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3.1.2函数的表示法 学习案
一、基础梳理
【1】．函数的表示方法
______：用代数式表达y与x关系，优点：便于计算、研究性质；
______：平面直角坐标系中曲线 / 折线，优点：直观看出增减、最值；
______：表格罗列x、y对应值，优点：直接读取对应数值.
【2】函数的解析式：请在下列括号中填写对应求函数解析式的方法名称.
______：已知函数类型（一次、二次、反比例等）设通用解析式，代入点求系数；
______：已知求，令，反解x代入，化简得，替换为；
______：对代数式变形，配凑出整体，直接写出；
______：含与等式，联立方程消元求解.
【3】作函数图像最基本的方法是_____________；其步骤是_____________、_____________、_____________.
【4】函数的分段表示法
在用解析法表示函数时，有一些函数在不同的区间上可以有不同的表达式，例如函数就是通过来定义的.这样表示函数的方法叫做________.
注：用分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的_____；各段函数的定义域的交集是______．
【5】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）任何一个函数都可以用列表法表示.( )
（2）任何一个函数都可以用图象法表示.( )
（3）函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线.( )
（4）函数f(x)＝2x＋1可以用列表法表示.( )
（5）分段函数由几个函数构成.( )
（6）函数f(x)＝是分段函数.( )
（7）分段函数的图象不一定是连续的.( )
（8）y＝|x－1|与y＝是同一函数.( )
答案：【1】 解析法 图象法 列表法
【2】 待定系数法 换元法 配凑法 方程组法
【3】 描点法 列表 描点 连线
【4】 分段表示法 并集 空集
【5】（1）如果函数的定义域是连续的数集，则该函数就不能用列表法表示,故错误；
（2）有些函数的是不能画出图象的，如f(x)＝，故错误
（3）如f(x)＝的图象就不是连续的曲线，故错误；
（4）该函数是连续的，则该函数就不能用列表法表示，故错误.
（5）分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数，故错误.
（6）对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数，故正确；
（7）定义域不连续，图像不连续，故正确；
（8）定义域和对应关系相同，故正确.
故答案为：①×②×③×④×⑤×⑥√⑦√⑧√
考点归纳
①已知函数类型求解析式；②换元法或配凑法求函数解析式；③方程组法求函数解析式；④列表法表示函数；⑤图象法表示函数；⑥分段函数问题；⑦实际问题中的函数.
巩固训练
一、单选题
1．若函数的解析式满足下表，则（ ）
0 1 2 3
-3 3 1 2
A．-3 B．1 C．2 D．3
2．小宇周日去电影院看电影，从家出发匀速步行一段路后发现快迟到了，就匀速跑步前进，看完电影后匀速步行回家，下面图象由与上述事件吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设函数则（　　 ）
A．—2 B． C． D．
6．已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象如图所示，则的函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，若，求实数的值（ ）
A．0 B．-2 C．2 D．1
10．已知函数满足，则（ ）
A． B．的值域为
C．的定义域为 D．
11．函数称为狄利克雷函数，关于的下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．的定义域为
C．，
D．任意的，则有恒成立
三、填空题
12．已知函数，则的解析式为______.
13．已知函数满足，则__________．
14．设函数，则________
四、解答题
15．如果规定表示不大于x的最大整数，试画出函数，的图象.
16．作出下列各函数的图象：
(1)；
(2).
17．求下列函数的解析式
(1)已知是二次函数，且满足．
(2)已知．
18．若一次函数满足，求的函数解析式.
19．已知函数，若，求实数的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B C B B D B C AC BCD BC
1．C
【分析】根据对应法则找到对应的值即可.
【详解】由表可知：，
故选：C.
2．B
【分析】把时间与离家的路程变化，与速度有关，所以根据速度的大小来判断直线的斜率.
【详解】从家出发先匀速步行，此时直线的上升幅度较小，中间匀速跑步前进，此时直线的上升幅度较之前步行的增大，后面看电影的时间表示离家的距离没有发生变化，故直线呈水平状态，最后匀速步行回家，此时直线下降，最后减至离家的距离为.
根据以上判断，只有B吻合，
故选：B.
3．C
【分析】利用换元法可求答案.
【详解】令，则，
即为，
所以.
故选：C.
4．B
【分析】将代入函数解析式计算得解.
【详解】将代入，
得到，解得.
故选：B.
5．B
【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以.
6．D
【分析】根据分段函数的值域为，结合分段函数性质，列出相应的不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意知当时，，
故要使函数的值域为，
需满足，解得，
故的取值范围是，
故选：D
7．B
【分析】根据函数的定义域可以排除CD，利用特殊点的函数值排除A，可确定正确选项.
【详解】由图可知，函数的定义域为，
C项的定义域为，不合题意；
D项的定义域为，不合题意；
对A选项，因为，不符合函数图象.
故选：B
8．C
【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项.
【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时，
此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项；
相遇时，快车已经行驶的路程为千米，
还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项；
特快车相遇时已经行驶的路程为千米，
只需要再行驶小时才能到达甲地，
所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项.
故选：C.
9．AC
【分析】分和两种情况求解即可.
【详解】因为，
当时，解得，符合题意；
当时，解得，又，所以.
综上所述或.
故选：AC.
10．BCD
【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案.
【详解】对于A，法一：依题意，，
则 ，故A错误；
法二：设，则，且，则，
所以则 ，故A错误；
对于B，当时，，当且仅当时取等号，
因此的值域为，故B正确；
对于C，在中，令，解得，
因此的定义域为，故C正确；
对于D，，因此，故D正确．
11．BC
【分析】本题考查分段函数中狄利克雷函数的定义域、值域、函数值等性质，根据选项依次判断即可.
【详解】因为函数，所以只有两个函数值，所以的值域为 ，选项A错误；
函数定义域为两段上得并集，即全体有理数集并上全体无理数集为全体实数，所以的定义域为，选项B正确；
，的值为0或1都是有理数，所以，选项C正确；
任意，则是无理数，所以，此时，选项D错误；
故选：BC
12．.
【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围.
【详解】因为函数，且，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可．
【详解】，
，
解方程组得．
故答案为：．
14．3
【分析】由分段函数解析式代入计算即可.
【详解】，
，
故答案为：3.
15．图象见解析
【分析】根据题意，分类讨论，求得函数的解析式，集合一次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由题意知，表示不大于x的最大整数，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得；
结合一次函数的图象与性质，可得函数，的图象，如图所示，
16．(1)作图见解析；
(2)作图见解析.
【分析】（1）（2）写出函数的分段形式，再结合一次函数、二次函数的性质画出函数图象.
【详解】（1）由，其函数图象如下，
（2）由，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，函数图象如下，
17．(1)
(2)
【分析】（1）设，由可求得的值，由可得出关于的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；
（2）设，代入化简可得函数的解析式；
【详解】（1）设，因为，所以，
因为，
又，所以，解得，
所以；
（2）令，则，，
代入有，
所以.
18．或
【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案.
【详解】由题意设，
则，
所以，
解得或，
所以的函数解析式为或.
19．.
【详解】由，得或或，
解得或或或，
所以实数的取值范围是试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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