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四川省绵阳外国语学校2026年中考数学模拟试卷(一)
1．2026的倒数是（　　）
A．2026 B． C． D．-2026
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2026的倒数是
故选：C.
【分析】利用倒数的定义求解即可.
2．围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题以围棋棋子摆放图形为背景，考查了轴对称图形与中心对称图形的识别。根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一分析各选项，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的一项。
3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．四棱柱 B．五棱柱 C．六棱柱 D．六棱锥
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由图可知：
该几何体是六棱柱．
故选：C．
【分析】本题以三视图还原几何体为背景，考查了根据三视图判断几何体形状的能力。由俯视图为正六边形确定底面为六边形，结合主视图和左视图为矩形，判断该几何体为六棱柱。
4．式子 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是(　　)
A．x=1 B．x<1 C．x>1 D．x=-1
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴且1-x≠0，
∴x≤1且x≠1，
解得x<1.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可.
5．下列计算正确的是(　　)
A． B．3x+3y=6xy C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.∵(3x)2=9x2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵3x，3y不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.∵(x+y)2=x2+2xy+y2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.∵(x+2)(x-2)=x2-4，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D.
【分析】A.根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可；B.先判断3x，3y是不是同类项，能否合并，然后判断即可；C.根据完全平方公式进行计算，然后判断即可；D.根据平方差公式进行计算，然后判断即可.
6．如图，在△ABC中，分别以点 A和点 C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于 M， N两点，直线 MN分别与边 BC、AC相交于点 D、E.若 D为 BC的中点， AC=8， CD=5，则△ABC的面积为(　　)
A．12 B．20 C．22 D．24
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分AC，
∴， DE⊥AC，
∴
∴，
∵D为BC的中点，
∴S△ABC=2S△ACD=24.
故答案为：D.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，DE⊥AC，由勾股定理可得DE=3，再由三角形面积公式计算即可得出S△ACD，从而得出结果.
7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，进价各几何 其大意是：今有人合伙买进，每人出 钱，会多出 4钱；每人出 钱，又差了 3钱.问人数，进价各是(　　)
A．17， 42 B．42， 17
C．6， 1 D．21， 6
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设人数为x，则每人出钱时多出4钱，可得进价为，每人出钱时差3钱，可得进价为，
∵进的总价固定不变
∴列方程得，
解得x=42，即人数为42，
将x=42代入号，得进价为
因此人数为42，进价为17
故选：B.
【分析】设人数为x，进价为，根据进的总价固定不变列方程得，进而求解，即可得到答案.
8．如图，边长为 2的正六边形 ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边 AF在 x轴的负半轴上，顶点 B在 y轴正半轴上.将正六边形 ABCDEF绕坐标原点 O按逆时针方向旋转 90°，则旋转后顶点 D的坐标为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD，DF，
在正六边形ABCDEF中，AF=AB=EF=ED=2，∠AFE=∠FED=∠FAB=120°，
∴∠EFD=∠EDF=30°，∠EDA=∠FAD=60°，
∴∠DFA=90°，∠FDA=30°，
∴AD=2AF=4，
∴，
∵∠OAB=180°-∠FAB=60°，
∴∠ABO=90°-∠BAO=30°，
∴
∴OF=OA+AF=1+2=3，
∴
∵将正六边形ABCDEF绕原点O旋转90°，
∴旋转后顶点D的坐标为.
故答案为：B.
【分析】如图，连接AD，DF，首先确定点D的坐标，再根据绕坐标原点O逆时针方向旋转90°的特点求解.
9．现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是： Fe、CuO、HCl溶液、NaOH溶液，装在了 4个不透明的化学试剂瓶中.某同学从这四种化学试剂中随机不放回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效反应组合的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表：
　 Fe CuO HCl NaOH
Fe 　 CuO，Fe HCl，Fe NaOH，Fe
CuO Fe，CuO 　 HCl， NaOH，CuO
HCl Fe，HCl CuO，HCl 　 NaOH，HCl
NaOH Fe，NaOH CuO，NaOH HCl，NaOH 　
即总共有12种不同组合，每种组合出现的可能性相同，能发生反应的组合为Fe与HCI、CuO与HCI、HCl与NaOH，共6种有效反应组合
根据概率公式可得：
因此抽到有效反应组合的概率为，
故答案为：A.
【分析】先列表求出所有等可能的抽取结果数，再求出有效反应组合的结果数，最后根据概率公式计算即可.
10．如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为 2，第二行有 2个数为 4，6，…第 n行有 n个数…探究其中规律，偶数2026应该排在从上向下数的第 m行，是该行中的从左向右数的第 n个数，那么 m+n的值是(　　)
A．45 B．67 C．68 D．69
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：∵全体正偶数排列为2，4，6，...
∴2026是第2026÷2=1013个偶数，
设前x行共有Sx个数，则
当x=44时，，
当x=45时，，
∵990<1013<1035，
∴2026是第45行的第1013-990=23个数，即m=45，n=23，
∴m+n=45+23=68
故答案为：C.
【分析】先确定2026是第几个偶数，再根据三角数阵每行数字个数的规律(第k行有k个数)，利用求和公式估算出2026所在的行数m，最后确定其在该行的位置n，从而求出m+n的值.
11．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，过点 D作DE⊥AB于点 E，交 AC于点 F.点 P是线段 DE上一动点，连接 OP、BP，若 AF=5， CF=7，则 OP+BP的最小值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】作点B关于DE的对称点B'，连接B'P，此时点B'在AB上，过点O作OM⊥AB于点M，
由轴对称的性质可得，BP=B'P，
∴OP+BP=OP+B'P≥OB'，即点O、P、B'三点共线时有最小值为OB'的长，
∵AF=5，CF=7，
∴AC=12
∵菱形ABCD，
∴OB=OD，，AC⊥BD，AB//CD，
∴OF=OA-AF=1，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥CD
∴∠CDF=∠COD=90°，
∵∠DFC=∠OFD，
∴△CDF∽△DOF
∴
∴
∴(负值含去)，
∴，
∴，
∵∠AOF=∠DEB=90°，∠ODF=∠EDB，
∴△DOF∽△DEB，
∴
∴
∴，
∴
∵OM//DE，
∴△BOM∽△BDE
∴
∴，
∴
∴
即OP+BP的最小值为
故答案为：C.
【分析】作点B关于DE的对称点B'，连接B'P，此时点B'在AB上，过点O作OM⊥AB于点M，则点O、P、B'三点共线时有最小值为OB'的长，证明是△CDF∽△DOF，从而求出，，，再证明△DOF∽△DEB，求出，，再证明△BOM∽△BDE，求出，，最后利用勾股定理求解即可.
