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第一课时　空间向量的概念及线性运算
一、基础巩固
1.在空间中，下列结论正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P是线段D1B上一点，且|BP|＝2|D1P|，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A. B.
C. D.1
3.设空间中四点O，A，B，P满足＋t，其中0A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段BA的延长线上
D.点P不一定在直线AB上
4.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是(　　)
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
5.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
6.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E是棱BC的中点，且＝2，则＝(　　)
A.
B.－
C.－
D.
7.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝　　　　.
8.已知平行六面体ABCD－A'B'C'D'，化简下列表达式：
(1)＝　　　　；
(2)＝　　　　.
9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，，若＝x＋y()，则x＝　　　　，y＝　　　　.
10.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3).
二、综合运用
11.(多选)已知三棱锥O－ABC，E，F分别是OA，BC的中点，P为线段EF上一点，且|PF|＝2|EP|，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是 (　　)
A.b＋c
B.＝－a＋b＋c
C.＝－a＋b＋c
D.a＋b＋c
12.在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＝　　　 ，化简的结果为　　　　.
13.如图，在长方体ABCD－A'B'C'D'中，点M为DD'的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，点E为BM的中点，求证：A'，E，N三点共线.
三、拓展提高
14.如图，已知ABCD－A'B'C'D'是平行六面体，取AA'的中点E，在D'C'上取一点F，使|D'F|＝2|FC'|.
(1)化简：，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC'B'对角线BC'上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值.
第一课时　空间向量的概念及线性运算
一、基础巩固
1.在空间中，下列结论正确的是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　B
解析　根据空间向量的加减运算可得B正确，故选B.
2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，P是线段D1B上一点，且|BP|＝2|D1P|，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　)
A. B.
C. D.1
答案　B
解析　由题意得，
所以
＝()＝()＝，
又＝x＋y＋z不共面，所以x＝，y＝－，z＝，
所以x＋y＋z＝，故选B.
3.设空间中四点O，A，B，P满足＋t，其中0A.点P在线段AB上
B.点P在线段AB的延长线上
C.点P在线段BA的延长线上
D.点P不一定在直线AB上
答案　A
解析　＋t，即＝t，又有共同起点A，
所以04.设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且，则四边形ABCD是(　　)
A.平行四边形 B.空间四边形
C.等腰梯形 D.矩形
答案　A
解析　由于，所以，从而||＝||，且AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形，故选A.
5.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
答案　A
解析　因为＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以A，B，D三点共线.
6.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E是棱BC的中点，且＝2，则＝(　　)
A.
B.－
C.－
D.
答案　C
解析　因为E是棱BC的中点，
所以.
因为点F在棱PD上，且＝2，
所以，
所以
＝
＝－.
7.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝　　　　.
答案　2
解析　|a＋b＋c|＝||＝||＝2||＝2.
8.已知平行六面体ABCD－A'B'C'D'，化简下列表达式：
(1)＝　　　　；
(2)＝　　　　.
答案　　
解析　(1)在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，因为，
所以－()＝＋0－0＝；
(2)在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，因为，所以＝()＋＝0＋.
9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，，若＝x＋y()，则x＝　　　　，y＝　　　　.
答案　1　
解析　()，所以x＝1，y＝.
10.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)；
(2)；
(3).
解　(1).
(2)因为M是BB1的中点，
所以.
又，
所以.
(3).
向量如图所示.
二、综合运用
11.(多选)已知三棱锥O－ABC，E，F分别是OA，BC的中点，P为线段EF上一点，且|PF|＝2|EP|，设＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是 (　　)
A.b＋c
B.＝－a＋b＋c
C.＝－a＋b＋c
D.a＋b＋c
答案　ABD
解析　如图，因为F为BC的中点，所以b＋c，故选项A正确；
×＝－a＋b＋c，故选项B正确；
＝－2＝－2
＝a－b－c，故选项C错误；
a＋b＋c，故选项D正确.故选ABD.
12.在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＝　　　 ，化简的结果为　　　　.
答案　　0
解析　如图，延长DE交边BC于点F，
则DF为正三角形BCD的中线，E为中心，
所以，
，
，
故＝0.
13.如图，在长方体ABCD－A'B'C'D'中，点M为DD'的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，点E为BM的中点，求证：A'，E，N三点共线.
证明　()－.
()－
＝
＝，
所以，所以∥，
又A'为公共点，所以A'，E，N三点共线.
三、拓展提高
14.如图，已知ABCD－A'B'C'D'是平行六面体，取AA'的中点E，在D'C'上取一点F，使|D'F|＝2|FC'|.
(1)化简：，并在图中标出其结果；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC'B'对角线BC'上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值.
解　(1)如图，连接EF，
则
＝，向量如图所示.
(2)因为
＝()＋
()＝，
又＝α＋β＋γ，
所以α＝，β＝，γ＝.

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