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湖南省湘潭市一中教育集团2024-2025学年八年级下学期期末考试 数学试题
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．已知数据、-5、-1.3、π、-2，其中负数出现的频率是（　　）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
2．如图，在中，，，，则的长为（　　）
A．30 B．15 C．12 D．10
3．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标的是（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，若，则的度数为（　　）
A．53° B．63° C．73° D．83°
5．如图，在中，，为的中点，若，则（　　）
A． B． C． D．
6．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为 　　
A．4 B．5 C．6 D．7
7．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．下列点的坐标在第四象限的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　）
A．8 B．7 C．4 D．3
10．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值是（　　）
A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置可以表示为 　 　．
12．函数的图像经过（，　 　）．
13．正六边形的每个外角都等于　 　度．
14．将直线向上平移2个单位后得到直线解析式为　 　．
15．某班共有50名学生，在一次体育测试中有6人不合格，那么不合格人数的频率为　 　．
16．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝　 　．
17．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：　 　，使四边形ABCD成为菱形．
18．如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为　 　
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．已知正比例函数．
（1）若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围．
（2）若点在它的图象上，求它的解析式．
20．如图，、、分别是的三边、、的中点，，．求四边形的周长．
21．如图，．求证：．
22．如图，在中，点分别在上，且．求证：．
23．某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系．
（1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
24．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中作，使和关于轴对称；
（2）求的面积．
25．运动让生命更有活力．某学校开展体育训练，倡导学生开展体育锻炼，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：根据上述信息，回答下列问题：
（1）求本次随机抽取的学生总人数和m，n的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若将“平均每天开展体育锻炼所用时长”在20～40分钟范围内被评为“良好”，求被评为“良好”的学生所在扇形中对应圆心角的度数．
26．在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】频数与频率；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵在、-5、-1.3、π、-2中，负数有3个，
∴负数出现的频率是=0.6，
故答案为：C．
【分析】利用负数的个数除以数据的总个数即得结论.
2．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
故选：C
【分析】根据在30°直角三角形中：30°所对直角边等于斜边一半，求出AB.
3．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标的是，
故选：B．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的轴对称变换为背景，考查了关于x轴对称的点的坐标特征。根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”直接写出对称点的坐标。
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在 中，，若，
所以∠B=90°-∠A=90°-37°=53°。
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形中两个锐角互余即可得出答案。
5．【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，为的中点，
又，
．
故选：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°.解得n=6.故答案为：C.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°=720°，然后解方程即可.
7．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 中，k=2，b=-3，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象与其系数的关系可得答案。
8．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A.∵5＞0，2＞0，
∴（5，2）在第一象限，不符合题意；
B.∵-6＜0，3＞0，
∴（-6，3）在第二象限，不符合题意；
C.∵-4＜0，-6＜0，
∴（-4，-6）在第三象限，不符合题意；
D.∵3＞0，-4＜0，
∴（3，-4）在第四象限，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据每个象限的点的坐标特点对每个选项逐一判断求解即可。
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
故选：A．
【分析】本题以菱形为背景，考查了菱形的性质（对角线互相垂直平分）及勾股定理的应用。由菱形对角线互相平分得OA长，结合AB在Rt△AOB中利用勾股定理求OB，再由BD＝2OB得BD的长。
10．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点运动到点处时，，，即，，
，
，，
当点在上运动时，，
，
，
当点在上运动时，，
，
，
故选：B
【分析】
由矩形的性质知，当点P从点A运动到点B的过程中面积逐渐增大，且当达到点B时面积达到最大值12，此时AB=6、AD=4；从点B到达点C时面积保持不变均为12；再从点C到达点D的运动过程中，面积逐渐减小，到达点D时最小，最小值为0；则当AP=4时，的面积等于8；当P运动到CD上时，当DP=4时，的面积也等于8，此时AP=6+4+6-4=12．
11．【答案】（4，3）
【知识点】有序数对
【解析】【解答】∵（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，
∴教室里第4列第3排的位置可以表示为 （4，3），
故答案为：（4，3）.
【分析】利用有序数对的定义及书写要求求解即可.