12．如图， 在 Rt△ABC中， ∠C=90°， BD平分∠ABC， DE=CE， AC=AE.若 CD=2，则 AE= (　　)
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于点F，
设AD=x，∠ABC=2α，则AC=AE=x+2
∴∠DCE=∠AEC
∵CE=DE，EF⊥CD，
∴，
∠DEF=∠CEF=∠CED，∠CDE=∠DCE
∴∠ACE=∠CDE，∠AEC=∠DCE，AF=x+1
∴△ACE∽△EDC
∴，∠CAE=∠CED
∴CE2=CD·AC=2(x+2)=2x+4，
∴
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=α
∵EF∥BC
∴△DEF∽△DBC
∴∠DEF=∠CBD=α，
∴∠CAE=∠CED=2α，
∵∠AFE=∠ACB=90°，∠FAE=∠CBA=2α，
∴△AEF∽△BAC
∴
∴
∴(x+2)(x+1)=2(2x+3)
解得：(负值舍去)
∴
故选：D.
【分析】过点E作EF⊥AC于点F，设AD=x，∠ABC=2α，则AC=AE=x+2，证明△ACE∽△EDC，得出∠CAE=∠CED，CE2=2x+4，从而得出，再证明△DEF∽△DBC，推出∠CAE=∠CED=2α，，最后再证明△AEF∽△BAC，根据对应边成比例列方程求解即可.
13．因式分解2x2-4x+2=　 　 ．
【答案】2（x-1）2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x2-2x+1）=2（x-1）2.
【分析】根据提公因式法进行因式分解，再将括号内的式子利用公式法进行因式分解即可。
14．2025年中国全年出生人口为 792万人，人口出生率为 5.63‰，全年死亡人口 1131万人，人口自然增长率为-2.41‰，人口总量比上年末减少 339万人，其中数据 7920000用科学记数法表示为　 　.
【答案】7.92×106
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：7920000=7.92×106，
故选：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
15．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 O的光线相交于点 P，点F为该凸透镜的焦点.若∠1=162°， ∠2=26°， 则∠3的度数为　 　.
【答案】44°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：AB//CD
∴∠4=180°-∠1=180°-162°=18°
由对顶角相等可得：∠5=∠2=26°
∴∠3=∠5+∠4=44°
故答案为：44°.
【分析】由平行线的性质可得∠4=180°-∠1=18°，由对顶角相等可得∠5=∠2=26°，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果.
16．已知方程 的两根分别为 x1、x2，则 的值为　 　.
【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2+2025x+1=0的两根分别为x1，x2，
∴x1·x2=1，，
∴，
∴
2027
=-1+2027
=2026.
故答案为：2026.
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，进而可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得x1·x2=1，再将原式变形为，据此计算即可求解.
17．如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 MA和 ND.甲在山脚点 C 处测得通信基站顶端 M的仰角为 60°，测得点 C距离通信基站 MA的水平距离 CB为 30m；乙在另一座山脚点 F处测得点 F 距离通信基站 ND的水平距离 FE为 50m，测得山坡 DF的坡度 i=1：1.25.若 点 C， B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端 M与顶端 N的高度差为　 　m.
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△MCB中，
∵∠MCB=60°，CB=30m，
∴
∴m
∵山坡DF的坡度i=1：1.25，EF=50m，
∴DE=40m，
∴
∴ND=25m
∴(m)
∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为m.
故答案为：.
【分析】根据锐角三角函数可得MB，由山坡DF的坡度i=1：1.25，EF=50m，可得DE=40m，进而可以解决问题.
18．如图，在四边形 ABDC中， ∠BAC=90°， AB=AC，若 则 cos∠BCD的值为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；求正弦值
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥AD于点A，且AE=AD，连接DE，连接EC，并延长交BD的延长线于点F，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠CAE+∠DAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵∠ADB+∠ADF=180°，
∴∠AEC+∠ADF=180°，
根据四边形内角和，得∠DAE+∠F=180°，
∴∠F=90°
∵
∴∠CBD=30°，
∴
∵，
∴
∴，，
设BD=CE=x，则DF=3-x，
在Rt△DEF中，DF2+EF2=DE2，
∴
在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2=2AD2，
∴，
整理，得，，
解得或x=1，
∵∠BAD>15°，∠ABD=∠ABC+∠CBD=75°，
∴∠ADB<90°，
∴AD2+BD2>AB2
∴BD2>AB2-AD2
∴，
∴x=1即BD=1，
过点D作DG⊥BC于点G，
则，
∴
∴
故
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥AD于点A，且AE=AD，设BD=CE=x，则DF=3-x，，过点D作DG⊥BC于点G，根据勾股定理，解方程求解即可.
19．按要求完成下列各题：
（1）计算：
（2）先化简，再求值：其中
【答案】（1）解：原式
=-1
（2）解：原式
当时，
原式

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)先计算特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得出结果；
(2)先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入计算即可得出结果.
20．快递业为农产品走进全国千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.草莓种植户小刘经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作.为此，小刘收集了10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并整理如下：
a.配送速度得分： 甲： 6， 6， 7， 7， 8， 8，9， 9， 9， 10. 乙： 6， 7， 7， 8， 8， 8，8， 9， 9， 10.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：甲公司配送速度得分的平均数为 7.9分、中位数为 8分、众数为 9分：乙公司配送速度得分的平均数为　 　、中位数为　 　、众数为　 　.
（2）甲公司服务质量得分的方差为 1，请计算乙公司服务质量得分的方差，并由此判定哪家公司的得分更稳定.
（3）小刘又收集了 10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并与第一次收集的 10家草莓种植户对两家公司的相关评价一起整理、分析，得出如下配送速度和服务质量得分统计表.
　 配送速度得分 服务质量得分
甲 8 7.2
乙 8.2 6.8
鉴于生鲜产品对配送速度要求会更高，小刘将两项得分按 3：2的比例确定最终得分，并以此为依据选择公司，请问小刘会选择哪家快递公司
【答案】（1）8分；8分；8分
（2）解：乙公司服务质量得分的平均数为
(分)
故
∵甲公司服务质量得分的方差为1，1<4.2，
∴甲公司的得分更稳定
（3）解：甲最终得分为(分)
乙最终得分为(分)
∴甲公司的得分更稳定小刘会选择甲快递公司
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：(1)平均数为(分)
将数据排序后第5个和第6个数据均为8，故中位数为8分；
出现次数最多的数据是8，故众数为8分；
故答案为：8分，8分，8分.
【分析】(1)根据平均数，中位数和众数的计算公式进行求解即可；
(2)根据方差的计算公式进行计算，再比较大小即可；
(3)求出加权平均数，进行比较即可.
21．已知正方形 ABCD， E为对角线 AC上一点， F是 DE延长线上一点， FB⊥BE， EF交 AB于点 G.
