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第二课时　空间向量的数量积
一、基础巩固
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
2.已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，＝，则空间向量a在向量e方向上的投影数量为(　　)
A.2 B.－2
C.－ D.
3.(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
4.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC的中点，则△AMD是(　　)
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.不确定
5.(多选)如图，在正四棱锥S－ABCD中，侧棱|SA|＝2，底面ABCD是边长为1的正方形，则(　　)
A.＝0
B.()·()＝0
C.＝0
D.··
6.(多选)设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，则下列结论正确的是(　　)
A.(a·b)c－(c·a)b＝0
B.|a|－|b|<|a－b|
C.(b·a)c－(c·a)b一定不与c垂直
D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
7.已知a，b是空间向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos＝　　　　.
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝　　　　.
9.已知|a|＝2，|b|＝10，＝120°，则向量b在向量a方向上的投影数量是　　　　，向量a在向量b方向上的投影数量是　　　　.
10.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
二、综合运用
11.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的是(　　)
A.()2＝3
B.·()＝0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为|··|
12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设|AD|＝|AA1|＝1，|AB|＝2，P是C1D1的中点，则与夹角的大小为　　　　，·＝　　　　
13.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求：
(1)的长；
(2)向量与夹角的余弦值.
三、拓展提高
14.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求证：CC1⊥BD；
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD 请给出证明.
第二课时　空间向量的数量积
一、基础巩固
1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　)
A.与
B.与
C.与
D.与
答案　AD
解析　由题图形可知的夹角为45°，同理的夹角为135°，的夹角为135°，的夹角为45°，故选AD.
2.已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，＝，则空间向量a在向量e方向上的投影数量为(　　)
A.2 B.－2
C.－ D.
答案　B
解析　由题意，|a|＝4，|e|＝1，＝，则空间向量a在向量e方向上的投影数量为＝4×＝－2.故选B.
3.(多选)已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
答案　BCD
解析　因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0；因为由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，又PB 平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0；同理·＝0.不一定垂直，故不一定有·＝0.所以选BCD.
4.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC的中点，则△AMD是(　　)
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.不确定
答案　C
解析　因为M是BC的中点，
所以()，
所以·()·
＝··＝0，
所以AM⊥AD，
所以△AMD是直角三角形，故选C.
5.(多选)如图，在正四棱锥S－ABCD中，侧棱|SA|＝2，底面ABCD是边长为1的正方形，则(　　)
A.＝0
B.()·()＝0
C.＝0
D.··
答案　BCD
解析　设AC与BD交于点O，
则＝2，
＝2，
故＝4≠0，故A错误；
()·()＝·＝0，所以B正确；
＝0，
所以C正确；
又因为底面ABCD是边长为1的正方形，
|SA|＝|SB|＝|SC|＝|SD|＝2，
所以·＝2×2×cos ∠ASB，
·＝2×2×cos ∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是··，因此D正确，故选BCD.
6.(多选)设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，则下列结论正确的是(　　)
A.(a·b)c－(c·a)b＝0
B.|a|－|b|<|a－b|
C.(b·a)c－(c·a)b一定不与c垂直
D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
答案　BD
解析　根据向量数量积的定义及性质，可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故(a·b)c与(c·a)b不一定相等，故A错误；因为[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b与c垂直，故C错误；易知BD正确，故选BD.
7.已知a，b是空间向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos＝　　　　.
答案　
解析　由|a－b|＝得(a－b)2＝7，
即a2－2a·b＋b2＝7，求得a·b＝，
故cos＝.
8.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝　　　　.
答案　a2
解析　如图，，
∴·＝()·()＝···＋||2＝0－0－0＋a2＝a2.
9.已知|a|＝2，|b|＝10，＝120°，则向量b在向量a方向上的投影数量是　　　　，向量a在向量b方向上的投影数量是　　　　.
答案　－5　－1
解析　根据向量投影数量的定义，向量b在向量a方向上的投影数量是
|b|cos＝10×cos 120°＝－5；
向量a在向量b方向上的投影数量是
|a|cos＝2×cos 120°＝－1.
10.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝1，|AD|＝2，|AA1|＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
解　因为，
所以＝()2
＝＋2(···).
因为∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
所以＝1＋4＋9＋2×(1×2·cos 90°＋1×3·cos 60°＋2×3·cos 60°)＝23.
因为＝||2，
所以||2＝23，
则||＝，即|AC1|＝.
二、综合运用
11.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题正确的是(　　)
A.()2＝3
B.·()＝0
C.与的夹角为60°
D.正方体的体积为|··|
答案　AB
解析　如图所示，()2＝()2＝＝3·()＝()···＝0；夹角的补角，而的夹角为60°，故的夹角为120°；正方体的体积为||·||·||.综上可知，AB正确.
12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设|AD|＝|AA1|＝1，|AB|＝2，P是C1D1的中点，则与夹角的大小为　　　　，·＝　　　　
答案　60°　1
解析　法一　连接A1D(图略)，则∠PA1D就是的夹角.连接PD，在△PA1D中，易得|PA1|＝|DA1|＝|PD|＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，
即夹角的大小为60°，
因此·×·cos 60°＝1.
法二　·＝()·＝1.
由题意可得||＝||＝，
则×·cos<>＝1，
故cos<>＝，从而<>＝60°.
13.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求：
(1)的长；
(2)向量与夹角的余弦值.
解　(1)||2＝()2
＝＋2·＋2·＋2·，
由已知得＝b2，＝a2，
<>＝<>＝120°，
<>＝90°，
所以·＝bacos 120°＝－ab，
同理·＝－ab，·＝0.
所以＝2a2＋b2－2ab.
所以.
(2)由题意得||＝a，
，
所以·
＝()·()
＝－ab，||＝，
所以cos<>＝.
所以向量.
三、拓展提高
14.如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.
(1)求证：CC1⊥BD；
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD 请给出证明.
(1)证明　设＝a，＝b，＝c.
依题意有|a|＝|b|，＝a－b.
设的两两夹角均为θ，于是·
＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|cos θ－|c||b|cos θ＝0，
所以CC1⊥BD.
(2)解　若A1C⊥平面C1BD，
则A1C⊥BD，A1C⊥DC1.
由·＝()·()
＝(a＋b＋c)·(a－c)
＝|a|2－a·c＋a·b－b·c＋c·a－|c|2
＝|a|2－|c|2＋|b||a|cos θ－|b||c|cos θ
＝(|a|－|c|)(|a|＋|c|＋|b|cos θ)＝0，得
当|c|＝|a|时，A1C⊥DC1.
同理可证，当|a|＝|b|时，A1C⊥BD.
所以当＝1时，A1C⊥平面C1BD.

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