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2027届高三数学阶段性训练（一）
一、单选题
1．棱台上下底面均有一个内角 60°的菱形，且上下底面边长分别为 2 和 3，该棱台的高为 ，则该棱台体积为 （　　)
A． B． C． D．
2．从集合中随机取出4个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是7的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则（　　）
A．2 B． C．3 D．
4．已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．已知函数 若函数 恰有4个零点，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
6．已知数列 的通项公式为 ，则“ ”是“数列 单调递增”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数（），若在部分的图象与直线恰好产生了三个交点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足，且当时，，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项正确的是（　　）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的单调增区间为
C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
D．函数在上有2个零点，则实数的取值范围为
10．已知向量，，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．在上的投影向量为
C．与夹角的余弦值为
D．若与垂直，则实数
11．已知函数，的导函数为，则（　　）
A．存在，使得
B．对于定义域内的任意，都有
C．函数的图象关于原点对称
D．方程有4个实数根
三、填空题
12．已知双曲线的离心率为，则　 　．
13．已知向量满足，若向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则　 　.
14．如图，由9个单位小方格组成的方格表中共有16个格点，将每个格点染成灰色或黑色，满足：若任意4个格点构成矩形的4个顶点，则这4点中至多有2点被染成灰色.则被染为灰色的格点数目最多为　 　.
四、解答题
15．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
16．脐橙营养丰富，香甜可口，深受大家喜爱．种植脐橙有较好的经济效益，某地近5年的脐橙产量（单位：万吨）如下表：
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份编号 1 2 3 4 5
脐橙产量 20 22 24 28 30
已知年份编号和脐橙产量线性相关．
（1）用最小二乘法求出关于的经验回归方程；
（2）试预测该地2027年的脐橙产量．
附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
（1）求角；
（2）若，且，求的面积．
18．如图，在四棱锥中，是一个等边三角形，底面是平行四边形，且平面平面，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的正切值．
19．已知A为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以.
（1）若，求的值；
（2）设A是由3个正实数组成的集合且，；，证明：为定值；
（3）若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式.
2027届高三数学阶段性训练（一）答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：易知棱台的上底面面积为，
下底面面积为，
则该棱台的体积.
故答案为：D.
【分析】先求上下底面菱形的面积，再根据棱台的体积公式求解即可.
2．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
3．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】分子分母同时除以，由同角三角函数的商的关系将弦化切，可解.
4．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：由题意可知，，
所以，
所以在复平面内对应的点为，在第一象限.
故选：A.
【分析】先计算复数的模长再应用复数的乘法运算得出，进而求得共轭复数 ，利用复数的几何意义即可求得答案.
5．【答案】D
【知识点】函数的图象；根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】注意到 ，所以要使 恰有4个零点，只需方程 恰有3个实根
即可，
令 ，即 与 的图象有 个不同交点.
因为 ，
当 时，此时 ，如图1， 与 有 个不同交点，不满足题意；
当 时，如图2，此时 与 恒有 个不同交点，满足题意；
当 时，如图3，当 与 相切时，联立方程得 ，
令 得 ，解得 （负值舍去），所以 .
综上， 的取值范围为 .
故答案为：D.
【分析】由 ，结合已知，将问题转化为 与 有3个不同交点，分 三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；数列的函数特性
【解析】【解答】因为数列 单调递增，
则 ，
化简得 ，
令 ，
则函数t在 上递增，且最小值为2，所以 ，
所以“ ”是“数列 单调递增”的充分不必要条件，
故答案为：A
【分析】由数列 单调递增，化简得到，由单调性求得的范围，再利用充分、必要条件的定义判断，即可得答案.
7．【答案】C
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为
令，，，
则，
则问题转化为直线与函数，当时，有三个交点，
由，
得.
故答案为：C.
【分析】利用辅助角公式、诱导公式，从而化简函数为余弦型函数，再利用换元法和x的取值范围，从人得出t的取值范围，再将问题转化为直线与函数，当时，有三个交点，从而得出实数的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】抽象函数及其应用；函数的周期性
【解析】【解答】解：由题意可知令得：，∴，
又，∴
∴①，
再令，由， 可求得，
∵
∴②，
由①②可得：有，
，，而
∴，
故.
故选：D.
【分析】先由已知条件求出一些特值，， 可得，反复利用，可得，，再由与、与的大小关系从而得出结论.
