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浙教版2026-2027学年八年级上数学第4章图形与坐标 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在平面直角坐标系中，点(3，-2)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2． 如图，一小手盖住的点的坐标可能为(　　)
A．(3，2) B．(3，-4). C．(-3，-3) D．(-6，4)
3．若P点在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（-3，2） C．（-2，3） D．（2，-3）
4．若点M的坐标为（﹣1，2），点N的坐标为（m﹣5，m），MN∥y轴，则m的值为（　　）
A．4 B．2 C．-1 D．-3
5．把点（2，﹣3）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　）
A．（5，﹣1） B．（﹣1，﹣5）
C．（5，﹣5） D．（-1，-1）
6．已知点A(m-1，3)与点B(2，n-1)关于y轴对称，则(m+n)的值为(　　)
A．0 B．3 C．- 1 D．1
7．如图，直线 a经过点 P (2， - 3) ，且 a∥x轴，直线 b经过点 Q (-2， 3) ，且 b∥y轴，直线 a，b相交于点 M，则点 M的坐标是(　　)
A．(3， - 2) B．(-3， 2)
C．(-2， - 3) D．(-2， 3)
8．春节是中华民族的传统节日，人们常用贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.如图，四盏灯笼A，B，C，D的坐标分别是（-4，3），（-2，3），（-3，3），（2，3），要使四盏灯笼组成的图形关于y轴对称，则平移的方法可以是（　　）
A．将灯笼A向右平移7个单位 B．将灯笼B向右平移5个单位
C．将灯笼C向右平移4个单位 D．将灯笼D向右平移2个单位
9．七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为（m，n），若调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a，b]＝[m﹣i，n﹣j]，并称a+b为该生的位置数．某生的位置数为8，当m+n取最小值时，则mn的最大值为（　　）
A．25 B．30 C．36 D．48
10．如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知点P（2a﹣6，a+1），若点P在y轴上，则点P的坐标为　 　.
12．如果p(a+b，ab)在第二象限，那么点Q(-a，-b)在第　 　象限.
13．已知点M（a+1，3）和点N（2，b-1）关于y轴对称，则a+b=　 　.
14．如图是一所学校的部分平面示意图，教学楼、图书馆和实验楼的位置都在小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是，图书馆位置的坐标是，则实验楼位置的坐标是　 　.
15．在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且点P的横坐标为3。将一把三角尺的直角顶点固定在点P处，将此三角尺绕点P旋转。在旋转的过程中，设一条直角边与x轴交于点E，另一条直角边与y轴交于点F，若为等腰三角形，则点F的坐标为　 　。
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知点，点.
（1）若点轴上，求的值；
（2）若直线轴，求点M 的坐标.
18．已知点P(3m+2，5-m)，根据下列条件求点 P 的坐标.
（1）点P在x轴上；
（2）点P的横坐标比纵坐标小4：
（3）点 P到x轴的距离为3.
19．如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋的坐标为．
（1）请你根据题意，补充原点和轴；
（2）写出黑棋和白棋④的坐标；
（3）五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．
20．已知：P(4x，x-3)在平面直角坐标系中.
（1）若点 P 在第三象限的角平分线上，则x的值为　 　；
（2）若点 P 在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值.
21．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较大值称为点A 的“长距”，当点 P 的“长距”等于点 Q的“长距”时，称 P，Q两点为“等距点”.
（1）点A(2，3)的“长距”等于　 　，点 B(-7，5)的“长距”等于　 　．
（2）若C(-1，2k+3)，点C在第三象限，点 C，D(-6，5)两点为“等距点”，求k的值.
22．在平面直角坐标系，中，，其中．
（1）若点在第一象限，，求的值；
（2）点为轴正半轴一个动点，．点的坐标为，若，则在点运动的过程中，的大小是否发生变化？若不变．请求出的度数；若变化．请说明的大小变化过程．
23．我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“最佳线段”．
（1）如图，点在线段（，）上，点在过且平行于轴的直线上，最佳线段的长为　 　；
（2）点，将射线绕点顺时针旋转交轴与点，点在线段上，点在射线 上．
①点，，最佳线段的长为　 　；
②线段在轴上（点在点的左侧），且为2个单位长度，，最佳线段的长满足，写出的取值范围　 　．
24．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在轴上，．
（1）如图1，求点的坐标；
（2）如图2，若点D在第一象限且满足，线段交y轴于点G，求线段的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足．请探究之间的数量关系．
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浙教版2026-2027学年八年级上数学第4章图形与坐标 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在平面直角坐标系中，点(3，-2)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】点的横坐标，纵坐标，符合第四象限点的坐标特征，
点在第四象限．
故答案为：D.