（1）求证： FG=FB；
（2）若 G为 AB的中点，且 AB=x，求 AF的长(用 x的式子表达)
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠DAE=45 °， ∠BAD=∠ABC=90°， AB=AD，
又∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE (SAS) ，
∴∠ABE=∠ADE，
∴∠ADE+∠AGD=90 °， ∠ABE+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠AGD，
又∵∠BGF=∠AGD，
∴∠ABF=∠BGF，
（2）解：如图，过点F作FH⊥AB于点H，
由(1)得FG=FB，
∴，
∵G为AB的中点，且AB=x，
∴，AD=AB=x，
∴
∴
∵∠FHG=∠DAG=90°，∠AGD=∠HGF，
∴△AGD~△HGF
∴
∴
∴由勾股定理得
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE，得出∠ABE=∠ADE，然后利用余角的性质和对顶角的性质得出∠ABF=∠BGF，最后利用等角对等边即可得出结论；
(2)过点F作FH⊥AB于点H，根据线段的中点表示出相关线段的长度，证明△AGD~△HGF，得出，最后利用勾股定理进行求解.
22．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若购买甲种滑动变阻器用了 1440元，购买乙种用了 2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的 1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵 6元.
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共 100个，要求甲种滑动变阻器的数量不多于乙种滑动变阻器的数量的 3倍，总费用不超过 5000元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案.
【答案】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为(x+6)元，
由题意可得：
解得：x=48，
经检验，x=48是原方程的解，且符合题意
∴x+6=48+6=54(元)
∴甲种滑动变阻器的单价为48元，乙种滑动变阻器的单价为54元
（2）解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器(100-m)个，
由题意可得：
解得：67≤m≤75，
∵m为整数，
∴m可以取67，68，69，...75，共9种取值，对应的购买方案有9种，
方案一：当 m=67时，100-m=33，即购买甲种滑动变阻器 67个，则购买乙种滑动变阻器 33个；
方案二：当m=68时，100-m=32，即购买甲种滑动变阻器 68个，则购买乙种滑动变阻器 32个；
…，
方案九：当m=75时，100-m=25，即购买甲种滑动变阻器75个，则购买乙种滑动变阻器25个；所需费用最少的购买方案是购买甲种滑动变阻器75个，则购买乙种滑动变阻器25个，此时费用为4950元
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为(x+6)元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果；
(2)设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器(100-m)个，由题意可得，求解得出67≤m≤75，结合m为整数，得出m可以取67，68，69，...，75，共9种取值，对应的购买方案有9种，设总费用为w元，则w=-6m+5400，再由一次函数的性质即可得出结果.
23．如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y=-2x+3m的图象与反比例函数 的图象相交于 A， B (m，2)两点.
（1）求反比例函数的表达式及点 A的坐标；
（2）点 C是反比例函数第三象限图象上的一点，连接 AC交 y轴于点 H，连接 AO、CO，当△AHO与△CHO的面积比为 2： 3时，求△ACO的面积；
（3）探究在反比例函数图象上是否存在一点 M，点 N是平面内一点，使得以 A、B、M、N为顶点的四边形是矩形 若存在，求点 N的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：将点B(m，2)代入一次函数y=-2x+3m，解得m=2，
故B (2，2).
将B(2，2)代入反比例函数，得k=4，
因此反比例函数为：
联立一次函数y=-2x+6与反比例函数，
得
解方程组得，
故点A坐标为(1，4)
（2）解：如图，直线AC与y轴交于点H.
∵，，S△AHO：S△CHO=2：3，
∴|xA|：|xC|=2：3，
∵xA=1，点C在第三象限
∴
故
∴直线AC解析式为：，
∴点H坐标为
∴
（3）解：设点M坐标为
∵A(1，4)，B(2，2)，
∴AB2=(1-2)2+(4-2)2=5，
以 A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，分三种情况：
①当∠ABM=90°时，AM2=AB2+BM2，
m/
2-1)=(2-m)2+
解得：m1=2(不合题意舍去)；，m2=-4，点M坐标为(一4，-1)，
将点M向左平移1单位，上平移2单位得到点N，：.点N坐标为(-5，1)，2当BAM=90°时，BM2=AB2+AM2，(2-m)2+(2-)=(1-m)2-(4-m
解得：m1=1(不合题意舍去)；m2=-8，
点M坐标为(-8，-12
将点M向右平移1单位，下平移2单位得到点N(-72)..点N坐标为
3当/BMA=90°时， BM2 + AM2= AB2(2-m)2+(2-4-m+(1-m)2+(
；点 N坐标为(-5，1)或
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【分析】(1)将点B(m，2)代入一次函数y=-2x+3m，求得m=2，可得B(2，2)，进而可得反比例函数为，联立解析式即可求出交点坐标；
(2)由面积比S△AHO：S△CHO=2：3，结合共底三角形面积比等于高之比，得点|xA|：|xC|=2：3，进而求出点C横坐标，由此求出直线AC解析式，可得H点坐标，再根据S△ACO=S△CHO+S△AHO计算面积即可；
(3)根据以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，分三种情况讨论直角的位置，根据勾股定理列方程求解出点M坐标，再根据平移确定点N坐标即可.
24．如图 1， AB为⊙O直径， P为 AB延长线上一点，弦 CD⊥AB，垂足为 D， CB平分∠PCD，连接 AC， E为 AB下方⊙O上一点，且∠ACE=2∠PCB，连接 EB.
（1）求证： PC是⊙O的切线；
（2）求证： AC=CE；
（3）如图 2，在 CP上取一点 F，连接 BF，使 AB=2CF，过点 B作 BF的垂线交 AC于点 G，若 AG=28，BF=13，求 CE和 sin∠E.
【答案】（1）证明：如下图所示，连接 OC，延长 CD交⊙O于点 M，连接 BM，
∵AB⊥CD，
∴CD=MD，
∴BC=BM，
∴∠BCM=∠BMC，
∴∠A=∠BMC，
∴∠A=∠BCM=∠BMC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵CB平分∠PCD，
∴∠PCB=∠BCM=∠A=∠ACO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥CP，
又∵点 C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线
（2）证明：由下图所示，连接 AE，
由 可知∠PCD=2∠PCB， ∠PCB=∠ACO，
∵∠ACE=2∠PCB，
∴∠ACE=∠PCD，
∴∠ACE=2∠ACO，
∵∠COB是△ACO的外角，
∴∠COB=∠ACO+∠OAC=2∠ACO，
∴∠COB=∠ACE，
∴∠AEC=∠OBC，
∴△OBC∽△CAE，
∵OC=OB，
∴AC=CE
（3）解：如下图所示，连接OC，过点F作FR⊥BC，
∴∠CRF=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴∠ACB=∠CRF
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵CD//AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD+∠ABC=90°
∴∠BCD=∠BAC
∵CB平分∠PCD
∴∠PCB=∠BCD，
∴∠BAC=∠PCB，
∴△ABC∽△CFR，
∴
∵AB=2CF
∴AC=2CR，BC=2FR
∵BF⊥BG，
∴∠BRF=∠GCB=90°
∴∠FBR=∠BGC=90°-∠CBG，
∴△BRF∽△GCB，
∴
∵BC=2FR，BF=13，
∴GC=2BR，BG=2BF=26，
设BR=t，则GC=2t，
∵AG=28，
∴AC=AG+GC=2t+28，
∴
∴BC=CR+BR=2t+14
在Rt△BCG中， BC2+GC2=BG2，
∴(2t+14)2+(2t)2=262，
解得：t=5或t=-12(负值，舍去)，
∴GC=2t=10，
∴AC=AG+GC=28+10=38，
∴CE=AC=38；
∵BC=BC
∴∠BEC=∠A，
∴sin∠BEC=sin∠A ，
∵BC=CR+BR=21+14=24.
