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湖南长沙市师大附中芙蓉中学等校2025-2026学年九年级下学期期中测试数学
1．把下列字母看作图形，是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A的字母S：找不到一条直线，使得沿该直线折叠后两旁部分完全重合，不是轴对称图形；
选项B的字母D：沿竖直方向过图形中心的直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，属于轴对称图形；
选项C的字母F：不存在能让图形沿其折叠后两旁部分重合的直线，不是轴对称图形；
选项D的字母Z：找不到符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
故答案为：B .
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
2． 2026年1月 30日，长沙市统计局公布了2025年长沙经济运行情况.经初步核算，2025年，长沙市实现地区生产总值约为15 738亿元，同比增长4.0%.将15 738用科学记数法表示为
A． B．0.15738×105
C． D．1.5738×104
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：15738用科学记数法表示为1.5738×104，
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
3．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：解：A、a3×a2=a3+2=a5≠a6，原计算错误，不符合题意；
B、a3+a3=2a3≠a6，原计算错误，不符合题意；
C、a3÷a=a3-1=a2，正确，符合题意；
D、(a2)3=a2×3=a6≠a5，原计算错误，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂运算、幂的乘方运算法则、合并同类项运算法则，逐项判断即可.
4．长沙非物质文化遗产馆中有许多榫卯结构的作品，展现了古代匠人的精湛技艺.燕尾榫是“万榫之母”，榫头呈梯形，形似燕尾.如图是燕尾榫正面的榫头部分，它的主视图是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可得，该图形的主视图为：
故答案为：A .
【分析】根据主视图是从正面看得到的图形即可得出结果.
5．如图，∠AOD=120°，CO⊥AO，OB是∠AOC的角平分线，则∠BOD的大小为
A．60° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CO⊥AO
∴∠AOC =90°
∵OB平分∠AOC
∴
∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=120°-45°=75°
故答案为：C .
【分析】根据垂直的定义可得∠AOC=90°，根据角平分线的定义可得，再根据角的加减运算即可求解.
6．如图，在⊙O中，⊙O的半径长为4 ，圆心O到AB 的距离OE=4，则弦AB的长为
A．8 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OA是⊙O的半径，OE⊥AB，
∴、∠OEA=90°，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：，
∴AB=2AE=2×4=8.
故答案为：A .
【分析】利用垂径定理得到，根据勾股定理求出AE长，进而求出AB长.
7．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A．36 B．9或 C． D．9
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选：D．
【分析】本题以一元二次方程根的判别式为背景，考查了判别式在判定方程根的情况中的应用。根据方程有两个相等的实数根，令判别式 = b2 - 4ac = 0，列方程求出m的值。
8．湖南花鼓戏是一种汉族戏曲剧种，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜爱.正面印有花鼓戏人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将这两张卡片分别记为A，B，列表如下：
　 A B
A A，A A，B
B B，A BB
共有4种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有2种，
∴两次抽取的卡片正面相同的概率为
故答案为：C .
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片正面相同的结果数，再利用概率公式可得出答案.
9．已知一个圆锥的底面半径为5，母线长为10，则该圆锥的侧面积为
A．25π B．50π C．100π D．125π
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥底面半径r=5，
∴圆锥底面周长C=2πr=2×π×5=10π，
设圆锥母线长为，由题得l=10，
根据圆锥侧面积公式，
∴该圆锥侧面积为50π.
故答案为：B.
【分析】先根据底面半径求出圆锥底面周长，再利用圆锥侧面积公式计算即可得到结果.
10．《九章算术》方程篇记载道：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之 ”意思是，走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人 设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，则下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为：B.
【分析】根据走路慢的人走(x-100)步和走路快的人走x步所用时间相同列一元一次方程即可.
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】x≥2026
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义
∴x-2026≥0
解得：x≥2026
故答案为：x≥2026.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得到不等式，即可求解.
12．分解因式：m2-4n2=　 　。
【答案】(m+2n)(m-2n)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： m2-4n2=(m+2n)(m-2n).
故答案为：(m+2n)(m-2n)
【分析】观察此多项式的特点：两项都能写成平方形式，两项的符号相反，因此可以利用平方差公式分解因式。
13．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角∠1=72°，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是　 　.
【答案】72°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
∴BC//AD，AB//DC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴∠2=∠1=72°
故答案为：72°.
【分析】首先可证得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求得.
14．如图是可回收垃圾的标志，其形状为等边三角形，将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为　 　.
【答案】120°
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：∵360°÷3=120°
∴旋转的角度是120°的整数倍
∴旋转的角度至少是120°
故答案为：120°.
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解.
15．如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=12，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形 EFGH 的周长是　 　.
【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，AC=8，BD=12，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH、FG、EF、HG分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ADC的中位线，
∴，，
∴四边形EFGH的周长为：(EH+FG)+(EF+HG)=6+6+4+4=20
故答案为：20 .
【分析】由题意可得EH、FG、EF、HG分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ADC的中位线，则有，，然后通过周长公式即可求解.
