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浙教版2026-2027学年九年级上数学第1章二次函数 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）.
A．y=2x-3 B． C． D．
2．抛物线 与y轴交点的坐标是(　　)
A．(-3， 0) B．(1， 0) C．(0， - 3) D．(0， 3)
3．函数 的图象顶点坐标是 （　　)
A．（-1， - 3) B．（1， 3) C．（1， - 3) D．（-1， 3)
4．我们知道，抛物线y=（x-2）2+4可由抛物线y=（x-1）2+2经过平移得到，那么平移的方法可以是（　　）
A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位
C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位
D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位
5．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）在抛物线y＝﹣x2+4x上，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
6．若小敏骑单车从奥体中心回家的时间（单位：）受骑车速度（单位：）的影响，其关系可以用描述，则小敏从奥体中心回到家里所需的时间最短为（　　）
A．37分钟 B．36分钟 C．34分钟 D．29分钟
7．如图，若，，，则抛物线的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 经过点A(3，m)和点B(-2，n)，且函数y有最大值，则m和n的大小关系为(　　)
A．m>n B．m9．如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（　　）
A． B．1 C． D．2
（第9题） （第10题）
10．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若二次函数的图象过点（1，m），则m=　 　.
12．二次函数y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c=0，则其图象不经过第　 　 象限.
13．二次函数的图象与轴有　 　个交点．
14．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷.在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB=2m，CD=4m，则点B到CD的距离为　 　m.
（第15题） （第16题）
15．在同一直角坐标系中，已知函数，（k为不等于零的常数）.若函数的图象经过的图象的顶点，则k，c之间的数量关系为　 　.
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴交于点、，D为抛物线的顶点，，过A作交抛物线于点C，动直线l过点A，与线段交于点P，设点C，D到直线l的距离分别为、，则的最大值为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数：求：
（1）当x=3时，函数的值；
（2）当y=4时，x的值.
18．已知二次函数y=a(x+1)(x-3) 的图象与y轴交点为(0， 3).
（1） 求a的值.
（2）求该二次函数图象的对称轴和y的最大值.
19．习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程：
用配方法解方程：． 解：移项，得， 第一步 二次项系数化为1，得， 第二步 配方，得， 第三步 因此，， 第四步 ， 第五步 ， 第六步
（1）请指出这道习题的解答过程是从第几步开始出现错误的，并直接写出原方程正确的根；
（2）用配方法将二次函数化成的形式．
20．已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）当时，结合图象求y的取值范围．
21． 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 与x轴相交于A，B 两点，其中点A 的坐标为(-3，0).
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）C为抛物线与y 轴的交点，若点 P 在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点 P 的坐标.
22．某商品的进价为每件 40元，当售价为每件 50元时，每个月可卖出 210件，如果每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖 10件(每件售价不能低于 50元且不得高于 65元)，设每件商品的售价上涨x元，(x为正整数)每个月的销售量为y件.
（1） y与x的函数关系式为： 　 　；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润 最大的月利润是多少元
（3）若在销售过程中每一件商品都有a(a>0)元的其它费用，商家发现当售价每件不低于 58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，求a的取值范围.
23．在平面直角坐标系中，平移抛物线，若其顶点在直线上运动，则称直线为抛物线的“型亲密线”．已知抛物线：．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当的值变化时，求抛物线的“型亲密线”的表达式；
（3）将抛物线平移得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值为，若抛物线有“型亲密线”，求的值．
24． 已知抛物线(a，b，c为常数，a<0，c>0)的顶点为 P.
（1） 当a=-1， b=-2， c=3时， 求点P的坐标；
（2）点A(-c，0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点.
① 当 时，若∠PCA=90°， 求c的值；
② 若点B(m，0)，∠ACB=75°，D为线段BC的中点，点M在线段AC上(不与点A，C重合)，点N在线段AB上，且 当MN+ND取得最小值为5时，求c的值.
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浙教版2026-2027学年九年级上数学第1章二次函数 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）.
