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湖南省岳阳市第九中学2025-2026年八年级上学期数学期中考试试卷
1．把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（　　）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，为了估计池塘岸边M，N两点之间的距离，小明在该池塘的一侧选取一点O，测得ON=12m，OM=7m，则M，N两点之间的距离可能是（　　）
A．26m B．19m C．6m D．5m
4．若关于x的分式方程 =1的解为x=2，则m的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
5．若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣3，1 D．﹣1，3
6．有下列算式：①；②；③；④。其中正确的是（　　）
A．②④ B．①③ C．③④ D．①④
7．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．若，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．9
9．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为9cm，那么这个等腰三角形的周长是（　　）
A．22cm B．17cm C．17cm或22cm D．以上都不对
10．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，过点A作AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝46°，则∠BAD的度数为（　　）
A．56° B．61° C．66° D．71°
11．若，，则　 　.
12．化简：=　 　；
13．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于　 　．
14．　 　；　 　．
15．河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称.柘丝的平均直径约为0.00002m，将0.00002用科学记数法表示为　 　．
16．若最简二次根式和能合并，则x的值为　 　．
17．定义一种新运算：对于任意的非零实数.若，则的值为　 　.
18．如图，在△ABC中，点D在AC上，点E、G在BC上，已知AD：DC＝1：3，EG：GC＝1：2，连接AE、BD交于点F，且F为AE中点，连接DG，若S△BEF+S△CDG＝12，则S△ABC＝　 　．
19．计算.
20．先化简，再求值：（其中）
21．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：.
（1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解.”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少.
22．已已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
23．第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍．
（1）求购买一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？
（2）为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购买的总费用不超过11020元，求最多可以购买“妮妮”多少个？
24．阅读与思考
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
②求代数式x2﹣6x+11的最小值：
x2﹣6x+11＝（x2﹣6x+9）﹣9+11＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2是非负数，即（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2≥2，则代数式x2﹣6x+11的最小值是2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2+4x﹣12
（2）用配方法求x2+8x+12的最小值；
25．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ，那么便有±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7， ，
∴2
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
26．在我们湘教版版义务教育教科书数学八上第94页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝　 　；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数；
（3）如图3，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F＝n°，则∠A的度数为　 　（结果用含n的代数式表示）；
（4）在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 a2-4a=a（a-4），
故答案为：A．
【分析】利用提公因式法即可直接分别因式。
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，故该选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故该选项符合题意；
C.，故该选项不符合题意；
D.，故该选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ON-OM即12-7∴5∴选项有只有6米符合要求
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出MN范围，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程 =1的解为x=2，
∴x=m﹣2=2，
解得：m=4．
故答案为：B．
【分析】根据方程解的定义，把x=2代入原方程，将原方程转化为一个关于m的方程，求解即可。
5．【答案】D
【知识点】完全平方式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵ x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，
∴ m﹣1＝±2，
解得：m＝﹣1或m＝3．
故选：D．
【分析】本题以完全平方公式进行因式分解为背景，考查了完全平方公式的结构特征。将多项式与完全平方公式 (a b)2 = a2 2ab + b2 对比，确定中间项系数应满足 m-1 = 2，从而求出m的值。
6．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：、不是同类项，①计算错误；
，②计算正确；
，③计算错误；
，④计算正确，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的运算法则进行判断即可.
7．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲志愿者计划完成此项工作需x天，故甲的工效都为：，
由于甲、乙两人工效相同，则乙的工效为，
甲前两个工作日完成了，剩余的工作量甲完成了，
乙在甲工作两个工作日后完成了，
则，
解得x=8
经检验，x=8是原方程的解
故答案为：A.
【分析】工作问题常用的等量关系是：工效×时间=工作总量，本题的等量关系为：甲工作量+乙工作量=1，根据从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，进而即可求解.
8．【答案】D
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：D
【分析】本题以代数式的化简求值为背景，考查了提公因式法及完全平方公式的逆用。先将原式分解为 ab(a+b)2，再整体代入已知条件求值。
9．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当等腰三角形的腰长为4cm，底边长为9cm时，
∵4+4=8(cm)<9(cm)，
∴不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为9cm，底边长为4cm时，
∵9+4=13(cm)>9(cm)，
∴能构成三角形
∴等腰三角形的周长为2×9+4=22(cm).
