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1.2　空间两点间的距离公式
一、基础巩固
1.已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则(　　)
A.|AB|>|CD| B.|AB|<|CD|
C.|AB|≤|CD| D.|AB|≥|CD|
2.已知三角形的三个顶点A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则△ABC的中线AD的长为(　　)
A. B.2
C.11 D.3
3.与A(3，4，5)，B(－2，3，0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是(　　)
A.10x＋2y＋10z－37＝0
B.5x－y＋5z－37＝0
C.10x－y＋10z＋37＝0
D.10x－2y＋10z＋37＝0
4.一束光线自点P(1，1，1)发出，被xOy平面反射，到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光线自点P到点Q所走的距离是(　　)
A. B.12
C. D.57
5.已知空间直角坐标系O－xyz中有一点A(－1，－1，2)，点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点的最短距离是(　　)
A. B.
C.3 D.
6.(多选)下列各点到坐标原点的距离不小于5，且到x轴的距离不小于3的有(　　)
A.(1，1，1) B.(1，2，2)
C.(2，－3，5) D.(3，0，4)
7.已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为　　　　.
8.已知三角形三个顶点为A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则过B点的中线长为　　　　.
9.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x＝　　　　.
10.已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|.
二、综合运用
11.(多选)空间直角坐标系中，若一点到三个坐标平面的距离都是1，则下列说法正确的是(　　)
A.该点到原点的距离是
B.该点到原点的距离是3
C.这样的点有4个
D.这样的点有8个
12.点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2，3，)，则|PA|的最小值是　　　　，|PA|的最大值是　　　　.
13.已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0(1)用a表示出|MN|的长;
(2)当a为何值时，|MN|的长最小.
三、拓展提高
14.在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，若|PA|＝|PB|＝|PC|＝a，求点P到平面ABC的距离.
提示:若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心坐标为
.
1.2　空间两点间的距离公式
一、基础巩固
1.已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则(　　)
A.|AB|>|CD| B.|AB|<|CD|
C.|AB|≤|CD| D.|AB|≥|CD|
答案　D
解析　因为|AB|＝
＝≥，
|CD|＝，所以|AB|≥|CD|，故选D.
2.已知三角形的三个顶点A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则△ABC的中线AD的长为(　　)
A. B.2
C.11 D.3
答案　B
解析　由中点坐标公式得，D(4，1，－2)，
所以|AD|＝＝2，故选B.
3.与A(3，4，5)，B(－2，3，0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是(　　)
A.10x＋2y＋10z－37＝0
B.5x－y＋5z－37＝0
C.10x－y＋10z＋37＝0
D.10x－2y＋10z＋37＝0
答案　A
解析　由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A.
4.一束光线自点P(1，1，1)发出，被xOy平面反射，到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光线自点P到点Q所走的距离是(　　)
A. B.12
C. D.57
答案　C
解析　由题意，点P(1，1，1)关于平面xOy的对称点为M(1，1，－1)，
则|QM|＝
＝.
5.已知空间直角坐标系O－xyz中有一点A(－1，－1，2)，点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点的最短距离是(　　)
A. B.
C.3 D.
答案　B
解析　因为点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，所以可设点B(m，1－m，0)，由空间两点间的距离公式，得|AB|＝
＝.
令t＝2m2－2m＋9＝2，
当m＝时，t的最小值为，
所以当m＝时，|AB|的最小值为
，
即A，B两点的最短距离是.
6.(多选)下列各点到坐标原点的距离不小于5，且到x轴的距离不小于3的有(　　)
A.(1，1，1) B.(1，2，2)
C.(2，－3，5) D.(3，0，4)
答案　CD
解析　由<5，
<5，>5，
＝5，
可得，到原点的距离不小于5的为C，D，
又>3，＝4>3，
故满足到x轴的距离大于3，故选CD.
7.已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为　　　　.
答案　(0，0，3)
解析　∵P在z轴上，可设P(0，0，z)，
由|PA|＝|PB|，
∴
＝，
解得z＝3.
8.已知三角形三个顶点为A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则过B点的中线长为　　　　.
答案　
解析　设AC的中点G，
∵三角形三个顶点为A(2，－1，4)，
B(3，2，－6)，C(5，0，2)，
∴G，
∴|BG|＝.
9.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，则x＝　　　　.
答案　2
解析　由距离公式
|AB|＝;
|AC|＝
＝;
|BC|＝
＝;
∵∠BAC＝90°，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，
∴(1－x)2＋2＝2＋(2－x)2＋1，
解得x＝2.
10.已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求|AB|取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的|AB|.
解　由空间两点的距离公式得|AB|＝
＝
＝
当x＝时，|AB|有最小值.
此时A，B.
二、综合运用
11.(多选)空间直角坐标系中，若一点到三个坐标平面的距离都是1，则下列说法正确的是(　　)
A.该点到原点的距离是
B.该点到原点的距离是3
C.这样的点有4个
D.这样的点有8个
答案　AD
解析　在空间直角坐标系中，到三个坐标平面的距离都是1的点的坐标为(±1，±1，±1)，这样的点有8个，这些点到坐标原点的距离是，故选AD.
12.点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2，3，)，则|PA|的最小值是　　　　，|PA|的最大值是　　　　.
答案　3　5
解析　因为x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，
|OA|＝＝4.
所以|PA|min＝|OA|－|OP|＝4－1＝3，
|PA|max＝|OA|＋|OP|＝4＋1＝5.
13.已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0(1)用a表示出|MN|的长;
(2)当a为何值时，|MN|的长最小.
解　∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD，
∴AB，BC，BE两两垂直.
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，
垂足分别为G，H，
连接NG，易证NG⊥AB.
∵|CM|＝|BN|＝a，
∴|CH|＝|MH|＝|BG|
＝|GN|＝a，
以B为原点，以BA，BE，BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，
则M，N.
(1)|MN|＝
＝.
(2)由(1)得，当a＝时，|MN|最小，最小为，这时M，N恰好为AC，BF的中点.
三、拓展提高
14.在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，若|PA|＝|PB|＝|PC|＝a，求点P到平面ABC的距离.
提示:若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心坐标为
.
解　根据题意，以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，a).
过P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离.
因为|PA|＝|PB|＝|PC|，
所以|HA|＝|HB|＝|HC|，
所以H为△ABC的外心.
又因为△ABC为正三角形，所以H为△ABC的重心，可得H点的坐标为，
所以|PH|＝a，
所以点P到平面ABC的距离为a.

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