A．y=2x-3 B． C． D．
【答案】C
【解析】A：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义；
B：，是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义；
C：，符合（，，）的形式，是整式函数且自变量最高次数为2，属于二次函数；
D：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，
故答案为：C．
2．抛物线 与y轴交点的坐标是(　　)
A．(-3， 0) B．(1， 0) C．(0， - 3) D．(0， 3)
【答案】C
【解析】在y=x2+2x-3中，当x=0时，y=x2+2x-3=-3，
∴抛物线y=x2+2x-3与y轴的交点坐标为(0，-3)，
故选：C.
3．函数 的图象顶点坐标是 （　　)
A．（-1， - 3) B．（1， 3) C．（1， - 3) D．（-1， 3)
【答案】B
【解析】的顶点坐标为，
故答案为：.
4．我们知道，抛物线y=（x-2）2+4可由抛物线y=（x-1）2+2经过平移得到，那么平移的方法可以是（　　）
A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位
C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位
D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位
【答案】B
【解析】由题意可得：
将抛物线y=（x-1）2+2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位可得抛物线y=（x-2）2+4
故答案为：B
5．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）在抛物线y＝﹣x2+4x上，则下列结论正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【答案】C
【解析】将抛物线y=-x2+4x配方得：y=-(x-2)2+4。
因为a=-1<0，
所以抛物线开口向下，对称轴为直线x=2。
在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小。
分别计算三点到对称轴x=2的距离：
点M(-2，1)到对称轴的距离为|2-(-2)|=4；
点W(-1，y2)到对称轴的距离为|2-(-1)|=3：
点P(8，y3)到对称轴的距离为|8-2|=6。
距离关系为6>4>3，结合开口向下的性质，可得y3故答案为：C.
6．若小敏骑单车从奥体中心回家的时间（单位：）受骑车速度（单位：）的影响，其关系可以用描述，则小敏从奥体中心回到家里所需的时间最短为（　　）
A．37分钟 B．36分钟 C．34分钟 D．29分钟
【答案】D
【解析】
当 时， 取得最小值29。
故答案为：D
7．如图，若，，，则抛物线的图象大致为（　　）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，
∴抛物线的开口向下，故C选项错误；
∵，
∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误；
∵，，
故抛物线的对称轴为，
∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误．
故答案为：B.
8．已知抛物线 经过点A(3，m)和点B(-2，n)，且函数y有最大值，则m和n的大小关系为(　　)
A．m>n B．m【答案】B
【解析】∵函数y有最大值，
的对称轴为直线
∴当x>-1，y值随x值的增大而减小.
∴点B(-2，n)关于对称轴的对称点是(0，n)，且0<3，
故选： B.
9．如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】∵点(m，0)在直线y2=2x+ k上，
代入得：0=2m+k
∴k=-2m
∵二次函数y1 =x2 + bx +c与x轴交于(m，0)、(n，0)，
所以可写成：y1=(x-m)(x-n)=x2-(m +n)x+mn
因为 y=y1+y2=(x-m)(x-n)+ 2x + k
把k =- 2m代入：
y=(x-m)(x-n)+2x -2m
右边因式分解：
y=(x-m)(x-n)+ 2(x-m)=(x-m)(x-n+2)
令y=0，
可得出(x-m)(x-n+2)=0，
可得：x=m或x=n-2，
函数的图象与x轴只有一个交点，
所以m=n-2
整理得：m-n=-2
故答案为：C .
10．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】∵抛物线的开口向上， 顶点坐标
∴a＞0，，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a＞0，故①错误；
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）
∴a-b+c=0
∴a+2a+c=0
∴c=-3a，
∵抛物线与y轴的交点在，之间（包含端点），
∴-3≤c≤-2，
∴-3≤-3a≤-2，
解之：，故②正确；
∵当x=1时y有最小值为y=a+b+c，
∴a+b+c≤am2+bm+c
∴对于任意实数，故 ③正确；
∵当x=1时y的最小值为n，
∴直线y=n-1与抛物线y=ax2+bx+c没有交点，
∴ 关于x的方程 没有实数根，故④错误；
∴正确结论的个数为2个.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．若二次函数的图象过点（1，m），则m=　 　.
【答案】-2
【解析】由题知，
将点(1，m)代入 得，
故答案为：-2.
12．二次函数y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c=0，则其图象不经过第　 　 象限.