故答案为：A.
【分析】因为已知长度为4cm和9cm两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论.
10．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线
∴
由AD⊥BD，得∠ADB=90°，
在△ABD中，
∵在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC=180°
把∠DAC=20°，∠C=46°代入，
得
∴∠ABC=48°
∴
故答案为：C.
【分析】因为BD是∠ABC的角平分线，所以，由AD⊥BD，得∠ADB=90°，，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC=180°，即可作答.
11．【答案】2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵，，
=，
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的除法法则可得5m-n=5m÷5n，然后将已知条件代入进行计算.
12．【答案】a+2
【知识点】分式的乘法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：a+2.
【分析】先将分式用公式法进行因式分解，然后再进行约分、化简.
13．【答案】80°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°.
故答案为：80°.
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B，从而求出∠A的度数.
14．【答案】2；
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：2，.
【分析】利用二次根式的乘除法法则进行化简计算.
15．【答案】2×10-5
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00002=2×10-5.
故答案为：2×10-5.
【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
16．【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：，最简二次根式和能合并，
∴和是同类二次根式，
∴2x+1=2，
解得：
故答案为：.
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后再根据最简二次根式和同类二次根式可得：2x+1=2，解一元一次方程即可得出答案.
17．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由定义可知：，
∴2x+1=0，
解得
经检验，当时，分母.
故是方程的解；
故答案为：.
【分析】根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可.
18．【答案】24
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接DE，
设S△BEF=S1，S△CDG=S2，则S△BEF+S△CDG=S1+S2=12
∵QF为AE中点，
∴S△ABF=S△BEF=S1，
∵EG：GC=1：2，
∴
∴，
∵AD：DC=1：3，
∴
∴.
故答案为：24.
【分析】设S△BEF=S1，S△CDG=S2，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积用含S1和S2的代数式表示出来，从而求出△ABC的面积即可.
19．【答案】解：原式=4-1+1-3
=1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别根据负整数指数幂、零指数幂、乘方运算绝对值的性质计算各项的值，再进行加减运算.
20．【答案】解：原式
=(a-2)(a+1)
=a2-a-2，
当a2-a=0时，原式=0-2=-2.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对原式进行化简，再结合已知条件求出化简后式子的值.
21．【答案】（1）解：
去分母，得5+3(x-2)=-1，
解得x=0；
检验：当x=0时，x-2≠0，
∴x=0是原方程的解
（2）解：
去分母，得m+3(x-2)=-1，
∵分式方程无解，
∴分式方程有增根，
∴x-2=0，解得x=2，
把x=2代入m+3(x-2)=-1，得m+3×(2-2)=-1，
解得m=-1
【知识点】已知分式方程的解求参数；分式方程的无解问题；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可；
(2)去分母，将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即.
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
，
∴x2-xy+y2=(x+y)2-3xy=28-6=22
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】(1)根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
(2)根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可.
23．【答案】（1）解：设购买一个“滨滨"需要x元，一个“妮妮”需要
(x+40)元，
根据题意得：
解得：x=80.
经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+40=80+40=120(元)
答：购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元；
（2）解：设购买m个“妮妮”，则购买(100-m)个“滨滨”，
根据题意得：80(100-m)+120m≤11020
解得：
又∵m为正整数
∴m的最大值为75.
答：最多可以购买“妮妮”75个
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设购买一个“滨滨"需要x元，一个“妮妮”需要(x+40)元，利用数量=总价÷单价，结合用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出购买一个“滨滨”所需费用，再将其代入(x+40)中，即可求出购买一个“妮妮”所需费用；
(2)设购买m个“妮妮”，则购买(100-m)个“滨滨”，利用总价=单价×数量，结合总价不超过11020元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论.
24．【答案】（1）解：原式=(x2+4x+4)-4-12
=(x+2)2-42
=(x+2+4)(x+2-4)
=(x+6)(x-2)
（2）解：原式=(x2+8x+16)-16+12
=(x+4)2-4
∵(x+4)2≥0，
∴(x+4)2-4≥-4，
∴最小值是-4
【知识点】配方法的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】(1)先将式子凑成完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解；
(2)通过配方将式子转化为完全平方与常数的和的形式，再根据完全平方的非负性求最小值.