2． 如图，一小手盖住的点的坐标可能为(　　)
A．(3，2) B．(3，-4). C．(-3，-3) D．(-6，4)
【答案】B
【解析】小手盖住的点在第四象限，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，
故答案为：B .
3．若P点在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，则P点的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（-3，2） C．（-2，3） D．（2，-3）
【答案】B
【解析】∵P点在第二象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，
∴P点的坐标是（-3，2）
故答案为：B
4．若点M的坐标为（﹣1，2），点N的坐标为（m﹣5，m），MN∥y轴，则m的值为（　　）
A．4 B．2 C．-1 D．-3
【答案】A
【解析】∵MN∥y轴，点M的坐标为（﹣1，2），点N的坐标为（m﹣5，m），
∴m-5=-1，
∴m=4，
故选：A.
5．把点（2，﹣3）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　）
A．（5，﹣1） B．（﹣1，﹣5）
C．（5，﹣5） D．（-1，-1）
【答案】C
【解析】 把点（2，﹣3）先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的点的坐标是
（2+3，﹣3-2），即（5，﹣5），
故选：C.
6．已知点A(m-1，3)与点B(2，n-1)关于y轴对称，则(m+n)的值为(　　)
A．0 B．3 C．- 1 D．1
【答案】B
【解析】∵点A(m-1，3)与点B(2，n-1)关于y轴对称.
∴m-1=-2，n-1=3
解得：m=-1，n=4，
则m+n=3.
故选：B.
7．如图，直线 a经过点 P (2， - 3) ，且 a∥x轴，直线 b经过点 Q (-2， 3) ，且 b∥y轴，直线 a，b相交于点 M，则点 M的坐标是(　　)
A．(3， - 2) B．(-3， 2)
C．(-2， - 3) D．(-2， 3)
【答案】C
【解析】直线a经过点，且轴，点M的纵坐标是，
直线b经过点，且轴，点M的横坐标是，
点M的坐标是．
故选答案：C.
8．春节是中华民族的传统节日，人们常用贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿.如图，四盏灯笼A，B，C，D的坐标分别是（-4，3），（-2，3），（-3，3），（2，3），要使四盏灯笼组成的图形关于y轴对称，则平移的方法可以是（　　）
A．将灯笼A向右平移7个单位 B．将灯笼B向右平移5个单位
C．将灯笼C向右平移4个单位 D．将灯笼D向右平移2个单位
【答案】A
【解析】∵四盏灯笼A，B，C，D的坐标分别是(-4，a)，(-2，a)，(-3，a)，(2，a)，
∴这四个点在同一条水平直线上，且点B和点D关于y轴对称，
A、将A点向右平移7个单位，得到(-4+7，a)，即(3，a)，此时点A与点C关于y轴对称，从而可使四盏灯
笼组成的图形关于轴对称，符合题意；
B、将A点向右平移5个单位，得到(-4+5，a)，即(1，a)，此时点A与点C不关于y轴对称，故不符合题意；
C、将D点向右平移1个单位，得到(2+1，a)，即(3，a)，此时点D与点C关于轴对称，但点A和点B不关于轴对称，故不符合题意；
D、将D点向右平移2个单位，得到(2+2，a)，即(4，a)，此时点D与点A关于y轴对称，但点C和点B不关于y轴对称，故不符合题意；
故答案为：A.
