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湖南省长沙市第二十六中学（湖南师大附中雨花学校）2024—2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．函数的图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．对甲、乙、丙、丁四名射击选手选行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（　　）
选手 甲 乙 丙 丁
方差
A．甲 B．乙 C．两 D．丁
4．已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．方差是0
6．元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2450张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图象的表达式为（　　）
A．y=2(x+2)2+3 B．y=2(x-2)2+3 C．y=2(x+2)2-3 D．y=2(x-2)2-3
9．若点在抛物线上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（　　）
A．2或6 B．3或5 C．4 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为　 　．
12．已知一组数据8，9，x，3，若这组数据的平均数是8，则　 　．
13．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为　 　．
14．一次函数与的图象如图所示，则的解集是　 　．
15．一个等腰三角形的腰和底分别是方程两根，则此三角形的周长为　 　．
16．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是　 　米．
三、解答题（本大题共9个小题，第17题8分每个方程4分，第18、19题每小题6分，第20、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列方程：
（1）（须用公式法）；
（2）（方法不限）．
18．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标．
19．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为和，且，求的值．
20．2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的____________，本次调查数据的中位数是____________h，本次调查数据的众数是____________h；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
（3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．
21．已知二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当时，直接写出的取值范围；
（3）当时，求的取值范围．
22．如图，矩形的对角线交于点G，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）过点D作于F，连接，若，求的长．
23．某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年2025年种植了121亩．
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元） 22 24 27
销售量y（件） 200 180 150
①求y与x之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围）
②若要使每天的销售利润为1200元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？
24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”；
（2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值．
25．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
（3）若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.该方程是分式方程，故本选项不合题意；
B.该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C.当 时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意.
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”即可解答.
2．【答案】D
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴其图象的顶点坐标为，
故选：D
【分析】本题二次函数的顶点式形式为(顶点为h，k)，直接确定顶点坐标．
3．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定；
故答案为：B．
【分析】方差是一个衡量一组数据分散程度的统计量，方差越小，表示这组数据越集中，即数据的波动越小，稳定性越好.
4．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：正比例函数的函数值y随x的增大而减小，
，
，
∴一次函数的图象过一、三、四象限，
故选：．
【分析】本题以正比例函数与一次函数综合为背景，考查了正比例函数的增减性及一次函数图象与系数的关系。由正比例函数y随x增大而减小得k＜0，进而判断－k＞0、k＜0，确定一次函数y＝－kx＋k的图象经过的象限。
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：
A、将数据从小到大排列得7，7，8，8，9，9，9，10，故中位数为，A不符合题意；
B、众数为9，B不符合题意；
C、平均数为，C不符合题意；
D、易知这组数据的方差不可能为0，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差即可求解。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设九（1）班共有x名学生，
根据题意，得．
故选：C．
【分析】每个人要送出：（x-1）张（不给自己送） ，因此总贺卡数为x名学生每人赠送张，总贺卡数 = 人数 × 每人送出张数，即．根据总贺卡数2450张，直接列出方程即可．
7．【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故答案为：B．
【分析】将11个不同的成绩按从小到大排序后，可得最中间的数据为这组数据的中位数，由于按照成绩取前5名进入决赛，根据中位数 的意义即得.
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线y=2x2先向左平移2个单位得到解析式：y=2（x+2）2，
再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+3．
故选：A．
【分析】本题以二次函数图象的平移为背景，考查了抛物线平移规律“左加右减、上加下减”的应用。根据平移方向对解析式中的自变量和常数项进行相应变换，得出平移后的表达式。
9．【答案】A
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为，开口向上，
点的距离为，
点的距离为，
点的距离为，
由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大，
∵，
∴．
故选：A．
【分析】抛物线，由抛物线开口向下且对称轴为直线，知离对称轴水平距离越远，函数值越大，依次分析据点的距离为，点的距离为3，点的距离为4，此求解可得．
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵是方程的两个实数根，
∵，，
又，
∴，
∴，
∴，
解得，．
故选B．
【分析】“当时，方程有两个实数根”，代入得确定m的取值范围，再根据“ ，”得出，，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
11．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入可得，
解得，
故答案为：7．
【分析】把代入方程，列出关方程，求得．
12．【答案】12
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵一组数据8，9，x，3的平均数是8，
∴，
∴，
故答案为：12．
【分析】根据平均数的计算方法： 总数 ÷ 个数 = 平均数 ，列出方程，解方程即可得到答案．
13．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
．
故答案为：3．
【分析】本题以平行四边形与三角形中位线综合为背景，考查了平行四边形的性质及三角形中位线的判定与性质。由平行四边形得BC＝AD，再根据M、N分别为BE、CE中点，得出MN为△EBC的中位线，从而求出MN的长。
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象得时，，
所以的解集是．
故答案为：．
【分析】本题以两条一次函数图象相交为背景，考查了利用函数图象解一元一次不等式的方法。根据图象中交点横坐标，结合直线 y1 = 4x + 5 在 y2 = 3x + 10 上方的部分，直接写出对应的 x 的取值范围。
15．【答案】15
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：，
，
∴，
当为等腰三角形的腰时，，不符合三角形的三边数量关系，构不成三角形，故不符合题意；
当为等腰三角形的腰时，，
∴则此三角形的周长为15，
故答案为：15．
【分析】利用十字相乘法先求出一元二次方程的解，判断解是否满足三角形的三边关系：两边之和大于第三边，然后确定两腰为6，底边为3，然后求三角形的周长即可.