25．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【分析】(1)先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论；
(2)先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论；
(3)先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论.
26．【答案】（1）115°
（2）解：∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，
∴∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP
∵∠CBM=∠BAC+∠ACB，∠ACB=80°
∴2∠CBP=2∠BAP+∠ACB，
∴∠CBP=∠BAP+40°
∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=100°-2∠BAP
∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=140°-∠BAP，
∴∠ABP+∠BAP=140°
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=40°
∵BH⊥AP，即∠BHP=90°，
∴∠PBH=180°-∠P-∠BHP=50°
（3）180°-8n
（4）或或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：(1)∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB
∴2∠PBC+2∠PCB=130°，即∠PBC+∠PCB=65°
∴∠P=180°-∠PBC-∠PCB=115°
故答案为：115°.
(3)如图所示，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠ECB，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠EBC=2∠FBE=2∠FBC，∠ECQ=2∠ECF=2∠QCF，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠DBC=180°-∠MBC，∠DCB=180°-∠BCN，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2∠DBC-2∠DCB
=180°-2(180°-∠MBC)-2(180°-∠BCN)
=2(∠MBC+∠BCN)-540°，
=2(2∠EBC+2∠ECB)-540°
=4(∠EBC+∠ECB)-540°
又∵∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∠FBC=∠EBC-∠FBE，∠FCB=∠ECB+∠ECF，
即∠F+∠FBC+∠FCB=∠F+∠EBC-∠FBE+∠ECB+∠ECF=180°
∴∠EBC+∠ECB=180°-∠F-(∠ECF-∠FBE)，
又∠ECF=∠QCF，∠FBE=∠FBC，
∴∠ECF-∠FBE=∠QCF-∠FBC=∠F，
∴∠EBC+∠ECB=180°-∠F-(∠ECF-∠FBE)=180°-2∠F，
∴∠A=4(∠EBC+∠ECB)-540°=4(180°-2∠F)-540°=180°-8∠F=180°-8n
故答案为：180°-8n.
(4)当点F在点E左侧时，如图所示，
∵BE//CD，
∴∠CBE+∠BCD=180°，
∵BQ平分∠EBF，CQ平分∠DCF，
∴，
∵∠EBC+∠FCB=180°-∠DCF=180°-β，
∴
当F在D、E之间时，如图4-2所示：
同理可得：
，
∠FBC+∠FCB=180°-∠DCF-∠EBF=180°-α-β，
∴
当点F在D点右侧时，如图所示：
同理可得，
，
∠FBC+∠DCB=180°-∠EBF=180°-∠α，
故答案为：或或.
【分析】(1)根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
(2)先由角平分线的定义得到∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP=∠BAP+40°，根据三角形内角和定理推出∠P=40°，再由垂线的定义得到∠BHP=90°，进而即可求解；
(3)先由角平分线的定义得到∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠ECB，∠EBC=2∠FBE=2∠FBC，∠ECQ=2∠ECF=2∠QCF，再由三角形内角和∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2∠DBC-2∠DCB=4(∠EBC+∠ECB)-540°，根据∠F+∠FBC+∠FCB=∠F+∠EBC-∠FBE+∠ECB+∠ECF=180°，得到∠EBC+∠ECB=180°-2∠F，由此得解；
(4)分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可.
1 / 1湖南省岳阳市第九中学2025-2026年八年级上学期数学期中考试试卷
1．把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（　　）
A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4
【答案】A
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 a2-4a=a（a-4），
故答案为：A．
【分析】利用提公因式法即可直接分别因式。
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A.，故该选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故该选项符合题意；
C.，故该选项不符合题意；
D.，故该选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式.
3．如图，为了估计池塘岸边M，N两点之间的距离，小明在该池塘的一侧选取一点O，测得ON=12m，OM=7m，则M，N两点之间的距离可能是（　　）
A．26m B．19m C．6m D．5m
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵ON-OM即12-7∴5∴选项有只有6米符合要求
故答案为：C.
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出MN范围，即可求解.