16．如图，正方形OABC的边长为a，顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，正方形CDEF的边长为b，顶点 F在x轴的负半轴上，若双曲线y 恰好同时经过点 B和点E，则的值是　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设DE与y轴的交点为点G，
∵四边形OABC是正方形
∴AB=BC=a，
∴B(a，a)
∵四边形CDEF是正方形
∴DE=EF=b，OG=b
∴EG=DE-DG=b-a
∵顶点F在x轴的负半轴上
∴E的横坐标为a-b
∴E(a-b，-b)
将B(a，a)、E(a-b，-b)代入得：
整理得：，
解得：或
∵a、b是正数，
∴
故答案为： .
【分析】根据正方形的性质求出点B(a，a)、B(a-b，-b)，将两点坐标代入中进行求解即可.
17．计算：
【答案】解：原式
=1
【知识点】负整数指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用负整数指数幂、二次根式、绝对值的性质，结合进行计算即可.
18．解不等式组：
【答案】解：
解不等式①，得x<3，
解不等式②，得x≤7，
∴不等式组的解集为x<3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解，再求公共解，即得答案.
19．下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰(禹王峰)的高度”之后撰写的项目报告.
项目主题 测量岳麓山主峰(禹王峰)的高度
项目背景 长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主峰(禹王峰)的精确高度是测绘工作的重要内容.
测量工具 测角仪
测量示意图
测量过程 1.在距离禹王峰一定距离的地面 C 处放置测角仪，测得禹王峰山顶 A的仰角为45°； 2.在与地面C 处水平距离为525 m的地面D处放置另一测角仪，测得禹王峰山顶A的仰角为53°.(C，B，D在同一水平直线上)
请根据表中的测量数据，计算禹王峰AB 的高度.(测角仪高度忽略不计，参考数据：
【答案】解：根据题意得，AB⊥CD
∴∠ABC=∠ABD=90°
设AB=xm，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，则 BC=AB= xm.
在Rt△ABD中，∵∠ABD=90°，∠ADB=53°，
∵CD=BC+BD=525m，
解得x=300，
∴AB=300m，
答：禹王峰AB的高度为300 m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设AB=xm，得到△ABC是等腰直角三角形，进而得到BC=AB=xm，在Rt△ABD中，，利用CD=BC+BD列方程求解即可.
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB 边上的中线，过点 D 作DE⊥CB于点E，过点 C 作CF∥AB 交DE 的延长线于点 F，连接FB.
（1）求证：四边形 ACFD 是平行四边形；
（2）若CD=5，BC=8，求 EF的长.
【答案】（1）证明：∵DE⊥CB，
∴∠DEB=∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
又∵CF∥AB，即CF∥AD，
∴四边形 ACFD是平行四边形
（2）解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴AB=2CD=10，BD=CD=5，
∵BC=8，
∵四边形ACFD是平行四边形，
∴DF=AC=6，
∵DE∥AC，
∴
∵BD=AD，
∴BE=CE
∴点E是BC的中点
∴DE是△ABC的中位线，
∴EF=DF-DE=3.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据垂线的性质得到∠DEB=∠ACB，进而得到DE//AC，从而得出结论；
(2)根据直角三角形斜边中线的性质得到AB=2CD、BD=CD，利用勾股定理求出AC，根据平行四边形的性质得到DF=AC，根据DE//AC得到，即BE=CE，进而得到DE是△ABC的中位线，最后利用EF=DE-DE进行求解即可.
21．为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长t(单位：小时)的情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生
（2）若该市有102 000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“3≤t<4”范围内的人数.
（3）每周课外阅读时长恰好在“2≤t<3”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.
【答案】（1）解：由题意得：100÷20%=500(名)，
答：在这次调查活动中，一共抽取了500名九年级学生
（2）解：条形统计图中，D类的人数为：500-50-100-160-40=150(名)，
则估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“3≤t<4”范围内的九年级学生共有 (名)，
答：估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“3≤t<4”范围内的九年级学生共有30 600名
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)利用B类的人数除以所占百分比得到样本总量；
(2)利用“样本估计总体”进行计算即可；
(3)根据题意画出树状图，得到所有等可能的结果数，再找出符合题意的结果数，利用概率公式求解即可.
22．随着新能源汽车的日益崛起，公共领域充电基础设施正不断建设中.某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等.
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用
【答案】（1）解：设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是(x+0.4)万元
由题意得
解得x=0.8，
经检验，x=0.8是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.4=0.8+0.4=1.2，
答：甲型充电桩的单价是1.2万元，乙型充电桩的单价是0.8万元
（2）解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(30-m)个，
由题意得30-m≤2m，
解得m≥10，
设所需总费用为ω万元，
由题意得ω=1.2m+0.8×(30-m)=0.4m+24，
∵0.4>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，ω=10×0.4+24=28，
∴w的最小值为28万元，
此时，30-m=30-10=20，
答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少总费用为28万元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电的单价是(x+0.4)万元，根据用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(30-m)个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥10，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论.