16．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由抛物线得，
∵，
∴当时，烟花可以达到的最大高度是米，
故答案为：．
【分析】将原抛物线解析式化为顶点式，，故在抛物线顶点时， 空中的高度 最高，即当时，烟花可以达到的最大高度是米．
17．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
解得
（2）解：∵，∴，
∴，
∴或，
解得
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法：先找出，再判断， 代入公式求出两根 ；
（2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式得，进而求方程的解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
18．【答案】（1）解：设直线的解析式为，∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为
（2）解：∵直线上的点在第一象限，∴设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当时，，
∴点的坐标是
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（）设直线的解析式为，把点，点代入得，即可求解；
（）设点的坐标为，由，则，根据得，求出的值即可．
（1）解：设直线的解析式为，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵直线上的点在第一象限，
∴设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当时，，
∴点的坐标是．
19．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，
∴
（2）解：当时，原方程为，∵原方程的两实数根分别为和，
∴，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意由一元二次方程有实数根 ，可得，解之即可；
（2）根据根与系数的关系可得，代入得，再根据完全平方式变形计算求解即可．
（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴；
（2）解：当时，原方程为，
∵原方程的两实数根分别为和，
∴，
∴．
20．【答案】（1）
（2）解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，∴，
中位数为第与个数的平均数，即，
由条形统计图可知，众数为3，
故答案为：；
【分析】本题以学生课外劳动时间调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、中位数、众数、平均数的计算及用样本估计总体的方法。
（1）根据劳动时间为4小时的人数及所占百分比求出总人数，再求m值，根据条形图确定中位数和众数；
（2）利用加权平均数公式计算样本平均劳动时间；
（3）用样本中劳动时间不少于3小时的人数比例乘以全校总人数，估计全校相应人数。
21．【答案】（1）解：根据图象可设二次函数的解析式为，且过点，∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为
（2）当时，
（3）解：由二次函数的解析式为，当时，时，有最小值，
当时，，当时，，
∴的取值范围为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（）根据图象可知，函数经过（0，0）（2，0）两点，设二次函数的解析式为，且函数经过点，将其代入可求，即可求解；
（）根据图象即可直接写出的取值范围；
（）由二次函数的顶点式为，当时，时，有最小值，然后分别求出当时和当时，的值，比较大小，从而求出的取值范围为．
（1）解：根据图象可设二次函数的解析式为，且过点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：根据图象可知，当时，；
（3）解：由二次函数的解析式为，
当时，时，有最小值，
当时，，当时，，
∴的取值范围为．
22．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
又，
四边形为平行四边形
（2）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，，
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形为平行四边形；
（2）先用勾股定理求出，由矩形对角线相等可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，，
．
23．【答案】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为m，由题意得，，
解得，，
∵增长率大于0，
∴，
即种植黄桃亩数的年平均增长率为
（2）解：①黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，∴设，
将表格前两组数据代入，得：，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
②要使每天的销售利润为1200元，
∴，
整理得：，
解得，，
∵要让顾客得到实惠，，
∴销售单价应定为30
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种植黄桃亩数的年平均增长率为m，列一元二次方程，求解，由增长率大于0，即可得增长率为；
（2）①利用待定系数法将数值代入，得：，解方程组，可得函数解析式；②根据进价、售价、销量的关系，列关于x的一元二次方程，解方程即可，要让顾客得到实惠，排除错误答案.