4．若关于x的分式方程 =1的解为x=2，则m的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵关于x的分式方程 =1的解为x=2，
∴x=m﹣2=2，
解得：m=4．
故答案为：B．
【分析】根据方程解的定义，把x=2代入原方程，将原方程转化为一个关于m的方程，求解即可。
5．若x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．1 C．﹣3，1 D．﹣1，3
【答案】D
【知识点】完全平方式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵ x2＋（m﹣1）x＋1可以用完全平方公式进行因式分解，
∴ m﹣1＝±2，
解得：m＝﹣1或m＝3．
故选：D．
【分析】本题以完全平方公式进行因式分解为背景，考查了完全平方公式的结构特征。将多项式与完全平方公式 (a b)2 = a2 2ab + b2 对比，确定中间项系数应满足 m-1 = 2，从而求出m的值。
6．有下列算式：①；②；③；④。其中正确的是（　　）
A．②④ B．①③ C．③④ D．①④
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：、不是同类项，①计算错误；
，②计算正确；
，③计算错误；
，④计算正确，
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的运算法则进行判断即可.
7．甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加入此项工作，且甲、乙两人工作效率相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：设甲志愿者计划完成此项工作需x天，故甲的工效都为：，
由于甲、乙两人工效相同，则乙的工效为，
甲前两个工作日完成了，剩余的工作量甲完成了，
乙在甲工作两个工作日后完成了，
则，
解得x=8
经检验，x=8是原方程的解
故答案为：A.
【分析】工作问题常用的等量关系是：工效×时间=工作总量，本题的等量关系为：甲工作量+乙工作量=1，根据从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，进而即可求解.
8．若，则的值为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．9
【答案】D
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：D
【分析】本题以代数式的化简求值为背景，考查了提公因式法及完全平方公式的逆用。先将原式分解为 ab(a+b)2，再整体代入已知条件求值。
9．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为9cm，那么这个等腰三角形的周长是（　　）
A．22cm B．17cm C．17cm或22cm D．以上都不对
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①当等腰三角形的腰长为4cm，底边长为9cm时，
∵4+4=8(cm)<9(cm)，
∴不能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为9cm，底边长为4cm时，
∵9+4=13(cm)>9(cm)，
∴能构成三角形
∴等腰三角形的周长为2×9+4=22(cm).
故答案为：A.
【分析】因为已知长度为4cm和9cm两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论.
10．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，过点A作AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，∠C＝46°，则∠BAD的度数为（　　）
A．56° B．61° C．66° D．71°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BD是∠ABC的角平分线
∴
由AD⊥BD，得∠ADB=90°，
在△ABD中，
∵在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC=180°
把∠DAC=20°，∠C=46°代入，
得
∴∠ABC=48°
∴
故答案为：C.
【分析】因为BD是∠ABC的角平分线，所以，由AD⊥BD，得∠ADB=90°，，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAD+∠DAC=180°，即可作答.
11．若，，则　 　.
【答案】2
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵，，
=，
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的除法法则可得5m-n=5m÷5n，然后将已知条件代入进行计算.
12．化简：=　 　；
【答案】a+2
【知识点】分式的乘法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：a+2.
【分析】先将分式用公式法进行因式分解，然后再进行约分、化简.
13．如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于　 　．
【答案】80°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°.
故答案为：80°.
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD=∠A+∠B，从而求出∠A的度数.
14．　 　；　 　．
【答案】2；
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：2，.
【分析】利用二次根式的乘除法法则进行化简计算.
15．河南商丘柘城以出产蚕丝闻名，历史上有“柘丝为最”之称.柘丝的平均直径约为0.00002m，将0.00002用科学记数法表示为　 　．
【答案】2×10-5
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00002=2×10-5.
故答案为：2×10-5.
【分析】 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
16．若最简二次根式和能合并，则x的值为　 　．
【答案】
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：，最简二次根式和能合并，
∴和是同类二次根式，
∴2x+1=2，
解得：
故答案为：.
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后再根据最简二次根式和同类二次根式可得：2x+1=2，解一元一次方程即可得出答案.
17．定义一种新运算：对于任意的非零实数.若，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：由定义可知：，
∴2x+1=0，
解得
经检验，当时，分母.