12．【答案】0
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得：
将代入，
解得，
故答案为：0．
【分析】根据“点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”，将代入中求解即可．
13．【答案】60
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的外角和为，
正六边形的每个外角都等于．
故答案为：60．
【分析】本题以正六边形的外角计算为背景，考查了多边形外角和定理的应用。根据多边形的外角和恒为360°，正六边形的每个外角相等，用360°除以边数6求得每个外角的度数。
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：平移后的解析式为：．
故答案为：．
【分析】根据一次函数上下平移规则：对于一次函数 y = kx + b：向上平移 m 个单位：y = kx + b +m；向下平移 m 个单位：y = kx + b - m，即可得出答案
15．【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意得，，
故答案为：．
【分析】根据频率=频数总数，即求解．
16．【答案】8
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】由勾股定理得：BC＝，
故答案为：8．
【分析】根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和 =斜边的平方，代入求解即可．
17．【答案】AB=AD（或者）.
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：条件为：AB=AD或者
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
1、添加AB=AD，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
2、添加
∵，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为．
【分析】由条件OA=OC，AB=CD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形”故加上条件AB=AD，或者．
18．【答案】21°
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为：21°.
【分析】本题以平行四边形、直角三角形及线段相等综合为背景，考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及平行线的性质。利用AE＝EF及∠ADF＝90°得DE＝AE，结合AE＝CD得DC＝DE，设∠ADE＝x，通过等腰三角形外角及平行线性质建立等量关系，列方程求解。
19．【答案】（1）解：函数图象经过第二、四象限
∴，即k的取值范围是
（2）解：将点代入函数解析式中，得：，
解得：，
所以正比例函数解析式为
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象经过第二、四象限，可得，即可求解；
（2）将点代入函数解析式中，解方程求出，把 k 代回，写出最终解析式解．
（1）解：函数图象经过第二、四象限
∴，即k的取值范围是；
（2）将点代入函数解析式中，得：，
解得：，
所以正比例函数解析式为．
20．【答案】解：∵、、分别是的三边、、的中点，，，∴；，，，
∴四边形周长为
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得DE，BF，BD，EF的长，由此可得四边形周长．
21．【答案】证明：，，
即．
，
和都是直角三角形，
在和中，，
∴（HL）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据图形易得，根据“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”证明即可．
22．【答案】证明四边形是平行四边形，
，．
，
，即．
又，
四边形是平行四边形，
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出，根据线段的和差关系得出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等即可得出．
23．【答案】解：（1）根据图像，l1经过点（0，0）和点（40，1200），
设的解析式为，则，
解得：，
∴l1的解析式为，
设的解析式为，
由l2经过点（0，800），（40，1200），
则，解得：，
∴l2的解析式为；
（2）方案一：，即，
解得：；
方案二：，即，即，无解，
∴公司没有采用方案二，
∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题以销售人员工资方案为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式及方案选择中的不等式应用。
（1）根据图象中给出的点坐标，利用待定系数法分别求出两种方案下y与x的函数解析式；
（2）结合给定条件（如月销售量范围、工资范围等），列出不等式组判断该月采用的是哪种方案。
24．【答案】（1）解：，，关于x轴对称的点的坐标为：，，，
故如下图所示：
（2）解：
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质：“横坐标相同，纵坐标互为相反数”得到，，，依次顺连作图，进而得出答案；
（2）利用“割补法： 三角面积 = 外框矩形面积 周围三个直角三角形面积 ” 得出答案 ．
（1）解：，，关于x轴对称的点的坐标为：，，，
故如下图所示：
（2）解：
25．【答案】（1）解：本次随机抽取的学生总人数为(人)．
，．
，
（2）解：平均每天开展体育锻炼所用时长在～分钟范围内的学生人数为人．
补全频数分布直方图如图所示．
（3）解：被评为“良好”的学生所在扇形中对应圆心角的度数为
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】本题以学生体育锻炼时长调查为背景，考查了扇形统计图与频数分布直方图的综合应用、百分比的计算及圆心角的求法。
（1）根据已知时长段的频数与所占百分比求出总人数，再计算其他时长段的百分比，得到m、n的值；
（2）根据求出的百分比计算对应频数，补全直方图；
（3）将“良好”对应时长段所占百分比相加，再乘以360°得扇形圆心角的度数。
（1）解：本次随机抽取的学生总人数为(人)．
，．
，．
（2）平均每天开展体育锻炼所用时长在～分钟范围内的学生人数为人．
补全频数分布直方图如图所示．
（3）被评为“良好”的学生所在扇形中对应圆心角的度数为
26．【答案】解：【思考】四边形ABDE是平行四边形．证明：如图，∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