23．如图，PE为⊙O的切线，PO交⊙O于点D，以点 P为圆心，PD的长为半径画弧，交PE于点G.
（1）如图1，若 求证：PG=GE；
（2）如图2，若⊙O半径r=1，DP=OD，求阴影部分面积.
【答案】（1）证明：连接OE，
∵PE为⊙O的切线，E为切点，
∴PE⊥OE.
∵在Rt△POE中，
设⊙O的半径OE=3x，则OP=5x，
在Rt△POE中，由勾股定理得
由题意可知PG=PD=OP-OD=2x，
则GE=PE-PG=2x，
∴PG=GE
（2）解：在⊙O中，OD=OE，
又∵DP=OD，
又∵△POE是直角三角形，
∴∠P=30°，∠POE=60°，
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)连接OE，根据切线的性质得到PE⊥OE，根据，设⊙O的半径OE=3x，则OP=5x，利用勾股定理求出PE长，进而求出PG、GE长，从而得出结论；
(2)根据题意得到，进而求出∠P的度数，在Rt△POE中，，利用扇形面积公式求出S扇形DPG、S扇形DOE，利用S阴影=S△POE-S扇形DPG-SS扇形DOE求解即可.
24．如图1，已知矩形OABC，以OA为直径作圆M，N在圆上运动(N不与点O，A重合)，连接NO，NA，NB，NC，其中OA=6，AB=4.
（1）当 的面积最小时，求BN的长；
（2）如图2，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点 N横坐标为n.
①当线段 BN 与圆M 相切时，求点 N 的坐标；
②将 的面积分别记为 令 ，在点 N 运动过程中，对任意满足条件的实数y都满足 恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）解：过点N作NE⊥BC于点E，连接MN，
∵，
∴当NE最小时，S△NBC的值最小，
当N在线段ME上时，NE最小，如图，
∵四边形OABC为矩形，
∴∠OAB=∠ABC=90°，
∵MF⊥BC，
∴∠MFB=90°，
∴四边形ABFM为矩形，
∴MF=AB=4，BF=AM=3，
∵OA=6，
∴，
∴NF=MF-MN=4-3=1，
在Rt△BNF中，
（2）解：①连接MN，BM，过点 N作ND⊥OA交于点D.
∴∠NDO=∠NDA=90°，∠NOD+∠OND=90°，
∵AO是圆M的直径，
∴∠ONA=90°，即∠OND+∠DNA=90°，
∴∠NOD=∠DNA，
∴△OND∽△NAD，
∵线段 BN，BA分别与圆M相切于点N，A，
∴BN=AB=4，
∵MA=MN，
∴BM垂直平分AN，
∴BM∥ON，∴∠BMA=∠DON=∠DNA，
∵∠NDA=∠BAM=90°，
∴△AND∽△BMA，
即
又∵
整理得
解得 或n=6(舍)，
∴点N坐标为
②如图，过点 N作NP⊥OC，NQ⊥AB，垂足分别为点 P，Q，
则 NP=n，NQ=6-n，
∴当n=3时，
∵对任意满足条件的实数y都满足 恒成立，
∴t<-13
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据△NBC的面积得到，当NE最小时，S△NBC的值最小，利用“圆上一点到直线BC的距离最小”得到，当N在线段ME上时，NE最小，根据矩形的性质证明四边形ABFM为矩形，进而求出BF、NF的长，最后利用勾股定理求解即可；
(2)①连接MN，BM，过点N作ND⊥OA交于点D，根据圆周角定理得到∠ONA=90°，易证得△OND∽△NAD，进而得到DN2=OD·AD，根据切线的性质得到BM垂直平分AN，证明△AND∽△BMA，进而得到，据此列出等式，求出n的值，进而得到点N的坐标；
②过点N作NP⊥OC，NQ⊥AB，垂足分别为点P，Q，则NP=n，NQ=6-n，用含n的代数式表示出各个三角形的面积，进而得到y关于n的表达式，利用二次函数的性质求出y的最大值，从而解决不等式恒成立问题.
25．定义：将函数图象 C1上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的k倍(k为常数，k≠0，1)，得到新的函数图象C2，则称C2为C1 的“k倍函数”.例如：对于 ，求它的“3倍函数”C2 的解析式.求法：设C2上的任意一点 P(x，y)，则变换之前的点 在 C1 的图象上，则 即y=2x+12，所以C2的解析式为y=2x+12.
（1）判断下列说法是否正确 对的打“√”，错的打“×”；
的“3倍函数”是C2：y=3x；(　　)
是 的“2倍函数”；(　　)
③若 是 的“k倍函数”，则 (　　)
（2）如图1，若t≠0，且二次函数 的顶点为A，与y轴的交点为点 B，二次函数 的“-1倍函数”的顶点为C，与y轴的交点为点 D.连接AB，BC，CD，DA.当四边形 ABCD为矩形时，求此矩形的面积；
（3）如图2，抛物线 的顶点为M，与x轴的正半轴交于点N，C1 的“k倍函数”记作 C2，C2的顶点为 Q，点 P 是C2上一点，若 ，且∠MQP=90°，当|k|>1时，求实数k的值.