（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为m，
由题意得，，
解得，，
∵增长率大于0，
∴，
即种植黄桃亩数的年平均增长率为；
（2）解：①黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，
∴设，
将表格前两组数据代入，得：，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
②要使每天的销售利润为1200元，
∴，
整理得：，
解得，，
∵要让顾客得到实惠，，
∴销售单价应定为30元．
24．【答案】（1）解：是“倍根方程”，理由，
∴，，
∴，
∴是“倍根方程”
（2）解：由得，，∵关于的方程是“倍根方程”，
∴或，
∴或，
当时，；
当时，
（3）解：∵关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，∴设较小的根为，较大的为，
∴，
解得：或，
∴的值为或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（）利用因式分解法解方程得，，然后根据“倍根方程”定义： 其中一个实数根是另一个实数根的倍， 判断即可；
（）由得，，根据“倍根方程”定义： 其中一个实数根是另一个实数根的倍，可得或，然后代入代数式，求解即可；
（）由关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，设较小的根为，较大的为，根据根与系数的关系，代入可得，然后解方程即可．
（1）解：是“倍根方程”，理由，
∴，，
∴，
∴是“倍根方程”；
（2）解：由得，，
∵关于的方程是“倍根方程”，
∴或，
∴或，
当时，；
当时，；
（3）解：∵关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，
∴设较小的根为，较大的为，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
25．【答案】（1）解：设抛物线为
把代入得：得：
抛物线的解析式为
（2）解：设直线的解析式为
把、代入得：
解得：
直线的解析式为
设，则，
，
解得（舍去），
经检验：是方程的解
把代入，解得
点的坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
设，，，，
当为对角线时，
PQ的中点坐标为：
BC的中点坐标为：
∴
，
同理：
当为对角线时
则
，
当为对角线时
则
，
．
综上所述，P的坐标为、、、．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意设两根式：，再代，即可；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设出点D的坐标，因为，得出点E，F的坐标，再根据，得出：所以，解得，得，即可；
（3）结合平行四边形的性质，根据中点坐标公式：已知：则AB的中点坐标为：进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答．
1 / 1湖南省长沙市第二十六中学（湖南师大附中雨花学校）2024—2025学年八年级下学期期末考试数学试题
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.该方程是分式方程，故本选项不合题意；
B.该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
C.当 时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D.该方程是一元二次方程，故本选项符合题意.
故答案为： D.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”即可解答.
2．函数的图象的顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的三种形式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴其图象的顶点坐标为，
故选：D
【分析】本题二次函数的顶点式形式为(顶点为h，k)，直接确定顶点坐标．
3．对甲、乙、丙、丁四名射击选手选行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（　　）
选手 甲 乙 丙 丁
方差
A．甲 B．乙 C．两 D．丁
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：因为乙的方差最小，所以乙的成绩最稳定；
故答案为：B．
【分析】方差是一个衡量一组数据分散程度的统计量，方差越小，表示这组数据越集中，即数据的波动越小，稳定性越好.
4．已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：正比例函数的函数值y随x的增大而减小，
，
，
∴一次函数的图象过一、三、四象限，
故选：．
【分析】本题以正比例函数与一次函数综合为背景，考查了正比例函数的增减性及一次函数图象与系数的关系。由正比例函数y随x增大而减小得k＜0，进而判断－k＞0、k＜0，确定一次函数y＝－kx＋k的图象经过的象限。
5．在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（　　）
A．中位数是8 B．众数是9 C．平均数是8 D．方差是0
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：
A、将数据从小到大排列得7，7，8，8，9，9，9，10，故中位数为，A不符合题意；
B、众数为9，B不符合题意；
C、平均数为，C不符合题意；
D、易知这组数据的方差不可能为0，D不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差即可求解。
6．元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡2450张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设九（1）班共有x名学生，
根据题意，得．
故选：C．
【分析】每个人要送出：（x-1）张（不给自己送） ，因此总贺卡数为x名学生每人赠送张，总贺卡数 = 人数 × 每人送出张数，即．根据总贺卡数2450张，直接列出方程即可．
7．在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故答案为：B．
【分析】将11个不同的成绩按从小到大排序后，可得最中间的数据为这组数据的中位数，由于按照成绩取前5名进入决赛，根据中位数 的意义即得.