9．【答案】A,B,D
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；辅助角公式
10．【答案】A,C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量；平面向量垂直的坐标表示
11．【答案】B,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
12．【答案】3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线，
得，
所以
则双曲线C的离心率为，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】利用双曲线方程中三者的关系式结合双曲线的离心率公式，从而列式计算得出实数的值.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
14．【答案】6
【知识点】基本计数原理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，
若其中一行4个格点均涂成灰色，则每一列均不能再涂灰色，此时红色的格点数目为4；
若其中一行有3个格点涂成灰色，则这三个红色格点所在的列均不能再涂灰色，
且剩余一列至多3个格点可以涂成灰色，此时灰色的格点数目最多为6；
若每一行有2个格点可以涂成灰色，这三个红色格点所在的列均不能再涂灰色，
且剩余2列至多3个格点可以涂成灰色，此时灰色的格点数目最多为5；
若每行4个格点均只有1个或0个涂成灰色，符合题意，但灰色的格点数目不为最多；
综上所述：染为灰色的格点数目最多为6.
故答案为：6.
【分析】先考虑行，再考虑列，关键在于一旦一行的灰色格点数不少于2个，则同列就不能再涂灰色，
分类讨论每行涂成灰的格点个数，再分析每列涂成灰色的格点个数，即可得结果.
15．【答案】（1）证明：以点为坐标原点，分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
，设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，则.
又，可得，因为平面，所以平面.
（2）解：因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离.
易知，则点A到平面的距离为.
（3）解：易知，设平面的一个法向量为，
则，即，令，则.
设平面与平面的夹角为，
则
故平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】1）建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量，通过证明直线PA的方向向量与法向量垂直且PA不在平面内，得出线面平行。
（2）利用线面平行的性质，将点F到平面的距离转化为点A到平面的距离，再用点到平面的距离公式计算。
（3）求出平面PBC的法向量，利用向量夹角公式计算两个平面夹角的余弦值。
（1）以点为坐标原点，分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
，设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，则.
又，可得，因为平面，所以平面.
（2）因为平面，所以点到平面的距离等于点A到平面的距离.
易知，则点A到平面的距离为.
（3）易知，设平面的一个法向量为，
则，即，令，则.
设平面与平面的夹角为，
则
故平面与平面的夹角的余弦值为.
16．【答案】（1）解：依题意，，，
，，
，，
则y关于x的经验回归方程为；
（2）解：令，得，则预测该地2027年的脐橙产量为35.2万吨.
【知识点】最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据表格数据，先计算平均值，再根据公式求，可得经验回归方程；
（2）由（1）的经验回归方程，令求解即可.
（1）依题意，，，
，，
因此，，
所以y关于x的经验回归方程为.
（2）令，得，
所以预测该地2027年的脐橙产量为35.2万吨.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
所以，所以，
又因为，所以.
（2）解：因为，且，
所以，由余弦定理得出，
可得，
所以，，
所以的面积为．
【知识点】两角和与差的余弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由正弦定理、三角函数恒等变换的应用，从而化简已知条件可得的值，再结合，从而得出角的值.
（2）利用已知条件和余弦定理可得的值，从而可得的值，再利用三角形的面积公式可得的面积.
（1）因为，所以，
所以，由正弦定理可得，
因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为，所以；
（2）因为，且，所以由余弦定理，
可得，所以，，
所以的面积为．
18．【答案】（1）证明：取的中点，连接，，如图所示：
因为是一个边长为2的等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，由，，解得，
在中，根据余弦定理得，解得，在中，由余弦定理得，
则，即，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以；
（2）解：以为坐标原点，，所在直线为轴，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，，则平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则，即，
令，得，即平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，为锐角，则，
，，
故平面与平面所成角的正切值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，由面面垂直可得平面，利用余弦定理可得，，从而，可证平面，即可证明；
（2）以为坐标原点，，所在直线为轴，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面与平面所成角的余弦值，再根据同角三角函数基本关系求解即可.