9．七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位．设某个学生原来的座位为（m，n），若调整后的座位为（i，j），则称该生作了平移[a，b]＝[m﹣i，n﹣j]，并称a+b为该生的位置数．某生的位置数为8，当m+n取最小值时，则mn的最大值为（　　）
A．25 B．30 C．36 D．48
【答案】A
【解析】∵某生位置数为8，由平移定义[a，b]=[m-i，n-j]，可得a+b=|m-i|+|n-j|=8，
又∵调整后的座位(i，j)中，1≤i≤6，1≤j≤8，且i，j为整数，当i=1，j=1时，i+j取得最小值2，而m+n=i+j+8，
∴m+n的最小值为2+8=10．
∵m，n为正整数，且1≤m≤6，1≤n≤8，m+n=10，
∴所有可能的(m，n)组合为：(2，8)，(3，7)，(4，6)，(5，5)，(6，4) ．
分别计算mn的值：2×8=16，3×7=21，4×6=24，5×5=25，6×4=24，
∴mn的最大值为25 ．
故答案为：A .
10．如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，过点B作BC⊥y轴于C，
由题意得可知点B的纵坐标为3，
设点B的坐标为（m，3），
∴OC=3，BC=m，
∵线段AB平分这8个正方形组成的图形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知点P（2a﹣6，a+1），若点P在y轴上，则点P的坐标为　 　.
【答案】（0，4）
【解析】∵点P（2a﹣6，a+1）在y轴上，
∴2a﹣6=0，
∴a=3，
∴a+1=4，
∴点P的坐标为（0，4），
故填：（0，4）.
12．如果p(a+b，ab)在第二象限，那么点Q(-a，-b)在第　 　象限.
【答案】一
【解析】∵点M(a+b，ab)在第二象限
∴a+b<0，ab>0
∵ab>0可知ab同号，又∵a+b<0可知a，b同是负数.
∴a<0，b<0，
即-a>0，-b>0
点Q(-a，-b)在第一象限
故答案为：一.
13．已知点M（a+1，3）和点N（2，b-1）关于y轴对称，则a+b=　 　.
【答案】1
【解析】∵点M（a+1，3）和点N（2，b-1）关于y轴对称
a+1=-2，b-1=3
解得：a=-3，b=4
∴a+b=-3+4=1
故答案为：1
14．如图是一所学校的部分平面示意图，教学楼、图书馆和实验楼的位置都在小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是，图书馆位置的坐标是，则实验楼位置的坐标是　 　.
【答案】
【解析】由图可知，教学楼(-1，2)、图书馆(2，4)，对照网格一格代表一个单位长度，向左、向下推移对应格子找到坐标原点；再从原点横向右数 3 格、纵向向下数 1 格，得到实验楼坐标(3，-1)。
故答案为：.
15．在平面直角坐标系中，点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标是　 　．
【答案】
【解析】∵点在第四象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，
∴点P的坐标为
故答案为：
16．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且点P的横坐标为3。将一把三角尺的直角顶点固定在点P处，将此三角尺绕点P旋转。在旋转的过程中，设一条直角边与x轴交于点E，另一条直角边与y轴交于点F，若为等腰三角形，则点F的坐标为　 　。
【答案】(0，3)或(0，0)或或
【解析】∵为等腰三角形
∴①当PE=OE时，如图
∵PE⊥x轴，则PF⊥y轴
∴OF=PE=3
∴点F的坐标为(0，3)
②当OP=PE时，如图
∵∠OPE=90°=∠FPE
∴点F与点O重合
∴点F的坐标为(0，0)
③当OP=OE时，点E在x轴正半轴上时，如图
过点P作PA⊥x轴，PB⊥y轴
∴△PAE≌△PBF
∴
∴
当点E在x轴负半轴上时
同理可得，
∴
∴点F的坐标为或
综上所述，点F的坐标为(0，3)或(0，0)或或
故答案为：(0，3)或(0，0)或或
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知点，点.
（1）若点轴上，求的值；
（2）若直线轴，求点M 的坐标.
【答案】（1）解：由题意得：
解得
（2）解：由题意得：
解得
∴点的坐标为
18．已知点P(3m+2，5-m)，根据下列条件求点 P 的坐标.
（1）点P在x轴上；
（2）点P的横坐标比纵坐标小4：
（3）点 P到x轴的距离为3.
【答案】（1）解：∵点P(3m+2，5-m)在x轴上， ∴5-m=0， ∴m=5，
∴3m+2=17， ∴点P的坐标是(17，0)；
（2）解：∵点P(3m+2，5-m)的横坐标比纵坐标小4，
∴点P的坐标是
（3）解：∵点P到x轴的距离为3
∴|5-m|=3m=2或m=8.