8．将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图象的表达式为（　　）
A．y=2(x+2)2+3 B．y=2(x-2)2+3 C．y=2(x+2)2-3 D．y=2(x-2)2-3
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线y=2x2先向左平移2个单位得到解析式：y=2（x+2）2，
再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+3．
故选：A．
【分析】本题以二次函数图象的平移为背景，考查了抛物线平移规律“左加右减、上加下减”的应用。根据平移方向对解析式中的自变量和常数项进行相应变换，得出平移后的表达式。
9．若点在抛物线上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为，开口向上，
点的距离为，
点的距离为，
点的距离为，
由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大，
∵，
∴．
故选：A．
【分析】抛物线，由抛物线开口向下且对称轴为直线，知离对称轴水平距离越远，函数值越大，依次分析据点的距离为，点的距离为3，点的距离为4，此求解可得．
10．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（　　）
A．2或6 B．3或5 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵是方程的两个实数根，
∵，，
又，
∴，
∴，
∴，
解得，．
故选B．
【分析】“当时，方程有两个实数根”，代入得确定m的取值范围，再根据“ ，”得出，，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为　 　．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入可得，
解得，
故答案为：7．
【分析】把代入方程，列出关方程，求得．
12．已知一组数据8，9，x，3，若这组数据的平均数是8，则　 　．
【答案】12
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵一组数据8，9，x，3的平均数是8，
∴，
∴，
故答案为：12．
【分析】根据平均数的计算方法： 总数 ÷ 个数 = 平均数 ，列出方程，解方程即可得到答案．
13．如图，在平行四边形中，，E为上一动点，M，N分别为的中点，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，在平行四边形中，．
，分别为，的中点，
是的中位线，
．
故答案为：3．
【分析】本题以平行四边形与三角形中位线综合为背景，考查了平行四边形的性质及三角形中位线的判定与性质。由平行四边形得BC＝AD，再根据M、N分别为BE、CE中点，得出MN为△EBC的中位线，从而求出MN的长。
14．一次函数与的图象如图所示，则的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察函数图象得时，，
所以的解集是．
故答案为：．
【分析】本题以两条一次函数图象相交为背景，考查了利用函数图象解一元一次不等式的方法。根据图象中交点横坐标，结合直线 y1 = 4x + 5 在 y2 = 3x + 10 上方的部分，直接写出对应的 x 的取值范围。
15．一个等腰三角形的腰和底分别是方程两根，则此三角形的周长为　 　．
【答案】15
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：，
，
∴，
当为等腰三角形的腰时，，不符合三角形的三边数量关系，构不成三角形，故不符合题意；
当为等腰三角形的腰时，，
∴则此三角形的周长为15，
故答案为：15．
【分析】利用十字相乘法先求出一元二次方程的解，判断解是否满足三角形的三边关系：两边之和大于第三边，然后确定两腰为6，底边为3，然后求三角形的周长即可.
16．“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是　 　米．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由抛物线得，
∵，
∴当时，烟花可以达到的最大高度是米，
故答案为：．
【分析】将原抛物线解析式化为顶点式，，故在抛物线顶点时， 空中的高度 最高，即当时，烟花可以达到的最大高度是米．
三、解答题（本大题共9个小题，第17题8分每个方程4分，第18、19题每小题6分，第20、21、22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列方程：
（1）（须用公式法）；
（2）（方法不限）．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
解得
（2）解：∵，∴，
∴，
∴或，
解得
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用公式法：先找出，再判断， 代入公式求出两根 ；
（2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式得，进而求方程的解．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
18．如图，直线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）若直线上的点在第一象限，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：设直线的解析式为，∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为
（2）解：∵直线上的点在第一象限，∴设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当时，，
∴点的坐标是
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（）设直线的解析式为，把点，点代入得，即可求解；
（）设点的坐标为，由，则，根据得，求出的值即可．
（1）解：设直线的解析式为，
∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：∵直线上的点在第一象限，
∴设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当时，，
∴点的坐标是．
19．已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为和，且，求的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴，
∴
（2）解：当时，原方程为，∵原方程的两实数根分别为和，
∴，
∴
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意由一元二次方程有实数根 ，可得，解之即可；
（2）根据根与系数的关系可得，代入得，再根据完全平方式变形计算求解即可．
（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴；
（2）解：当时，原方程为，
∵原方程的两实数根分别为和，
∴，
∴．
20．2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如下统计图．
请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
（1）求图1中的____________，本次调查数据的中位数是____________h，本次调查数据的众数是____________h；
（2）该校此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是多少？
（3）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数．
【答案】（1）
（2）解：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时，