【发现】
如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），
∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，
在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，
∴，
解得：x＝，
∴AF＝cm．
【探究】BD＝2OF，
证明：如图2，延长OF交AE于点H，
∵四边形ABDE为矩形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，
∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，
∴AE∥BD，
∴∠OHE＝∠ODB，
∵EF平分∠OEH，
∴∠OEF＝∠HEF，
∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，
∴△EFO≌△EFH（ASA），
∴EO＝EH，FO＝FH，
∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），
∴BD＝OH＝2OF
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以全等直角三角形纸片的平移与旋转为背景，考查了平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理及全等三角形的综合应用。
【思考】由全等得AB＝DE、∠BAC＝∠EDF，从而AB∥DE，证四边形ABDE为平行四边形；
【发现】设AF＝x，利用矩形对角线互相平分及勾股定理列方程求AF的长；
【探究】延长OF交AE于点H，证△EFO≌△EFH得EO＝EH、FO＝FH，再证△EOH≌△OBD得BD＝OH＝2OF。
1 / 1湖南省湘潭市一中教育集团2024-2025学年八年级下学期期末考试 数学试题
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．已知数据、-5、-1.3、π、-2，其中负数出现的频率是（　　）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【答案】C
【知识点】频数与频率；正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵在、-5、-1.3、π、-2中，负数有3个，
∴负数出现的频率是=0.6，
故答案为：C．
【分析】利用负数的个数除以数据的总个数即得结论.
2．如图，在中，，，，则的长为（　　）
A．30 B．15 C．12 D．10
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，，，
∴
故选：C
【分析】根据在30°直角三角形中：30°所对直角边等于斜边一半，求出AB.
3．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于x轴对称的点的坐标的是，
故选：B．
【分析】本题以平面直角坐标系中点的轴对称变换为背景，考查了关于x轴对称的点的坐标特征。根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”直接写出对称点的坐标。
4．在中，，若，则的度数为（　　）
A．53° B．63° C．73° D．83°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：在 中，，若，
所以∠B=90°-∠A=90°-37°=53°。
故答案为：A.
【分析】根据直角三角形中两个锐角互余即可得出答案。
5．如图，在中，，为的中点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在中，，为的中点，
又，
．
故选：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
6．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为 　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°.解得n=6.故答案为：C.
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到（n﹣2）×180°=720°，然后解方程即可.
7．一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数 中，k=2，b=-3，
∴一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象与其系数的关系可得答案。
8．下列点的坐标在第四象限的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A.∵5＞0，2＞0，
∴（5，2）在第一象限，不符合题意；
B.∵-6＜0，3＞0，
∴（-6，3）在第二象限，不符合题意；
C.∵-4＜0，-6＜0，
∴（-4，-6）在第三象限，不符合题意；
D.∵3＞0，-4＜0，
∴（3，-4）在第四象限，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据每个象限的点的坐标特点对每个选项逐一判断求解即可。
9．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
根据勾股定理，得：OB＝＝＝4，
∴BD＝2OB＝8，
故选：A．
【分析】本题以菱形为背景，考查了菱形的性质（对角线互相垂直平分）及勾股定理的应用。由菱形对角线互相平分得OA长，结合AB在Rt△AOB中利用勾股定理求OB，再由BD＝2OB得BD的长。
10．如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值是（　　）
A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点运动到点处时，，，即，，
，
，，
当点在上运动时，，
，
，
当点在上运动时，，
，
，
故选：B
【分析】
由矩形的性质知，当点P从点A运动到点B的过程中面积逐渐增大，且当达到点B时面积达到最大值12，此时AB=6、AD=4；从点B到达点C时面积保持不变均为12；再从点C到达点D的运动过程中，面积逐渐减小，到达点D时最小，最小值为0；则当AP=4时，的面积等于8；当P运动到CD上时，当DP=4时，的面积也等于8，此时AP=6+4+6-4=12．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．若（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，则教室里第4列第3排的位置可以表示为 　 　．
【答案】（4，3）
【知识点】有序数对
【解析】【解答】∵（1，2）表示教室里第1列第2排的位置，
∴教室里第4列第3排的位置可以表示为 （4，3），
故答案为：（4，3）.