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】】(1)连接OC，延长CD交⊙O于点M，连接BM，根据圆周角定理可以证明∠PCB=∠ACO，根据直径所对的圆周角是直角可知∠ACO+∠OCB=90°，等量代换可证∠PCB+∠OCB=90°，从而可证PC是⊙O的切线；
(2)根据三角形外角的性质可证∠COB=∠ACE，利用圆周角定理可证∠AEC=∠OBC，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证△OBC∽△CAE，根据相似三角形对应边成比例可证AC=CE；
(3)连接OC，过点F作FR⊥BC，可证△ABC∽△FCR，根据相似三角形的性质可知AC=2CR，BC=2FR，可证△BRF∽△GCB，根据相似三角形的性质可得BC=2FR，BF=13，GC=2BR，BG=2BF=26，设BR=t，则GC=2t，可得BC=2t+14，利用勾股定理可得t=5，从而可求CE的长度；根据圆周角定理可知sin∠BEC=sin∠A，利用勾股定理求出AB的长度，根据正弦的定义即可求出sin∠BEC的值.
25．如图，已知抛物线过点 A (-2，0)、C(0，-4)，抛物线与 x轴的另一交点 B在 x轴的正半轴上，过点A作直线 AD∥BC交抛物线于点 D，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P是直线 BC下方的抛物线上一点，连接 DP交 BC于点 E，连接 AE，AP，设△APE的面积为S，点 P的横坐标为 t，求 S关于 t的函数关系式，并求 S的最大值及此时点 P的坐标；
（3）在(2)问的结论下，过点 P作 PH⊥x于点 H，取 AH的中点 Q，连接 PQ交抛物线于点 M，将PM绕点 P 逆时针方向旋转 至 PN，求 N的坐标.
【答案】（1）解：∵C(0，-4)，
∴OC=4，
∵AD//BC
∴∠DAB=∠ABC
∴
∴，
∴OB=6，即B(6，0)
抛物线过点A(-2，0)，B(6，0)，C(0，-4)，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，将点A，点B，点C的坐标分别代入得：
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b1(k≠0)，将点B，点C的坐标分别代入得：
解得：
∴直线BC的解析式为，
∵AD//BC
∴设直线AD的解析式为，将点A的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AD的解析式为
联立得：
解得：或
∴
∵设点P的横坐标为t，
∴(0如图，连接BD，作PF//y轴，交AD于点F，则，
∴
∵AD//BC，且点E在BC上
∴S△ADE保持不变，且
∵S△APE=S△APD-S△ADE，
∴
∵
∴当t=3时，S取得最大值为15，此时
∴S关于t的函数关系式为 S的最大值为15，此时点 P的坐标为
（3）解：由(2)可得P(3，-5)，
∵PH⊥x于点H，
∴H(3，0)，
∵Q为AH的中点，A(-2，0)，
∴点Q的坐标为，即，
设直线PQ的解析式为y=k3x+b3(k3≠0)，将点P点Q的坐标分别代入得：
解得：
∴直线PQ的解析式为y=-2x+1
联立得：
解得：或
∴M(-5，11)
如图2，作MI⊥NP交NP于点I，
由旋转的性质可得：∠MPN=45°，
∴△PMI为等腰直角三角形，
∴MI=PI
过点I作直线l//y轴，作MR⊥直线l于点R，作PS⊥直线l于点S，则∠MRI=∠PSI=∠MIP=90°
∴∠MIR+∠PIS=∠MIR+∠IMR=90°
∴∠PIS=∠IMR
在△MIR和△IPS中，
∴△MIR △IPS(AAS)
∴MR=IS，RI=SP
设MR=IS=n，则RI=SP=xP-xM+n=3-(-5)+n=8+n
∵RS=RI+IS=8+n+n=yM-yP=11-(-5)=16
∴8+2n=16
∴n=4
∴点I的横坐标为-5-4=-9，点I的纵坐标为-5+4=-1，即I(-9，-1)
设直线PI的解析式为y=k4x+b4(k4≠0)，将点I，点P的坐标分别代入得：
解得：
∴直线PI的解析式为，
设点，
由旋转的性质可得MP=NP
∵
∴，
整理得：r2-6r-279=0
解得：或(不符合题意，舍去)，
当时，
∴
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)由题意可得OC=4，由平行线的性质可得∠DAB=∠ABC，从而得出，结合正切的定义的OB=6，即B(6，0)，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，再利用待定系数法计算即可得出结果；
(2)先求出直线BC的解析式为，从而可得直线AD的解析式为，联立，求得，由题意可得(0(3)由(2)可得P(3，-5)，则H(3，0)，求出点Q的坐标为，从而可得直线PQ的解析式为y=-2x+1，联立，求出M(-5，11)，作MI⊥NP交NP于点I，由旋转的性质可得：∠MPN=45°，则△PMI为等腰直角三角形，从而可得MI=PI，过点I作直线l//y轴，作MR⊥直线l于点R，作PS⊥直线l于点S，则∠MRI=∠PSI=∠MIP=90°，证明△MIR≌△IPS(AAS)，得出MR=IS，RI=SP，设MR=IS=n，则RI=SP=8+n，由RS=RI+IS=16，求出n=4，从而可得I(-9，-1)，进而求出直线PI的解析式为，设点，由旋转的性质可得MP=NP，由勾股定理可得，，则，计算即可得出结果.