【答案】（1）解：①×；②√；③×
（2）解：二次函数y=x2-4x+t=(x-2)2+(t-4)的顶点为A，与y轴的交点为点B.
∴A(2，t-4)，
当x=0时，得：y=t，
∴B(0，t)，
设y=x2-4x+1的“-1倍函数”上点为(x，y)，则(-x，-y)在原函数上，代入得：y=(-x)2-4(-x)+1
整理得：y=-x2-4x-1=-(x+2)2+3
∴C(-2，3)、D(0，-1)，
∴AC2=(2+2)2+(t-4-3)2=16+(t-7)2，BD2=(t+1)2
∵四边形ABCD为矩形
∴AC=BD
∴16+(t-7)2=(t+1)2
解得：t=4，
∴A(2，0)、B(0，4).
∴BD=|4-(-1)|=5，点A、C到y轴距离均为2
∴
（3）解：(i)如图，当k>1时，
由题意知，抛物线
∴顶点
当y=0时，得：，
解得：x=2
∴N(2，0)，
∴，ON=|2|=2，
∴OM=ON=MN
∴△OMN是等边三角形
∴∠ONM=60°
∵C2是C1的“k倍函数"
∴设C2上的点(x，y)，则在C1上，代入得：
，
整理得：
∴顶点，
∴，
过点P作PG⊥x轴交于点G，过点N作NE⊥MO交于点E，
∵∠MOP=90°
∴PQ//NE
∵S△PQM=S△MNQ，
∴
∴PQ=NE
∴四边形NPQE是平行四边形
∵∠MOP=90°
∴平行四边形NPQE是矩形，
∴EQ=NP，∠ENP=0°
∴∠ONE+∠PNG=90°
∵PG⊥x轴
∴∠PGN=90°
∴∠PNG+∠NPG=90°
∴∠ONE=∠NPG
在等边△OMN中，NE⊥MO
∴，，
∴EQ=OQ-OE=2k-1
∴PN=EQ=2k-1，∠NPG=∠ONE=30°
在Rt△PGN中，∠NPG=30°，
∴，
∴
∴，
将点P坐标代入C2表达式得：
解得
(ii)如图，当k<-1时，
∵抛物线 经过原点O， (2k，0)三点，
∴抛物线C2的解析式为
由题可知，O，M，Q三点共线，且顶点Q为(
作 关于y轴对称的 交于点E'，
同(i)可证四边形PQOE'是矩形、△OM'N'是边长为2的等边三角形，
∴PE'=OQ=-2k，N'E'=1，PN'=-2k-1
在Rt△PN'H中，∠PHN'=90，∠PN'H=∠M'N'O=60°，
∴∠HPN'=30°
∴，，
∴
∴点P坐标，
将点P坐标代入C2表达式得：
综上所述，
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：(1)①设C2上的任意一点P(x，y)，则变换之前的点在C1的图象上
∴，
整理得：y=x，
∴C2的解析式为y=x≠3x，
故①说法错误；
②设C1上的任意一点为P(x，y)，则变换之前的点在C2的图象上，
则，
整理得：
故②说法正确；
③∵C1为C2的“k倍函数”
∴
整理得：
∴，即，
故③说法错误；
故答案为：×；×；√.
【分析】(1)利用“k倍函数”的定义逐一计算判断即可；
(2)先求出y=x2-4x+1的“-1倍函数”，得到点A、B、C、D的坐标，根据矩形的性质得到AC=BD，据此列出方程，求出t的值，再利用S矩形ABCD=S△ABD+S△BCD求解即可；
(3)分情况讨论：当k>1或k<-1时，先求出点M、N坐标，进而得到△OMN是等边三角形，根据“k倍函数”的定义求出C2的表达式，进而得到点G的坐标，过点P作PG⊥x轴交于点G，过点N作NE⊥MO交于点E，证得四边形NPQE是矩形进而得到EQ=PN，在Rt△PHN中，、PG=PN·cos30°，进而求出点P坐标，利用点P在C2上，求出k的值.
1 / 1湖南长沙市师大附中芙蓉中学等校2025-2026学年九年级下学期期中测试数学
1．把下列字母看作图形，是轴对称图形的是
A． B． C． D．
2． 2026年1月 30日，长沙市统计局公布了2025年长沙经济运行情况.经初步核算，2025年，长沙市实现地区生产总值约为15 738亿元，同比增长4.0%.将15 738用科学记数法表示为
A． B．0.15738×105
C． D．1.5738×104
3．下列计算正确的是
A． B． C． D．
4．长沙非物质文化遗产馆中有许多榫卯结构的作品，展现了古代匠人的精湛技艺.燕尾榫是“万榫之母”，榫头呈梯形，形似燕尾.如图是燕尾榫正面的榫头部分，它的主视图是
A． B．
C． D．
5．如图，∠AOD=120°，CO⊥AO，OB是∠AOC的角平分线，则∠BOD的大小为
A．60° B．65° C．75° D．85°
6．如图，在⊙O中，⊙O的半径长为4 ，圆心O到AB 的距离OE=4，则弦AB的长为
A．8 B． C．4 D．
7．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（　　）
A．36 B．9或 C． D．9
8．湖南花鼓戏是一种汉族戏曲剧种，因其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴，深受大众喜爱.正面印有花鼓戏人物的两张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这两张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率是
A． B． C． D．
9．已知一个圆锥的底面半径为5，母线长为10，则该圆锥的侧面积为
A．25π B．50π C．100π D．125π
10．《九章算术》方程篇记载道：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之 ”意思是，走路快的人走100步的时候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人 设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，则下面所列方程正确的是
A． B．
C． D．
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　.