【分析】利用有序数对的定义及书写要求求解即可.
12．函数的图像经过（，　 　）．
【答案】0
【知识点】一次函数的概念；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得：
将代入，
解得，
故答案为：0．
【分析】根据“点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式”，将代入中求解即可．
13．正六边形的每个外角都等于　 　度．
【答案】60
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：正六边形的外角和为，
正六边形的每个外角都等于．
故答案为：60．
【分析】本题以正六边形的外角计算为背景，考查了多边形外角和定理的应用。根据多边形的外角和恒为360°，正六边形的每个外角相等，用360°除以边数6求得每个外角的度数。
14．将直线向上平移2个单位后得到直线解析式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：平移后的解析式为：．
故答案为：．
【分析】根据一次函数上下平移规则：对于一次函数 y = kx + b：向上平移 m 个单位：y = kx + b +m；向下平移 m 个单位：y = kx + b - m，即可得出答案
15．某班共有50名学生，在一次体育测试中有6人不合格，那么不合格人数的频率为　 　．
【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意得，，
故答案为：．
【分析】根据频率=频数总数，即求解．
16．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，BC＝　 　．
【答案】8
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】由勾股定理得：BC＝，
故答案为：8．
【分析】根据勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和 =斜边的平方，代入求解即可．
17．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．请你添加一个适当的条件：　 　，使四边形ABCD成为菱形．
【答案】AB=AD（或者）.
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：条件为：AB=AD或者
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
1、添加AB=AD，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
2、添加
∵，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为．
【分析】由条件OA=OC，AB=CD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形”故加上条件AB=AD，或者．
18．如图，在中，、是对角线上两点，，，，则的大小为　 　
【答案】21°
【知识点】平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AE＝EF，∠ADF＝90°，
∴DE＝AE＝EF，
∴∠DAE=∠ADE，
又∵AE＝EF＝CD，
∴DC＝DE，
∴∠DEC=∠DCE，
设∠ADE＝x，则∠DAE＝x，
则∠DCE＝∠DEC＝2x，
又AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAE＝x，
由∠ACB+∠ACD＝∠BCD=63°，
得：x+2x＝63°，
解得：x＝21°，
∴∠ADE=21°，
故答案为：21°.
【分析】本题以平行四边形、直角三角形及线段相等综合为背景，考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质及平行线的性质。利用AE＝EF及∠ADF＝90°得DE＝AE，结合AE＝CD得DC＝DE，设∠ADE＝x，通过等腰三角形外角及平行线性质建立等量关系，列方程求解。
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．已知正比例函数．
（1）若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围．
（2）若点在它的图象上，求它的解析式．
【答案】（1）解：函数图象经过第二、四象限
∴，即k的取值范围是
（2）解：将点代入函数解析式中，得：，
解得：，
所以正比例函数解析式为
【知识点】正比例函数的图象；正比例函数的性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象经过第二、四象限，可得，即可求解；
（2）将点代入函数解析式中，解方程求出，把 k 代回，写出最终解析式解．
（1）解：函数图象经过第二、四象限
∴，即k的取值范围是；
（2）将点代入函数解析式中，得：，
解得：，
所以正比例函数解析式为．
20．如图，、、分别是的三边、、的中点，，．求四边形的周长．
【答案】解：∵、、分别是的三边、、的中点，，，∴；，，，
∴四边形周长为
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得DE，BF，BD，EF的长，由此可得四边形周长．
21．如图，．求证：．
【答案】证明：，，
即．
，
和都是直角三角形，
在和中，，
∴（HL）
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】根据图形易得，根据“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”证明即可．
22．如图，在中，点分别在上，且．求证：．
【答案】证明四边形是平行四边形，
，．
，
，即．
又，
四边形是平行四边形，
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出，根据线段的和差关系得出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的对边相等即可得出．
23．某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案．
方案一：没有底薪，只付销售提成；
方案二：底薪加销售提成．