1 / 1四川省绵阳外国语学校2026年中考数学模拟试卷(一)
1．2026的倒数是（　　）
A．2026 B． C． D．-2026
2．围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（　　）
A．四棱柱 B．五棱柱 C．六棱柱 D．六棱锥
4．式子 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是(　　)
A．x=1 B．x<1 C．x>1 D．x=-1
5．下列计算正确的是(　　)
A． B．3x+3y=6xy C． D．
6．如图，在△ABC中，分别以点 A和点 C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于 M， N两点，直线 MN分别与边 BC、AC相交于点 D、E.若 D为 BC的中点， AC=8， CD=5，则△ABC的面积为(　　)
A．12 B．20 C．22 D．24
7．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有共买进，人出半，盈四；人出少半，不足三.问人数，进价各几何 其大意是：今有人合伙买进，每人出 钱，会多出 4钱；每人出 钱，又差了 3钱.问人数，进价各是(　　)
A．17， 42 B．42， 17
C．6， 1 D．21， 6
8．如图，边长为 2的正六边形 ABCDEF放置于平面直角坐标系中，边 AF在 x轴的负半轴上，顶点 B在 y轴正半轴上.将正六边形 ABCDEF绕坐标原点 O按逆时针方向旋转 90°，则旋转后顶点 D的坐标为(　　)
A． B． C． D．
9．现有编号为①、②、③、④的四种化学试剂，分别是： Fe、CuO、HCl溶液、NaOH溶液，装在了 4个不透明的化学试剂瓶中.某同学从这四种化学试剂中随机不放回地先后抽取两种，规定：若两种物质之间能发生化学反应，则称为“有效反应组合”，则该同学抽到有效反应组合的概率是(　　)
A． B． C． D．
10．如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个数为 2，第二行有 2个数为 4，6，…第 n行有 n个数…探究其中规律，偶数2026应该排在从上向下数的第 m行，是该行中的从左向右数的第 n个数，那么 m+n的值是(　　)
A．45 B．67 C．68 D．69
11．如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，过点 D作DE⊥AB于点 E，交 AC于点 F.点 P是线段 DE上一动点，连接 OP、BP，若 AF=5， CF=7，则 OP+BP的最小值为(　　)
A． B． C． D．
12．如图， 在 Rt△ABC中， ∠C=90°， BD平分∠ABC， DE=CE， AC=AE.若 CD=2，则 AE= (　　)
A．4 B． C． D．
13．因式分解2x2-4x+2=　 　 ．
14．2025年中国全年出生人口为 792万人，人口出生率为 5.63‰，全年死亡人口 1131万人，人口自然增长率为-2.41‰，人口总量比上年末减少 339万人，其中数据 7920000用科学记数法表示为　 　.
15．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 O的光线相交于点 P，点F为该凸透镜的焦点.若∠1=162°， ∠2=26°， 则∠3的度数为　 　.
16．已知方程 的两根分别为 x1、x2，则 的值为　 　.
17．如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 MA和 ND.甲在山脚点 C 处测得通信基站顶端 M的仰角为 60°，测得点 C距离通信基站 MA的水平距离 CB为 30m；乙在另一座山脚点 F处测得点 F 距离通信基站 ND的水平距离 FE为 50m，测得山坡 DF的坡度 i=1：1.25.若 点 C， B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端 M与顶端 N的高度差为　 　m.
18．如图，在四边形 ABDC中， ∠BAC=90°， AB=AC，若 则 cos∠BCD的值为　 　.
19．按要求完成下列各题：
（1）计算：
（2）先化简，再求值：其中
20．快递业为农产品走进全国千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.草莓种植户小刘经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作.为此，小刘收集了10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并整理如下：
a.配送速度得分： 甲： 6， 6， 7， 7， 8， 8，9， 9， 9， 10. 乙： 6， 7， 7， 8， 8， 8，8， 9， 9， 10.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：甲公司配送速度得分的平均数为 7.9分、中位数为 8分、众数为 9分：乙公司配送速度得分的平均数为　 　、中位数为　 　、众数为　 　.
（2）甲公司服务质量得分的方差为 1，请计算乙公司服务质量得分的方差，并由此判定哪家公司的得分更稳定.
（3）小刘又收集了 10家草莓种植户对两家公司的相关评价，并与第一次收集的 10家草莓种植户对两家公司的相关评价一起整理、分析，得出如下配送速度和服务质量得分统计表.
　 配送速度得分 服务质量得分
甲 8 7.2
乙 8.2 6.8
鉴于生鲜产品对配送速度要求会更高，小刘将两项得分按 3：2的比例确定最终得分，并以此为依据选择公司，请问小刘会选择哪家快递公司
21．已知正方形 ABCD， E为对角线 AC上一点， F是 DE延长线上一点， FB⊥BE， EF交 AB于点 G.
（1）求证： FG=FB；
（2）若 G为 AB的中点，且 AB=x，求 AF的长(用 x的式子表达)
22．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若购买甲种滑动变阻器用了 1440元，购买乙种用了 2430元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的 1.5倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵 6元.
（1）求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
（2）该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共 100个，要求甲种滑动变阻器的数量不多于乙种滑动变阻器的数量的 3倍，总费用不超过 5000元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案.
23．如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y=-2x+3m的图象与反比例函数 的图象相交于 A， B (m，2)两点.
（1）求反比例函数的表达式及点 A的坐标；
（2）点 C是反比例函数第三象限图象上的一点，连接 AC交 y轴于点 H，连接 AO、CO，当△AHO与△CHO的面积比为 2： 3时，求△ACO的面积；
（3）探究在反比例函数图象上是否存在一点 M，点 N是平面内一点，使得以 A、B、M、N为顶点的四边形是矩形 若存在，求点 N的坐标；若不存在，请说明理由.
24．如图 1， AB为⊙O直径， P为 AB延长线上一点，弦 CD⊥AB，垂足为 D， CB平分∠PCD，连接 AC， E为 AB下方⊙O上一点，且∠ACE=2∠PCB，连接 EB.
（1）求证： PC是⊙O的切线；
（2）求证： AC=CE；
（3）如图 2，在 CP上取一点 F，连接 BF，使 AB=2CF，过点 B作 BF的垂线交 AC于点 G，若 AG=28，BF=13，求 CE和 sin∠E.
25．如图，已知抛物线过点 A (-2，0)、C(0，-4)，抛物线与 x轴的另一交点 B在 x轴的正半轴上，过点A作直线 AD∥BC交抛物线于点 D，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 P是直线 BC下方的抛物线上一点，连接 DP交 BC于点 E，连接 AE，AP，设△APE的面积为S，点 P的横坐标为 t，求 S关于 t的函数关系式，并求 S的最大值及此时点 P的坐标；
（3）在(2)问的结论下，过点 P作 PH⊥x于点 H，取 AH的中点 Q，连接 PQ交抛物线于点 M，将PM绕点 P 逆时针方向旋转 至 PN，求 N的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2026的倒数是
故选：C.
【分析】利用倒数的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题以围棋棋子摆放图形为背景，考查了轴对称图形与中心对称图形的识别。根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一分析各选项，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的一项。
3．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由图可知：
该几何体是六棱柱．
故选：C．
【分析】本题以三视图还原几何体为背景，考查了根据三视图判断几何体形状的能力。由俯视图为正六边形确定底面为六边形，结合主视图和左视图为矩形，判断该几何体为六棱柱。
4．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴且1-x≠0，
∴x≤1且x≠1，
解得x<1.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可.