12．分解因式：m2-4n2=　 　。
13．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的角∠1=72°，则光线与纸板左上方所成的角∠2的度数是　 　.
14．如图是可回收垃圾的标志，其形状为等边三角形，将这个图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则旋转的角度至少为　 　.
15．如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=12，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形 EFGH 的周长是　 　.
16．如图，正方形OABC的边长为a，顶点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，正方形CDEF的边长为b，顶点 F在x轴的负半轴上，若双曲线y 恰好同时经过点 B和点E，则的值是　 　.
17．计算：
18．解不等式组：
19．下面为某中学数学兴趣小组在完成项目“测量岳麓山主峰(禹王峰)的高度”之后撰写的项目报告.
项目主题 测量岳麓山主峰(禹王峰)的高度
项目背景 长沙“山水洲城”申遗工作正在持续推进中，岳麓山作为核心景观，其主峰(禹王峰)的精确高度是测绘工作的重要内容.
测量工具 测角仪
测量示意图
测量过程 1.在距离禹王峰一定距离的地面 C 处放置测角仪，测得禹王峰山顶 A的仰角为45°； 2.在与地面C 处水平距离为525 m的地面D处放置另一测角仪，测得禹王峰山顶A的仰角为53°.(C，B，D在同一水平直线上)
请根据表中的测量数据，计算禹王峰AB 的高度.(测角仪高度忽略不计，参考数据：
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB 边上的中线，过点 D 作DE⊥CB于点E，过点 C 作CF∥AB 交DE 的延长线于点 F，连接FB.
（1）求证：四边形 ACFD 是平行四边形；
（2）若CD=5，BC=8，求 EF的长.
21．为了了解某市九年级学生每周课外阅读时长t(单位：小时)的情况，随机抽取了部分九年级学生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1）在这次调查活动中，一共抽取了多少名九年级学生
（2）若该市有102 000名九年级学生，请你估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“3≤t<4”范围内的人数.
（3）每周课外阅读时长恰好在“2≤t<3”范围内的九年级学生中有甲、乙、丙、丁4人表现特别突出，现从4人中随机选出2人分享在线学习心得，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.
22．随着新能源汽车的日益崛起，公共领域充电基础设施正不断建设中.某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩.已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多0.4万元，用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等.
（1）甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少
（2）该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，求购买这批充电桩所需的最少总费用
23．如图，PE为⊙O的切线，PO交⊙O于点D，以点 P为圆心，PD的长为半径画弧，交PE于点G.
（1）如图1，若 求证：PG=GE；
（2）如图2，若⊙O半径r=1，DP=OD，求阴影部分面积.
24．如图1，已知矩形OABC，以OA为直径作圆M，N在圆上运动(N不与点O，A重合)，连接NO，NA，NB，NC，其中OA=6，AB=4.
（1）当 的面积最小时，求BN的长；
（2）如图2，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点 N横坐标为n.
①当线段 BN 与圆M 相切时，求点 N 的坐标；
②将 的面积分别记为 令 ，在点 N 运动过程中，对任意满足条件的实数y都满足 恒成立，求实数t的取值范围.
25．定义：将函数图象 C1上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的k倍(k为常数，k≠0，1)，得到新的函数图象C2，则称C2为C1 的“k倍函数”.例如：对于 ，求它的“3倍函数”C2 的解析式.求法：设C2上的任意一点 P(x，y)，则变换之前的点 在 C1 的图象上，则 即y=2x+12，所以C2的解析式为y=2x+12.
（1）判断下列说法是否正确 对的打“√”，错的打“×”；
的“3倍函数”是C2：y=3x；(　　)
是 的“2倍函数”；(　　)
③若 是 的“k倍函数”，则 (　　)
（2）如图1，若t≠0，且二次函数 的顶点为A，与y轴的交点为点 B，二次函数 的“-1倍函数”的顶点为C，与y轴的交点为点 D.连接AB，BC，CD，DA.当四边形 ABCD为矩形时，求此矩形的面积；
（3）如图2，抛物线 的顶点为M，与x轴的正半轴交于点N，C1 的“k倍函数”记作 C2，C2的顶点为 Q，点 P 是C2上一点，若 ，且∠MQP=90°，当|k|>1时，求实数k的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A的字母S：找不到一条直线，使得沿该直线折叠后两旁部分完全重合，不是轴对称图形；
选项B的字母D：沿竖直方向过图形中心的直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，属于轴对称图形；
选项C的字母F：不存在能让图形沿其折叠后两旁部分重合的直线，不是轴对称图形；
选项D的字母Z：找不到符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
故答案为：B .