故是方程的解；
故答案为：.
【分析】根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可.
18．如图，在△ABC中，点D在AC上，点E、G在BC上，已知AD：DC＝1：3，EG：GC＝1：2，连接AE、BD交于点F，且F为AE中点，连接DG，若S△BEF+S△CDG＝12，则S△ABC＝　 　．
【答案】24
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接DE，
设S△BEF=S1，S△CDG=S2，则S△BEF+S△CDG=S1+S2=12
∵QF为AE中点，
∴S△ABF=S△BEF=S1，
∵EG：GC=1：2，
∴
∴，
∵AD：DC=1：3，
∴
∴.
故答案为：24.
【分析】设S△BEF=S1，S△CDG=S2，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”将其它各三角形的面积用含S1和S2的代数式表示出来，从而求出△ABC的面积即可.
19．计算.
【答案】解：原式=4-1+1-3
=1
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】分别根据负整数指数幂、零指数幂、乘方运算绝对值的性质计算各项的值，再进行加减运算.
20．先化简，再求值：（其中）
【答案】解：原式
=(a-2)(a+1)
=a2-a-2，
当a2-a=0时，原式=0-2=-2.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对原式进行化简，再结合已知条件求出化简后式子的值.
21．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：.
（1）她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解.”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少.
【答案】（1）解：
去分母，得5+3(x-2)=-1，
解得x=0；
检验：当x=0时，x-2≠0，
∴x=0是原方程的解
（2）解：
去分母，得m+3(x-2)=-1，
∵分式方程无解，
∴分式方程有增根，
∴x-2=0，解得x=2，
把x=2代入m+3(x-2)=-1，得m+3×(2-2)=-1，
解得m=-1
【知识点】已知分式方程的解求参数；分式方程的无解问题；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可；
(2)去分母，将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即.
22．已已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
，
∴x2-xy+y2=(x+y)2-3xy=28-6=22
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】(1)根据二次根式的加法法则求出x+y，根据二次根式的乘法法则求出xy，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
(2)根据分式的减法法则、平方差公式把原式变形，代入计算即可.
23．第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日于哈尔滨开幕，吉祥物“滨滨”和“妮妮”毛绒玩具在市场出现热销，已知“滨滨”比“妮妮”每个便宜40元，某商场用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍．
（1）求购买一个“滨滨”和一个“妮妮”各需多少元？
（2）为满足顾客需求，商场从厂家一次性购买“滨滨”和“妮妮”共100个，要求购买的总费用不超过11020元，求最多可以购买“妮妮”多少个？
【答案】（1）解：设购买一个“滨滨"需要x元，一个“妮妮”需要
(x+40)元，
根据题意得：
解得：x=80.
经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，
∴x+40=80+40=120(元)
答：购买一个“滨滨”需要80元，一个“妮妮”需要120元；
（2）解：设购买m个“妮妮”，则购买(100-m)个“滨滨”，
根据题意得：80(100-m)+120m≤11020
解得：
又∵m为正整数
∴m的最大值为75.
答：最多可以购买“妮妮”75个
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设购买一个“滨滨"需要x元，一个“妮妮”需要(x+40)元，利用数量=总价÷单价，结合用6400元购买“滨滨”的数量是用4800元购买“妮妮”数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出购买一个“滨滨”所需费用，再将其代入(x+40)中，即可求出购买一个“妮妮”所需费用；
(2)设购买m个“妮妮”，则购买(100-m)个“滨滨”，利用总价=单价×数量，结合总价不超过11020元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论.
24．阅读与思考
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣1﹣3＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
②求代数式x2﹣6x+11的最小值：
x2﹣6x+11＝（x2﹣6x+9）﹣9+11＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2是非负数，即（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2≥2，则代数式x2﹣6x+11的最小值是2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2+4x﹣12
（2）用配方法求x2+8x+12的最小值；
【答案】（1）解：原式=(x2+4x+4)-4-12
=(x+2)2-42
=(x+2+4)(x+2-4)
=(x+6)(x-2)
（2）解：原式=(x2+8x+16)-16+12
=(x+4)2-4
∵(x+4)2≥0，
∴(x+4)2-4≥-4，
∴最小值是-4
【知识点】配方法的应用；因式分解﹣添（拆）项法
【解析】【分析】(1)先将式子凑成完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解；
(2)通过配方将式子转化为完全平方与常数的和的形式，再根据完全平方的非负性求最小值.
