，∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形是平行四边形，∴当时，四边形是菱形，
∴，，，
∵四边形是矩形，点是对角线的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（）已知矩形的对边平行，对角线相等且互相评分，根据两直线平行，内错角相等，证明，，根据两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，得，继而得到，进而即可求证；
（）由得四边形是菱形，由勾股定理得，即得，设，则，由勾股定理得，再代入即可求出．
（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是菱形，
∴，，，
∵四边形是矩形，点是对角线的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴．
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