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：15738用科学记数法表示为1.5738×104，
故答案为：D.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：解：A、a3×a2=a3+2=a5≠a6，原计算错误，不符合题意；
B、a3+a3=2a3≠a6，原计算错误，不符合题意；
C、a3÷a=a3-1=a2，正确，符合题意；
D、(a2)3=a2×3=a6≠a5，原计算错误，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂运算、幂的乘方运算法则、合并同类项运算法则，逐项判断即可.
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可得，该图形的主视图为：
故答案为：A .
【分析】根据主视图是从正面看得到的图形即可得出结果.
5．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵CO⊥AO
∴∠AOC =90°
∵OB平分∠AOC
∴
∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=120°-45°=75°
故答案为：C .
【分析】根据垂直的定义可得∠AOC=90°，根据角平分线的定义可得，再根据角的加减运算即可求解.
6．【答案】A
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵OA是⊙O的半径，OE⊥AB，
∴、∠OEA=90°，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：，
∴AB=2AE=2×4=8.
故答案为：A .
【分析】利用垂径定理得到，根据勾股定理求出AE长，进而求出AB长.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得．
故选：D．
【分析】本题以一元二次方程根的判别式为背景，考查了判别式在判定方程根的情况中的应用。根据方程有两个相等的实数根，令判别式 = b2 - 4ac = 0，列方程求出m的值。
8．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将这两张卡片分别记为A，B，列表如下：
　 A B
A A，A A，B
B B，A BB
共有4种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有2种，
∴两次抽取的卡片正面相同的概率为
故答案为：C .
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽取的卡片正面相同的结果数，再利用概率公式可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥底面半径r=5，
∴圆锥底面周长C=2πr=2×π×5=10π，
设圆锥母线长为，由题得l=10，
根据圆锥侧面积公式，
∴该圆锥侧面积为50π.
故答案为：B.
【分析】先根据底面半径求出圆锥底面周长，再利用圆锥侧面积公式计算即可得到结果.
10．【答案】B
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得：
故答案为：B.
【分析】根据走路慢的人走(x-100)步和走路快的人走x步所用时间相同列一元一次方程即可.
11．【答案】x≥2026
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义
∴x-2026≥0
解得：x≥2026
故答案为：x≥2026.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零得到不等式，即可求解.
12．【答案】(m+2n)(m-2n)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： m2-4n2=(m+2n)(m-2n).
故答案为：(m+2n)(m-2n)
【分析】观察此多项式的特点：两项都能写成平方形式，两项的符号相反，因此可以利用平方差公式分解因式。
13．【答案】72°
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图，
∴BC//AD，AB//DC
∴四边形ABCD是平行四边形
∴∠2=∠1=72°
故答案为：72°.
【分析】首先可证得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求得.
14．【答案】120°
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：∵360°÷3=120°
∴旋转的角度是120°的整数倍
∴旋转的角度至少是120°
故答案为：120°.
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解.
15．【答案】20
【知识点】三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，AC=8，BD=12，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH、FG、EF、HG分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ADC的中位线，
∴，，
∴四边形EFGH的周长为：(EH+FG)+(EF+HG)=6+6+4+4=20
故答案为：20 .
【分析】由题意可得EH、FG、EF、HG分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ADC的中位线，则有，，然后通过周长公式即可求解.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设DE与y轴的交点为点G，
∵四边形OABC是正方形
∴AB=BC=a，
∴B(a，a)
∵四边形CDEF是正方形
∴DE=EF=b，OG=b
∴EG=DE-DG=b-a
∵顶点F在x轴的负半轴上
∴E的横坐标为a-b
∴E(a-b，-b)
将B(a，a)、E(a-b，-b)代入得：
整理得：，
解得：或
∵a、b是正数，
∴
故答案为： .
【分析】根据正方形的性质求出点B(a，a)、B(a-b，-b)，将两点坐标代入中进行求解即可.
17．【答案】解：原式
=1
【知识点】负整数指数幂；二次根式的化简求值；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用负整数指数幂、二次根式、绝对值的性质，结合进行计算即可.
18．【答案】解：
解不等式①，得x<3，
解不等式②，得x≤7，
∴不等式组的解集为x<3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解，再求公共解，即得答案.
19．【答案】解：根据题意得，AB⊥CD
∴∠ABC=∠ABD=90°
设AB=xm，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=45°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，则 BC=AB= xm.
在Rt△ABD中，∵∠ABD=90°，∠ADB=53°，
∵CD=BC+BD=525m，
解得x=300，
∴AB=300m，
答：禹王峰AB的高度为300 m
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设AB=xm，得到△ABC是等腰直角三角形，进而得到BC=AB=xm，在Rt△ABD中，，利用CD=BC+BD列方程求解即可.