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.∵(3x)2=9x2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵3x，3y不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.∵(x+y)2=x2+2xy+y2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.∵(x+2)(x-2)=x2-4，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D.
【分析】A.根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可；B.先判断3x，3y是不是同类项，能否合并，然后判断即可；C.根据完全平方公式进行计算，然后判断即可；D.根据平方差公式进行计算，然后判断即可.
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵MN垂直平分AC，
∴， DE⊥AC，
∴
∴，
∵D为BC的中点，
∴S△ABC=2S△ACD=24.
故答案为：D.
【分析】由线段垂直平分线的性质可得，DE⊥AC，由勾股定理可得DE=3，再由三角形面积公式计算即可得出S△ACD，从而得出结果.
7．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设人数为x，则每人出钱时多出4钱，可得进价为，每人出钱时差3钱，可得进价为，
∵进的总价固定不变
∴列方程得，
解得x=42，即人数为42，
将x=42代入号，得进价为
因此人数为42，进价为17
故选：B.
【分析】设人数为x，进价为，根据进的总价固定不变列方程得，进而求解，即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AD，DF，
在正六边形ABCDEF中，AF=AB=EF=ED=2，∠AFE=∠FED=∠FAB=120°，
∴∠EFD=∠EDF=30°，∠EDA=∠FAD=60°，
∴∠DFA=90°，∠FDA=30°，
∴AD=2AF=4，
∴，
∵∠OAB=180°-∠FAB=60°，
∴∠ABO=90°-∠BAO=30°，
∴
∴OF=OA+AF=1+2=3，
∴
∵将正六边形ABCDEF绕原点O旋转90°，
∴旋转后顶点D的坐标为.
故答案为：B.
【分析】如图，连接AD，DF，首先确定点D的坐标，再根据绕坐标原点O逆时针方向旋转90°的特点求解.
9．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表：
　 Fe CuO HCl NaOH
Fe 　 CuO，Fe HCl，Fe NaOH，Fe
CuO Fe，CuO 　 HCl， NaOH，CuO
HCl Fe，HCl CuO，HCl 　 NaOH，HCl
NaOH Fe，NaOH CuO，NaOH HCl，NaOH 　
即总共有12种不同组合，每种组合出现的可能性相同，能发生反应的组合为Fe与HCI、CuO与HCI、HCl与NaOH，共6种有效反应组合
根据概率公式可得：
因此抽到有效反应组合的概率为，
故答案为：A.
【分析】先列表求出所有等可能的抽取结果数，再求出有效反应组合的结果数，最后根据概率公式计算即可.
10．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：∵全体正偶数排列为2，4，6，...
∴2026是第2026÷2=1013个偶数，
设前x行共有Sx个数，则
当x=44时，，
当x=45时，，
∵990<1013<1035，
∴2026是第45行的第1013-990=23个数，即m=45，n=23，
∴m+n=45+23=68
故答案为：C.
【分析】先确定2026是第几个偶数，再根据三角数阵每行数字个数的规律(第k行有k个数)，利用求和公式估算出2026所在的行数m，最后确定其在该行的位置n，从而求出m+n的值.
11．【答案】C
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】作点B关于DE的对称点B'，连接B'P，此时点B'在AB上，过点O作OM⊥AB于点M，
由轴对称的性质可得，BP=B'P，
∴OP+BP=OP+B'P≥OB'，即点O、P、B'三点共线时有最小值为OB'的长，
∵AF=5，CF=7，
∴AC=12
∵菱形ABCD，
∴OB=OD，，AC⊥BD，AB//CD，
∴OF=OA-AF=1，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥CD
∴∠CDF=∠COD=90°，
∵∠DFC=∠OFD，
∴△CDF∽△DOF
∴
∴
∴(负值含去)，
∴，
∴，
∵∠AOF=∠DEB=90°，∠ODF=∠EDB，
∴△DOF∽△DEB，
∴
∴
∴，
∴
∵OM//DE，
∴△BOM∽△BDE
∴
∴，
∴
∴
即OP+BP的最小值为
故答案为：C.
【分析】作点B关于DE的对称点B'，连接B'P，此时点B'在AB上，过点O作OM⊥AB于点M，则点O、P、B'三点共线时有最小值为OB'的长，证明是△CDF∽△DOF，从而求出，，，再证明△DOF∽△DEB，求出，，再证明△BOM∽△BDE，求出，，最后利用勾股定理求解即可.
12．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于点F，
设AD=x，∠ABC=2α，则AC=AE=x+2
∴∠DCE=∠AEC
∵CE=DE，EF⊥CD，
∴，
∠DEF=∠CEF=∠CED，∠CDE=∠DCE
∴∠ACE=∠CDE，∠AEC=∠DCE，AF=x+1
∴△ACE∽△EDC
∴，∠CAE=∠CED
∴CE2=CD·AC=2(x+2)=2x+4，
∴
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=α
∵EF∥BC
∴△DEF∽△DBC
∴∠DEF=∠CBD=α，
∴∠CAE=∠CED=2α，
∵∠AFE=∠ACB=90°，∠FAE=∠CBA=2α，
∴△AEF∽△BAC
∴
∴
∴(x+2)(x+1)=2(2x+3)
解得：(负值舍去)
∴
故选：D.
【分析】过点E作EF⊥AC于点F，设AD=x，∠ABC=2α，则AC=AE=x+2，证明△ACE∽△EDC，得出∠CAE=∠CED，CE2=2x+4，从而得出，再证明△DEF∽△DBC，推出∠CAE=∠CED=2α，，最后再证明△AEF∽△BAC，根据对应边成比例列方程求解即可.
13．【答案】2（x-1）2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2（x2-2x+1）=2（x-1）2.
【分析】根据提公因式法进行因式分解，再将括号内的式子利用公式法进行因式分解即可。
14．【答案】7.92×106
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：7920000=7.92×106，
故选：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
15．【答案】44°
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：AB//CD
∴∠4=180°-∠1=180°-162°=18°
由对顶角相等可得：∠5=∠2=26°
∴∠3=∠5+∠4=44°
故答案为：44°.
【分析】由平行线的性质可得∠4=180°-∠1=18°，由对顶角相等可得∠5=∠2=26°，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果.
16．【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2+2025x+1=0的两根分别为x1，x2，
∴x1·x2=1，，
∴，
∴
2027
=-1+2027
=2026.
故答案为：2026.
【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，进而可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得x1·x2=1，再将原式变形为，据此计算即可求解.
17．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△MCB中，
∵∠MCB=60°，CB=30m，
∴
∴m
∵山坡DF的坡度i=1：1.25，EF=50m，
∴DE=40m，
∴
∴ND=25m
∴(m)
∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为m.