（1）取的中点，连接，，
因为是一个边长为2的等边三角形，
所以，
又因为平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，解得，
在中，根据余弦定理得，
所以，在中，由余弦定理得，
所以，即，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，平面，得到；
（2）如图，以，所在直线为轴，轴，
过作的平行线为轴建立平面直角坐标系．
，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，令得，，
所以平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，令得，
所以平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，为锐角．
则，
，．
19．【答案】（1）解：当时，，，
，所以；
（2）证明：当时，，，
，所以；
（2）
设，其中，
则，
，
因，
，
因，
所以，，，，
又 ，
，，
所以，
因，，，
，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以为定值；
（3）解：，
若，
则，
，
故，
，
此时，不符合题意，
故，
猜想，下面给予证明，
当时，显然成立，
假设当，时，都有成立，即，
此时，，
故，，
，符合题意，
，
则，
，
若，
的元素个数小于
的元素个数，
则有，
不符合题意，故，
综上，对于任意的，都有，
故数列的通项公式.
【知识点】集合的含义；数列的应用
【解析】【分析】（1）利用题中的定义，列举出，即可求解；
（2）先列举，，，中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可；
（3）类比（1）（2）当数列由到，为保证成立，则必有其成等差数列，故猜想，可用数学归纳法证明即可.
（1）当时，，，
，所以；
（2）设，其中，
则，
，
因，
，
因，
所以，，，，
又 ，
，，
所以，
因，，，
，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以为定值；
（3），
若，
则，
，
故，
，
此时，不符合题意，
故，
猜想，下面给予证明，
当时，显然成立，
假设当，时，都有成立，即，
此时，，
故，，
，符合题意，
，
则，
，
若，
的元素个数小于
的元素个数，
则有，
不符合题意，故，
综上，对于任意的，都有，
故数列的通项公式.
2027届高三数学阶段性训练（一）试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：88分
分值分布 客观题（占比） 26.0(29.5%)
主观题（占比） 62.0(70.5%)
题量分布 客观题（占比） 13(68.4%)
主观题（占比） 6(31.6%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
填空题 3(15.8%) 6.0(6.8%)
解答题 5(26.3%) 60.0(68.2%)
多选题 3(15.8%) 6.0(6.8%)
单选题 8(42.1%) 16.0(18.2%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (36.8%)
2 容易 (42.1%)
3 困难 (21.1%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 直线与平面垂直的性质 10.0(11.4%) 18
2 函数的周期性 2.0(2.3%) 8
3 用空间向量研究二面角 25.0(28.4%) 15,18
4 奇偶函数图象的对称性 2.0(2.3%) 11
5 古典概型及其概率计算公式 2.0(2.3%) 2
6 平面向量数量积的坐标表示 2.0(2.3%) 13
7 正弦定理的应用 10.0(11.4%) 17
8 双曲线的简单性质 2.0(2.3%) 12
9 同角三角函数间的基本关系 12.0(13.6%) 3,18
10 复数代数形式的乘除运算 2.0(2.3%) 4
11 抽象函数及其应用 2.0(2.3%) 8
12 用空间向量研究直线与平面的位置关系 15.0(17.0%) 15
13 两角和与差的余弦公式 10.0(11.4%) 17
14 排列、组合的实际应用 2.0(2.3%) 2
15 数列的应用 15.0(17.0%) 19
16 函数的零点与方程根的关系 6.0(6.8%) 5,7,11
17 平面向量垂直的坐标表示 2.0(2.3%) 10
18 线性回归方程 10.0(11.4%) 16
19 棱柱、棱锥、棱台的体积 2.0(2.3%) 1
20 复数在复平面中的表示 2.0(2.3%) 4
21 根的存在性及根的个数判断 2.0(2.3%) 5
22 最小二乘法 10.0(11.4%) 16
23 正弦函数的性质 2.0(2.3%) 9
24 集合的含义 15.0(17.0%) 19
25 复数的模 2.0(2.3%) 4
26 平面向量的数量积运算 2.0(2.3%) 13
27 必要条件、充分条件与充要条件的判断 2.0(2.3%) 6
28 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换 2.0(2.3%) 9
29 辅助角公式 2.0(2.3%) 9
30 直线与平面垂直的判定 10.0(11.4%) 18
31 利用导数研究函数的单调性 2.0(2.3%) 11
32 三角形中的几何计算 10.0(11.4%) 17
33 基本计数原理的应用 2.0(2.3%) 14
34 共轭复数 2.0(2.3%) 4
35 空间向量的夹角与距离求解公式 15.0(17.0%) 15
36 函数的图象 2.0(2.3%) 5
37 余弦定理的应用 10.0(11.4%) 17
38 数列的函数特性 2.0(2.3%) 6
39 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 2.0(2.3%) 10
40 平面向量的投影向量 4.0(4.5%) 10,13
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