25．先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ，那么便有±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7， ，
∴2
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【分析】(1)先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论；
(2)先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论；
(3)先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论.
26．在我们湘教版版义务教育教科书数学八上第94页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A＝50°．则∠P＝　 　；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作BH⊥AP于点H，若∠ACB＝80°，求∠PBH的度数；
（3）如图3，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F＝n°，则∠A的度数为　 　（结果用含n的代数式表示）；
（4）在四边形BCDE中，EB∥CD，点F在直线ED上运动（点F不与E，D两点重合），连接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分线交于点Q，若∠EBF＝α，∠DCF＝β，直接写出∠Q和α，β之间的数量关系．
【答案】（1）115°
（2）解：∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，
∴∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP
∵∠CBM=∠BAC+∠ACB，∠ACB=80°
∴2∠CBP=2∠BAP+∠ACB，
∴∠CBP=∠BAP+40°
∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，
∴∠ABC=100°-2∠BAP
∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=140°-∠BAP，
∴∠ABP+∠BAP=140°
∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=40°
∵BH⊥AP，即∠BHP=90°，
∴∠PBH=180°-∠P-∠BHP=50°
（3）180°-8n
（4）或或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：(1)∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB
∴2∠PBC+2∠PCB=130°，即∠PBC+∠PCB=65°
∴∠P=180°-∠PBC-∠PCB=115°
故答案为：115°.
(3)如图所示，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，
∵BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠ECB，
∵BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴∠EBC=2∠FBE=2∠FBC，∠ECQ=2∠ECF=2∠QCF，
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠DBC=180°-∠MBC，∠DCB=180°-∠BCN，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2∠DBC-2∠DCB
=180°-2(180°-∠MBC)-2(180°-∠BCN)
=2(∠MBC+∠BCN)-540°，
=2(2∠EBC+2∠ECB)-540°
=4(∠EBC+∠ECB)-540°
又∵∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∠FBC=∠EBC-∠FBE，∠FCB=∠ECB+∠ECF，
即∠F+∠FBC+∠FCB=∠F+∠EBC-∠FBE+∠ECB+∠ECF=180°
∴∠EBC+∠ECB=180°-∠F-(∠ECF-∠FBE)，
又∠ECF=∠QCF，∠FBE=∠FBC，
∴∠ECF-∠FBE=∠QCF-∠FBC=∠F，
∴∠EBC+∠ECB=180°-∠F-(∠ECF-∠FBE)=180°-2∠F，
∴∠A=4(∠EBC+∠ECB)-540°=4(180°-2∠F)-540°=180°-8∠F=180°-8n
故答案为：180°-8n.
(4)当点F在点E左侧时，如图所示，
∵BE//CD，
∴∠CBE+∠BCD=180°，
∵BQ平分∠EBF，CQ平分∠DCF，
∴，
∵∠EBC+∠FCB=180°-∠DCF=180°-β，
∴
当F在D、E之间时，如图4-2所示：
同理可得：
，
∠FBC+∠FCB=180°-∠DCF-∠EBF=180°-α-β，
∴
当点F在D点右侧时，如图所示：
同理可得，
，
∠FBC+∠DCB=180°-∠EBF=180°-∠α，
故答案为：或或.
【分析】(1)根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
(2)先由角平分线的定义得到∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP=∠BAP+40°，根据三角形内角和定理推出∠P=40°，再由垂线的定义得到∠BHP=90°，进而即可求解；
(3)先由角平分线的定义得到∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠ECB，∠EBC=2∠FBE=2∠FBC，∠ECQ=2∠ECF=2∠QCF，再由三角形内角和∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2∠DBC-2∠DCB=4(∠EBC+∠ECB)-540°，根据∠F+∠FBC+∠FCB=∠F+∠EBC-∠FBE+∠ECB+∠ECF=180°，得到∠EBC+∠ECB=180°-2∠F，由此得解；
(4)分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可.
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