故答案为：.
【分析】根据锐角三角函数可得MB，由山坡DF的坡度i=1：1.25，EF=50m，可得DE=40m，进而可以解决问题.
18．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；求正弦值
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥AD于点A，且AE=AD，连接DE，连接EC，并延长交BD的延长线于点F，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠CAE+∠DAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，
∵∠ADB+∠ADF=180°，
∴∠AEC+∠ADF=180°，
根据四边形内角和，得∠DAE+∠F=180°，
∴∠F=90°
∵
∴∠CBD=30°，
∴
∵，
∴
∴，，
设BD=CE=x，则DF=3-x，
在Rt△DEF中，DF2+EF2=DE2，
∴
在Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2=2AD2，
∴，
整理，得，，
解得或x=1，
∵∠BAD>15°，∠ABD=∠ABC+∠CBD=75°，
∴∠ADB<90°，
∴AD2+BD2>AB2
∴BD2>AB2-AD2
∴，
∴x=1即BD=1，
过点D作DG⊥BC于点G，
则，
∴
∴
故
故答案为：.
【分析】过点A作AE⊥AD于点A，且AE=AD，设BD=CE=x，则DF=3-x，，过点D作DG⊥BC于点G，根据勾股定理，解方程求解即可.
19．【答案】（1）解：原式
=-1
（2）解：原式
当时，
原式

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】(1)先计算特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可得出结果；
(2)先根据分式的混合运算法则进行化简，再代入计算即可得出结果.
20．【答案】（1）8分；8分；8分
（2）解：乙公司服务质量得分的平均数为
(分)
故
∵甲公司服务质量得分的方差为1，1<4.2，
∴甲公司的得分更稳定
（3）解：甲最终得分为(分)
乙最终得分为(分)
∴甲公司的得分更稳定小刘会选择甲快递公司
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：(1)平均数为(分)
将数据排序后第5个和第6个数据均为8，故中位数为8分；
出现次数最多的数据是8，故众数为8分；
故答案为：8分，8分，8分.
【分析】(1)根据平均数，中位数和众数的计算公式进行求解即可；
(2)根据方差的计算公式进行计算，再比较大小即可；
(3)求出加权平均数，进行比较即可.
21．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD为正方形，
∴∠BAE=∠DAE=45 °， ∠BAD=∠ABC=90°， AB=AD，
又∵AE=AE，
∴△ABE≌△ADE (SAS) ，
∴∠ABE=∠ADE，
∴∠ADE+∠AGD=90 °， ∠ABE+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠AGD，
又∵∠BGF=∠AGD，
∴∠ABF=∠BGF，
（2）解：如图，过点F作FH⊥AB于点H，
由(1)得FG=FB，
∴，
∵G为AB的中点，且AB=x，
∴，AD=AB=x，
∴
∴
∵∠FHG=∠DAG=90°，∠AGD=∠HGF，
∴△AGD~△HGF
∴
∴
∴由勾股定理得
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据正方形的性质证明△ABE≌△ADE，得出∠ABE=∠ADE，然后利用余角的性质和对顶角的性质得出∠ABF=∠BGF，最后利用等角对等边即可得出结论；
(2)过点F作FH⊥AB于点H，根据线段的中点表示出相关线段的长度，证明△AGD~△HGF，得出，最后利用勾股定理进行求解.
22．【答案】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为(x+6)元，
由题意可得：
解得：x=48，
经检验，x=48是原方程的解，且符合题意
∴x+6=48+6=54(元)
∴甲种滑动变阻器的单价为48元，乙种滑动变阻器的单价为54元
（2）解：设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器(100-m)个，
由题意可得：
解得：67≤m≤75，
∵m为整数，
∴m可以取67，68，69，...75，共9种取值，对应的购买方案有9种，
方案一：当 m=67时，100-m=33，即购买甲种滑动变阻器 67个，则购买乙种滑动变阻器 33个；
方案二：当m=68时，100-m=32，即购买甲种滑动变阻器 68个，则购买乙种滑动变阻器 32个；
…，
方案九：当m=75时，100-m=25，即购买甲种滑动变阻器75个，则购买乙种滑动变阻器25个；所需费用最少的购买方案是购买甲种滑动变阻器75个，则购买乙种滑动变阻器25个，此时费用为4950元
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)设甲种滑动变阻器的单价为x元，则乙种滑动变阻器的单价为(x+6)元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果；
(2)设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器(100-m)个，由题意可得，求解得出67≤m≤75，结合m为整数，得出m可以取67，68，69，...，75，共9种取值，对应的购买方案有9种，设总费用为w元，则w=-6m+5400，再由一次函数的性质即可得出结果.
23．【答案】（1）解：将点B(m，2)代入一次函数y=-2x+3m，解得m=2，
故B (2，2).
将B(2，2)代入反比例函数，得k=4，
因此反比例函数为：
联立一次函数y=-2x+6与反比例函数，
得
解方程组得，
故点A坐标为(1，4)
（2）解：如图，直线AC与y轴交于点H.
∵，，S△AHO：S△CHO=2：3，
∴|xA|：|xC|=2：3，
∵xA=1，点C在第三象限
∴
故
∴直线AC解析式为：，
∴点H坐标为
∴
（3）解：设点M坐标为
∵A(1，4)，B(2，2)，
∴AB2=(1-2)2+(4-2)2=5，
以 A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，分三种情况：
①当∠ABM=90°时，AM2=AB2+BM2，
m/
2-1)=(2-m)2+
解得：m1=2(不合题意舍去)；，m2=-4，点M坐标为(一4，-1)，
将点M向左平移1单位，上平移2单位得到点N，：.点N坐标为(-5，1)，2当BAM=90°时，BM2=AB2+AM2，(2-m)2+(2-)=(1-m)2-(4-m
解得：m1=1(不合题意舍去)；m2=-8，
点M坐标为(-8，-12
将点M向右平移1单位，下平移2单位得到点N(-72)..点N坐标为
3当/BMA=90°时， BM2 + AM2= AB2(2-m)2+(2-4-m+(1-m)2+(
；点 N坐标为(-5，1)或
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；矩形的性质
【解析】【分析】(1)将点B(m，2)代入一次函数y=-2x+3m，求得m=2，可得B(2，2)，进而可得反比例函数为，联立解析式即可求出交点坐标；
(2)由面积比S△AHO：S△CHO=2：3，结合共底三角形面积比等于高之比，得点|xA|：|xC|=2：3，进而求出点C横坐标，由此求出直线AC解析式，可得H点坐标，再根据S△ACO=S△CHO+S△AHO计算面积即可；
(3)根据以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，分三种情况讨论直角的位置，根据勾股定理列方程求解出点M坐标，再根据平移确定点N坐标即可.