20．【答案】（1）证明：∵DE⊥CB，
∴∠DEB=∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
又∵CF∥AB，即CF∥AD，
∴四边形 ACFD是平行四边形
（2）解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，
∴AB=2CD=10，BD=CD=5，
∵BC=8，
∵四边形ACFD是平行四边形，
∴DF=AC=6，
∵DE∥AC，
∴
∵BD=AD，
∴BE=CE
∴点E是BC的中点
∴DE是△ABC的中位线，
∴EF=DF-DE=3.
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)根据垂线的性质得到∠DEB=∠ACB，进而得到DE//AC，从而得出结论；
(2)根据直角三角形斜边中线的性质得到AB=2CD、BD=CD，利用勾股定理求出AC，根据平行四边形的性质得到DF=AC，根据DE//AC得到，即BE=CE，进而得到DE是△ABC的中位线，最后利用EF=DE-DE进行求解即可.
21．【答案】（1）解：由题意得：100÷20%=500(名)，
答：在这次调查活动中，一共抽取了500名九年级学生
（2）解：条形统计图中，D类的人数为：500-50-100-160-40=150(名)，
则估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“3≤t<4”范围内的九年级学生共有 (名)，
答：估计该市九年级学生每周课外阅读时长在“3≤t<4”范围内的九年级学生共有30 600名
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙的结果有2种，
∴恰好选中甲和乙的概率为
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)利用B类的人数除以所占百分比得到样本总量；
(2)利用“样本估计总体”进行计算即可；
(3)根据题意画出树状图，得到所有等可能的结果数，再找出符合题意的结果数，利用概率公式求解即可.
22．【答案】（1）解：设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电桩的单价是(x+0.4)万元
由题意得
解得x=0.8，
经检验，x=0.8是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.4=0.8+0.4=1.2，
答：甲型充电桩的单价是1.2万元，乙型充电桩的单价是0.8万元
（2）解：设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(30-m)个，
由题意得30-m≤2m，
解得m≥10，
设所需总费用为ω万元，
由题意得ω=1.2m+0.8×(30-m)=0.4m+24，
∵0.4>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=10时，ω=10×0.4+24=28，
∴w的最小值为28万元，
此时，30-m=30-10=20，
答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需最少总费用为28万元
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设乙型充电桩的单价是x万元，则甲型充电的单价是(x+0.4)万元，根据用24万元购买甲型充电桩与用16万元购买乙型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
(2)设购买甲型充电桩的数量为m个，则购买乙型充电桩的数量为(30-m)个，根据乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，列出一元一次不等式，解得m≥10，再设所需费用为w万元，求出w与m的函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得出结论.
23．【答案】（1）证明：连接OE，
∵PE为⊙O的切线，E为切点，
∴PE⊥OE.
∵在Rt△POE中，
设⊙O的半径OE=3x，则OP=5x，
在Rt△POE中，由勾股定理得
由题意可知PG=PD=OP-OD=2x，
则GE=PE-PG=2x，
∴PG=GE
（2）解：在⊙O中，OD=OE，
又∵DP=OD，
又∵△POE是直角三角形，
∴∠P=30°，∠POE=60°，
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】(1)连接OE，根据切线的性质得到PE⊥OE，根据，设⊙O的半径OE=3x，则OP=5x，利用勾股定理求出PE长，进而求出PG、GE长，从而得出结论；
(2)根据题意得到，进而求出∠P的度数，在Rt△POE中，，利用扇形面积公式求出S扇形DPG、S扇形DOE，利用S阴影=S△POE-S扇形DPG-SS扇形DOE求解即可.
24．【答案】（1）解：过点N作NE⊥BC于点E，连接MN，
∵，
∴当NE最小时，S△NBC的值最小，
当N在线段ME上时，NE最小，如图，
∵四边形OABC为矩形，
∴∠OAB=∠ABC=90°，
∵MF⊥BC，
∴∠MFB=90°，
∴四边形ABFM为矩形，
∴MF=AB=4，BF=AM=3，
∵OA=6，
∴，
∴NF=MF-MN=4-3=1，
在Rt△BNF中，
（2）解：①连接MN，BM，过点 N作ND⊥OA交于点D.