答：此次抽查的这些学生一周平均的课外劳动时间是小时
（3）解：（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，∴，
中位数为第与个数的平均数，即，
由条形统计图可知，众数为3，
故答案为：；
【分析】本题以学生课外劳动时间调查为背景，考查了条形统计图与扇形统计图的综合应用、中位数、众数、平均数的计算及用样本估计总体的方法。
（1）根据劳动时间为4小时的人数及所占百分比求出总人数，再求m值，根据条形图确定中位数和众数；
（2）利用加权平均数公式计算样本平均劳动时间；
（3）用样本中劳动时间不少于3小时的人数比例乘以全校总人数，估计全校相应人数。
21．已知二次函数的图象如图所示．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）根据图象回答：当时，直接写出的取值范围；
（3）当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：根据图象可设二次函数的解析式为，且过点，∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为
（2）当时，
（3）解：由二次函数的解析式为，当时，时，有最小值，
当时，，当时，，
∴的取值范围为
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（）根据图象可知，函数经过（0，0）（2，0）两点，设二次函数的解析式为，且函数经过点，将其代入可求，即可求解；
（）根据图象即可直接写出的取值范围；
（）由二次函数的顶点式为，当时，时，有最小值，然后分别求出当时和当时，的值，比较大小，从而求出的取值范围为．
（1）解：根据图象可设二次函数的解析式为，且过点，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：根据图象可知，当时，；
（3）解：由二次函数的解析式为，
当时，时，有最小值，
当时，，当时，，
∴的取值范围为．
22．如图，矩形的对角线交于点G，过点B作交的延长线于点E．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）过点D作于F，连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
又，
四边形为平行四边形
（2）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，，
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形为平行四边形；
（2）先用勾股定理求出，由矩形对角线相等可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，，
．
23．某地2023年种植黄桃100亩，由于效益不错，每年都在扩大种植面积，到今年2025年种植了121亩．
（1）假定每年种植面积的年增长率相同，求种植黄桃亩数的年平均增长率；
（2）一水果店以每件20元的价格购进该种黄桃销售，市场调查发现，黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
销售单价x（元） 22 24 27
销售量y（件） 200 180 150
①求y与x之间的函数关系式；（不需写出自变量的取值范围）
②若要使每天的销售利润为1200元，又要让顾客得到实惠，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为m，由题意得，，
解得，，
∵增长率大于0，
∴，
即种植黄桃亩数的年平均增长率为
（2）解：①黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，∴设，
将表格前两组数据代入，得：，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
②要使每天的销售利润为1200元，
∴，
整理得：，
解得，，
∵要让顾客得到实惠，，
∴销售单价应定为30
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设种植黄桃亩数的年平均增长率为m，列一元二次方程，求解，由增长率大于0，即可得增长率为；
（2）①利用待定系数法将数值代入，得：，解方程组，可得函数解析式；②根据进价、售价、销量的关系，列关于x的一元二次方程，解方程即可，要让顾客得到实惠，排除错误答案.
（1）解：设种植黄桃亩数的年平均增长率为m，
由题意得，，
解得，，
∵增长率大于0，
∴，
即种植黄桃亩数的年平均增长率为；
（2）解：①黄桃每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，
∴设，
将表格前两组数据代入，得：，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
②要使每天的销售利润为1200元，
∴，
整理得：，
解得，，
∵要让顾客得到实惠，，
∴销售单价应定为30元．
24．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”；
（2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
（3）已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值．
【答案】（1）解：是“倍根方程”，理由，
∴，，
∴，
∴是“倍根方程”
（2）解：由得，，∵关于的方程是“倍根方程”，
∴或，
∴或，
当时，；
当时，
（3）解：∵关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，∴设较小的根为，较大的为，
∴，
解得：或，
∴的值为或
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（）利用因式分解法解方程得，，然后根据“倍根方程”定义： 其中一个实数根是另一个实数根的倍， 判断即可；
（）由得，，根据“倍根方程”定义： 其中一个实数根是另一个实数根的倍，可得或，然后代入代数式，求解即可；
（）由关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，设较小的根为，较大的为，根据根与系数的关系，代入可得，然后解方程即可．
（1）解：是“倍根方程”，理由，
∴，，
∴，
∴是“倍根方程”；
（2）解：由得，，
∵关于的方程是“倍根方程”，
∴或，
∴或，
当时，；
当时，；
（3）解：∵关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，
∴设较小的根为，较大的为，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
25．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标；
（3）若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线为
把代入得：得：
抛物线的解析式为
（2）解：设直线的解析式为
把、代入得：
解得：
直线的解析式为
设，则，
，
解得（舍去），
经检验：是方程的解
把代入，解得
点的坐标为．
（3）解：存在，理由如下：
设，，，，
当为对角线时，
PQ的中点坐标为：
BC的中点坐标为：
∴
，
同理：
当为对角线时
则
，
当为对角线时
则
，
．
综上所述，P的坐标为、、、．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据题意设两根式：，再代，即可；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设出点D的坐标，因为，得出点E，F的坐标，再根据，得出：所以，解得，得，即可；
（3）结合平行四边形的性质，根据中点坐标公式：已知：则AB的中点坐标为：进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答．
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