如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系．
（1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）；
（2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？
【答案】解：（1）根据图像，l1经过点（0，0）和点（40，1200），
设的解析式为，则，
解得：，
∴l1的解析式为，
设的解析式为，
由l2经过点（0，800），（40，1200），
则，解得：，
∴l2的解析式为；
（2）方案一：，即，
解得：；
方案二：，即，即，无解，
∴公司没有采用方案二，
∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题以销售人员工资方案为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式及方案选择中的不等式应用。
（1）根据图象中给出的点坐标，利用待定系数法分别求出两种方案下y与x的函数解析式；
（2）结合给定条件（如月销售量范围、工资范围等），列出不等式组判断该月采用的是哪种方案。
24．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中作，使和关于轴对称；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：，，关于x轴对称的点的坐标为：，，，
故如下图所示：
（2）解：
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质：“横坐标相同，纵坐标互为相反数”得到，，，依次顺连作图，进而得出答案；
（2）利用“割补法： 三角面积 = 外框矩形面积 周围三个直角三角形面积 ” 得出答案 ．
（1）解：，，关于x轴对称的点的坐标为：，，，
故如下图所示：
（2）解：
25．运动让生命更有活力．某学校开展体育训练，倡导学生开展体育锻炼，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：根据上述信息，回答下列问题：
（1）求本次随机抽取的学生总人数和m，n的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若将“平均每天开展体育锻炼所用时长”在20～40分钟范围内被评为“良好”，求被评为“良好”的学生所在扇形中对应圆心角的度数．
【答案】（1）解：本次随机抽取的学生总人数为(人)．
，．
，
（2）解：平均每天开展体育锻炼所用时长在～分钟范围内的学生人数为人．
补全频数分布直方图如图所示．
（3）解：被评为“良好”的学生所在扇形中对应圆心角的度数为
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】本题以学生体育锻炼时长调查为背景，考查了扇形统计图与频数分布直方图的综合应用、百分比的计算及圆心角的求法。
（1）根据已知时长段的频数与所占百分比求出总人数，再计算其他时长段的百分比，得到m、n的值；
（2）根据求出的百分比计算对应频数，补全直方图；
（3）将“良好”对应时长段所占百分比相加，再乘以360°得扇形圆心角的度数。
（1）解：本次随机抽取的学生总人数为(人)．
，．
，．
（2）平均每天开展体育锻炼所用时长在～分钟范围内的学生人数为人．
补全频数分布直方图如图所示．
（3）被评为“良好”的学生所在扇形中对应圆心角的度数为
26．在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．
活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．
【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．
【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．
活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．
【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．
【答案】解：【思考】四边形ABDE是平行四边形．证明：如图，∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形；
【发现】
如图1，连接BE交AD于点O，
∵四边形ABDE为矩形，
∴OA＝OD＝OB＝OE，
设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），
∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，
在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，
∴，
解得：x＝，
∴AF＝cm．
【探究】BD＝2OF，
证明：如图2，延长OF交AE于点H，
∵四边形ABDE为矩形，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，
∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，
∴∠ABD+∠BAE＝180°，
∴AE∥BD，
∴∠OHE＝∠ODB，
∵EF平分∠OEH，
∴∠OEF＝∠HEF，
∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，
∴△EFO≌△EFH（ASA），
∴EO＝EH，FO＝FH，
∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，
∴△EOH≌△OBD（AAS），
∴BD＝OH＝2OF
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以全等直角三角形纸片的平移与旋转为背景，考查了平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理及全等三角形的综合应用。
【思考】由全等得AB＝DE、∠BAC＝∠EDF，从而AB∥DE，证四边形ABDE为平行四边形；
【发现】设AF＝x，利用矩形对角线互相平分及勾股定理列方程求AF的长；
【探究】延长OF交AE于点H，证△EFO≌△EFH得EO＝EH、FO＝FH，再证△EOH≌△OBD得BD＝OH＝2OF。
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