当m=2时，点P(8，3)，
当m=8时，点P(26，-3).
19．如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为，黑棋的坐标为．
（1）请你根据题意，补充原点和轴；
（2）写出黑棋和白棋④的坐标；
（3）五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．
【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系：
（2）解：黑③坐标为，白④坐标为；
（3）解：要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为：或．
20．已知：P(4x，x-3)在平面直角坐标系中.
（1）若点 P 在第三象限的角平分线上，则x的值为　 　；
（2）若点 P 在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求x的值.
【答案】（1）-1
（2）解：由题可知：4x+3-x=9，
解得：x=2.
此时点P的坐标为(8，-1)，
∴当点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9时，x=2
【解析】(1)由题意，得
4x=x-3
解得x=-1
∴点P在第三象限的角平分线上时，x=-1.
故答案为：-1.
21．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离中的较大值称为点A 的“长距”，当点 P 的“长距”等于点 Q的“长距”时，称 P，Q两点为“等距点”.
（1）点A(2，3)的“长距”等于　 　，点 B(-7，5)的“长距”等于　 　．
（2）若C(-1，2k+3)，点C在第三象限，点 C，D(-6，5)两点为“等距点”，求k的值.
【答案】（1）3；7
（2）解：根据定义及点所在象限可知：点C，D(-6，5)两点为“等距点”，|-6|>|5|，
∴|2k+3|=-6
由条件可知2k+3<0，
∴2k+3=-6
解得k=-4.5
【解析】(1)根据定义可知：
点A(2，3)的“长距”为|3|=3；
点 B(-7，5)的“长距”为|-7|=7.
故答案为：3，7.
22．在平面直角坐标系，中，，其中．
（1）若点在第一象限，，求的值；
（2）点为轴正半轴一个动点，．点的坐标为，若，则在点运动的过程中，的大小是否发生变化？若不变．请求出的度数；若变化．请说明的大小变化过程．
【答案】（1）解：过点C作垂直x轴于点M．
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
解得：.
（2）解：在点D运动的过程中，的大小不变，．
如图，过点E作垂直x轴，垂足为F，
∵点E的纵坐标为t，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在中，，
∴在点D运动的过程中，的大小不变，一直都是
23．我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“最佳线段”．
（1）如图，点在线段（，）上，点在过且平行于轴的直线上，最佳线段的长为　 　；
（2）点，将射线绕点顺时针旋转交轴与点，点在线段上，点在射线 上．
①点，，最佳线段的长为　 　；
②线段在轴上（点在点的左侧），且为2个单位长度，，最佳线段的长满足，写出的取值范围　 　．
【答案】（1）3
（2） ；0≤m≤5
【解析】【解答】
解： (1)画出图形，根据“最佳线段”的定义作图，如图，
∵点M在过(0，3)且平行于x轴的直线上，
∴最佳线段PM的长为3，
故答案为：3；
(2)①如图，作BCEF于点C，
则BC的长即为最佳线段PM的长，
∴BE=4-1=3，
∵CEB=30°，BCEF，
∴BC=BE=即最佳线段PM的长为，
故答案为：
②如图，当AB在射线EF的右侧时，
∵0PM1，
∴当AE= PM =1时，m取最大值，
∵E(4，0)，
∴m=4+1=5，
如图，当AB在射线EF的左侧时，过点B作BCEF于点C，
∵0PM1，
∴当BC=PM =1时，m取最小值，
∵CEB = 30°，BCEF，BC=1，
∴BE= 2BC =2，
又∵E(4，0)，
∴B(2，0)，
∵AB为2个单位长度，
∴ A(0，0)，即m=0；
综上可知，m的取值范围为0m5.
24．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在轴上，．
（1）如图1，求点的坐标；
（2）如图2，若点D在第一象限且满足，线段交y轴于点G，求线段的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点E，满足．请探究之间的数量关系．
【答案】（1）解：∵，，
∴在中，有：，
∴，
∵，
∴，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴在中，，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在中，；
（3）解：，理由如下：
由（2）可知：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
延长至F，使，连接，过A点作于M点，如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴
∴，
∴，
即．
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