24．【答案】（1）证明：如下图所示，连接 OC，延长 CD交⊙O于点 M，连接 BM，
∵AB⊥CD，
∴CD=MD，
∴BC=BM，
∴∠BCM=∠BMC，
∴∠A=∠BMC，
∴∠A=∠BCM=∠BMC，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵CB平分∠PCD，
∴∠PCB=∠BCM=∠A=∠ACO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥CP，
又∵点 C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线
（2）证明：由下图所示，连接 AE，
由 可知∠PCD=2∠PCB， ∠PCB=∠ACO，
∵∠ACE=2∠PCB，
∴∠ACE=∠PCD，
∴∠ACE=2∠ACO，
∵∠COB是△ACO的外角，
∴∠COB=∠ACO+∠OAC=2∠ACO，
∴∠COB=∠ACE，
∴∠AEC=∠OBC，
∴△OBC∽△CAE，
∵OC=OB，
∴AC=CE
（3）解：如下图所示，连接OC，过点F作FR⊥BC，
∴∠CRF=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴∠ACB=∠CRF
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵CD//AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠BCD+∠ABC=90°
∴∠BCD=∠BAC
∵CB平分∠PCD
∴∠PCB=∠BCD，
∴∠BAC=∠PCB，
∴△ABC∽△CFR，
∴
∵AB=2CF
∴AC=2CR，BC=2FR
∵BF⊥BG，
∴∠BRF=∠GCB=90°
∴∠FBR=∠BGC=90°-∠CBG，
∴△BRF∽△GCB，
∴
∵BC=2FR，BF=13，
∴GC=2BR，BG=2BF=26，
设BR=t，则GC=2t，
∵AG=28，
∴AC=AG+GC=2t+28，
∴
∴BC=CR+BR=2t+14
在Rt△BCG中， BC2+GC2=BG2，
∴(2t+14)2+(2t)2=262，
解得：t=5或t=-12(负值，舍去)，
∴GC=2t=10，
∴AC=AG+GC=28+10=38，
∴CE=AC=38；
∵BC=BC
∴∠BEC=∠A，
∴sin∠BEC=sin∠A ，
∵BC=CR+BR=21+14=24.
∴
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】】(1)连接OC，延长CD交⊙O于点M，连接BM，根据圆周角定理可以证明∠PCB=∠ACO，根据直径所对的圆周角是直角可知∠ACO+∠OCB=90°，等量代换可证∠PCB+∠OCB=90°，从而可证PC是⊙O的切线；
(2)根据三角形外角的性质可证∠COB=∠ACE，利用圆周角定理可证∠AEC=∠OBC，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可证△OBC∽△CAE，根据相似三角形对应边成比例可证AC=CE；
(3)连接OC，过点F作FR⊥BC，可证△ABC∽△FCR，根据相似三角形的性质可知AC=2CR，BC=2FR，可证△BRF∽△GCB，根据相似三角形的性质可得BC=2FR，BF=13，GC=2BR，BG=2BF=26，设BR=t，则GC=2t，可得BC=2t+14，利用勾股定理可得t=5，从而可求CE的长度；根据圆周角定理可知sin∠BEC=sin∠A，利用勾股定理求出AB的长度，根据正弦的定义即可求出sin∠BEC的值.
25．【答案】（1）解：∵C(0，-4)，
∴OC=4，
∵AD//BC
∴∠DAB=∠ABC
∴
∴，
∴OB=6，即B(6，0)
抛物线过点A(-2，0)，B(6，0)，C(0，-4)，
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，将点A，点B，点C的坐标分别代入得：
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b1(k≠0)，将点B，点C的坐标分别代入得：
解得：
∴直线BC的解析式为，
∵AD//BC
∴设直线AD的解析式为，将点A的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线AD的解析式为
联立得：
解得：或
∴
∵设点P的横坐标为t，
∴(0如图，连接BD，作PF//y轴，交AD于点F，则，
∴
∵AD//BC，且点E在BC上
∴S△ADE保持不变，且
∵S△APE=S△APD-S△ADE，
∴
∵
∴当t=3时，S取得最大值为15，此时
∴S关于t的函数关系式为 S的最大值为15，此时点 P的坐标为
（3）解：由(2)可得P(3，-5)，
∵PH⊥x于点H，
∴H(3，0)，
∵Q为AH的中点，A(-2，0)，
∴点Q的坐标为，即，
设直线PQ的解析式为y=k3x+b3(k3≠0)，将点P点Q的坐标分别代入得：
解得：
∴直线PQ的解析式为y=-2x+1
联立得：
解得：或
∴M(-5，11)
如图2，作MI⊥NP交NP于点I，
由旋转的性质可得：∠MPN=45°，
∴△PMI为等腰直角三角形，
∴MI=PI
过点I作直线l//y轴，作MR⊥直线l于点R，作PS⊥直线l于点S，则∠MRI=∠PSI=∠MIP=90°
∴∠MIR+∠PIS=∠MIR+∠IMR=90°
∴∠PIS=∠IMR
在△MIR和△IPS中，
∴△MIR △IPS(AAS)
∴MR=IS，RI=SP
设MR=IS=n，则RI=SP=xP-xM+n=3-(-5)+n=8+n
∵RS=RI+IS=8+n+n=yM-yP=11-(-5)=16
∴8+2n=16
∴n=4
∴点I的横坐标为-5-4=-9，点I的纵坐标为-5+4=-1，即I(-9，-1)
设直线PI的解析式为y=k4x+b4(k4≠0)，将点I，点P的坐标分别代入得：
解得：
∴直线PI的解析式为，
设点，
由旋转的性质可得MP=NP
∵
∴，
整理得：r2-6r-279=0
解得：或(不符合题意，舍去)，
当时，
∴
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)由题意可得OC=4，由平行线的性质可得∠DAB=∠ABC，从而得出，结合正切的定义的OB=6，即B(6，0)，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，再利用待定系数法计算即可得出结果；
(2)先求出直线BC的解析式为，从而可得直线AD的解析式为，联立，求得，由题意可得(0(3)由(2)可得P(3，-5)，则H(3，0)，求出点Q的坐标为，从而可得直线PQ的解析式为y=-2x+1，联立，求出M(-5，11)，作MI⊥NP交NP于点I，由旋转的性质可得：∠MPN=45°，则△PMI为等腰直角三角形，从而可得MI=PI，过点I作直线l//y轴，作MR⊥直线l于点R，作PS⊥直线l于点S，则∠MRI=∠PSI=∠MIP=90°，证明△MIR≌△IPS(AAS)，得出MR=IS，RI=SP，设MR=IS=n，则RI=SP=8+n，由RS=RI+IS=16，求出n=4，从而可得I(-9，-1)，进而求出直线PI的解析式为，设点，由旋转的性质可得MP=NP，由勾股定理可得，，则，计算即可得出结果.
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