∴∠NDO=∠NDA=90°，∠NOD+∠OND=90°，
∵AO是圆M的直径，
∴∠ONA=90°，即∠OND+∠DNA=90°，
∴∠NOD=∠DNA，
∴△OND∽△NAD，
∵线段 BN，BA分别与圆M相切于点N，A，
∴BN=AB=4，
∵MA=MN，
∴BM垂直平分AN，
∴BM∥ON，∴∠BMA=∠DON=∠DNA，
∵∠NDA=∠BAM=90°，
∴△AND∽△BMA，
即
又∵
整理得
解得 或n=6(舍)，
∴点N坐标为
②如图，过点 N作NP⊥OC，NQ⊥AB，垂足分别为点 P，Q，
则 NP=n，NQ=6-n，
∴当n=3时，
∵对任意满足条件的实数y都满足 恒成立，
∴t<-13
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据△NBC的面积得到，当NE最小时，S△NBC的值最小，利用“圆上一点到直线BC的距离最小”得到，当N在线段ME上时，NE最小，根据矩形的性质证明四边形ABFM为矩形，进而求出BF、NF的长，最后利用勾股定理求解即可；
(2)①连接MN，BM，过点N作ND⊥OA交于点D，根据圆周角定理得到∠ONA=90°，易证得△OND∽△NAD，进而得到DN2=OD·AD，根据切线的性质得到BM垂直平分AN，证明△AND∽△BMA，进而得到，据此列出等式，求出n的值，进而得到点N的坐标；
②过点N作NP⊥OC，NQ⊥AB，垂足分别为点P，Q，则NP=n，NQ=6-n，用含n的代数式表示出各个三角形的面积，进而得到y关于n的表达式，利用二次函数的性质求出y的最大值，从而解决不等式恒成立问题.
25．【答案】（1）解：①×；②√；③×
（2）解：二次函数y=x2-4x+t=(x-2)2+(t-4)的顶点为A，与y轴的交点为点B.
∴A(2，t-4)，
当x=0时，得：y=t，
∴B(0，t)，
设y=x2-4x+1的“-1倍函数”上点为(x，y)，则(-x，-y)在原函数上，代入得：y=(-x)2-4(-x)+1
整理得：y=-x2-4x-1=-(x+2)2+3
∴C(-2，3)、D(0，-1)，
∴AC2=(2+2)2+(t-4-3)2=16+(t-7)2，BD2=(t+1)2
∵四边形ABCD为矩形
∴AC=BD
∴16+(t-7)2=(t+1)2
解得：t=4，
∴A(2，0)、B(0，4).
∴BD=|4-(-1)|=5，点A、C到y轴距离均为2
∴
（3）解：(i)如图，当k>1时，
由题意知，抛物线
∴顶点
当y=0时，得：，
解得：x=2
∴N(2，0)，
∴，ON=|2|=2，
∴OM=ON=MN
∴△OMN是等边三角形
∴∠ONM=60°
∵C2是C1的“k倍函数"
∴设C2上的点(x，y)，则在C1上，代入得：
，
整理得：
∴顶点，
∴，
过点P作PG⊥x轴交于点G，过点N作NE⊥MO交于点E，
∵∠MOP=90°
∴PQ//NE
∵S△PQM=S△MNQ，
∴
∴PQ=NE
∴四边形NPQE是平行四边形
∵∠MOP=90°
∴平行四边形NPQE是矩形，
∴EQ=NP，∠ENP=0°
∴∠ONE+∠PNG=90°
∵PG⊥x轴
∴∠PGN=90°
∴∠PNG+∠NPG=90°
∴∠ONE=∠NPG
在等边△OMN中，NE⊥MO
∴，，
∴EQ=OQ-OE=2k-1
∴PN=EQ=2k-1，∠NPG=∠ONE=30°
在Rt△PGN中，∠NPG=30°，
∴，
∴
∴，
将点P坐标代入C2表达式得：
解得
(ii)如图，当k<-1时，
∵抛物线 经过原点O， (2k，0)三点，
∴抛物线C2的解析式为
由题可知，O，M，Q三点共线，且顶点Q为(
作 关于y轴对称的 交于点E'，
同(i)可证四边形PQOE'是矩形、△OM'N'是边长为2的等边三角形，
∴PE'=OQ=-2k，N'E'=1，PN'=-2k-1
在Rt△PN'H中，∠PHN'=90，∠PN'H=∠M'N'O=60°，
∴∠HPN'=30°
∴，，
∴
∴点P坐标，
将点P坐标代入C2表达式得：
综上所述，
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：(1)①设C2上的任意一点P(x，y)，则变换之前的点在C1的图象上
∴，
整理得：y=x，
∴C2的解析式为y=x≠3x，
故①说法错误；
②设C1上的任意一点为P(x，y)，则变换之前的点在C2的图象上，
则，
整理得：
故②说法正确；
③∵C1为C2的“k倍函数”
∴
整理得：
∴，即，
故③说法错误；
故答案为：×；×；√.
【分析】(1)利用“k倍函数”的定义逐一计算判断即可；
(2)先求出y=x2-4x+1的“-1倍函数”，得到点A、B、C、D的坐标，根据矩形的性质得到AC=BD，据此列出方程，求出t的值，再利用S矩形ABCD=S△ABD+S△BCD求解即可；
(3)分情况讨论：当k>1或k<-1时，先求出点M、N坐标，进而得到△OMN是等边三角形，根据“k倍函数”的定义求出C2的表达式，进而得到点G的坐标，过点P作PG⊥x轴交于点G，过点N作NE⊥MO交于点E，证得四边形NPQE是矩形进而得到EQ=PN，在Rt△PHN中，、PG=PN·cos30°，进而求出点P坐标，利用点P在C2上，求出k的值.
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