【答案】三
【解析】，
∴抛物线开口向上，
，
∴抛物线经过原点，
∴，
当时，，
∴或，
∴抛物线与轴的另一个交点横坐标为，
∵，，
∴，即另一个交点在轴正半轴，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，，
∴，即对称轴在轴右侧，
当时，，
∵，，，，，，
∴，即时，恒为正，不存在且的点，
因此此函数的图象不经过第三象限．
故答案为： 三.
13．二次函数的图象与轴有　 　个交点．
【答案】2
【解析】令，则，
解得，，
∴二次函数的图象与轴交于点和，
∴二次函数的图象与轴有2个交点．
故答案为：2．
14．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷.在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB=2m，CD=4m，则点B到CD的距离为　 　m.
【答案】1.8
【解析】如图建立坐标系：
∵抛物线最高点到的距离为，，，
∴，，
设，将代入得，，
解得，即，
当时，，
即点到的距离为，
故答案为：．
15．在同一直角坐标系中，已知函数，（k为不等于零的常数）.若函数的图象经过的图象的顶点，则k，c之间的数量关系为　 　.
【答案】
【解析】，
即其顶点坐标为：，
将代入中，
有：，
整理，得：，
故答案为：.
16．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴交于点、，D为抛物线的顶点，，过A作交抛物线于点C，动直线l过点A，与线段交于点P，设点C，D到直线l的距离分别为、，则的最大值为　 　．
【答案】
【解析】点A的坐标为，点B的坐标为；
∵A、B关于抛物线对称轴对称，
∴是等腰三角形，而，
∴是等腰直角三角形，得；
∵，
又∵，
∴；
∴，
令点C的坐标为，而点，故有，
由于开口向上的抛物线与x轴交于点、，
可设抛物线的解析式是：，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式是：，即，
∵点C在抛物线上，
∴；
化简得，
解得（舍去），
故点C的坐标为，
由点、、知，，，
∴；
过A作，则，
又∵，即
∴，
又∵，
∴， 即
；
即此时的最大值为．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．已知二次函数：求：
（1）当x=3时，函数的值；
（2）当y=4时，x的值.
【答案】（1）解：当x=3时，
（2）解：当y=4时，，即
因式分解得(x-3)(x+1)=0，
解得
18．已知二次函数y=a(x+1)(x-3) 的图象与y轴交点为(0， 3).
（1） 求a的值.
（2）求该二次函数图象的对称轴和y的最大值.
【答案】（1）解：函数图象与y轴交点为，
，
解得
（2）解：由（1）得，
配方得，
，
，
所以该二次函数图象的对称轴为，y的最大值为
19．习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程：
用配方法解方程：． 解：移项，得， 第一步 二次项系数化为1，得， 第二步 配方，得， 第三步 因此，， 第四步 ， 第五步 ， 第六步
（1）请指出这道习题的解答过程是从第几步开始出现错误的，并直接写出原方程正确的根；
（2）用配方法将二次函数化成的形式．
【答案】（1）解：从第二步开始出现错误，正确的过程如下：
移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，
因此，，
，
，；
（2）解：
．
20．已知二次函数．
（1）在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（2）当时，结合图象求y的取值范围．
【答案】（1）解：根据函数解析式，列出自变量x和函数y的对应值表，如下：
0 1 2 3 4
2 2 …
描点，用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到函数图象，如下图所示：
（2）解：通过观察图象可知，当0＜x＜5时，y的取值范围.
21． 如图，对称轴为直线x=-1的抛物线 与x轴相交于A，B 两点，其中点A 的坐标为(-3，0).
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）C为抛物线与y 轴的交点，若点 P 在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点 P 的坐标.
【答案】（1）解：由A、B关于对称轴对称，
得B(1，0).
将A、B点坐标代入函数解析式，得
解得
抛物线的解析式
（2）解：由 得P到OC的距离是OB的4倍，
即P点的横坐标为4或-4，
当x =4时，
当x =-4时， 即
综上所述：
22．某商品的进价为每件 40元，当售价为每件 50元时，每个月可卖出 210件，如果每件商品的售价每上涨 1元，则每个月少卖 10件(每件售价不能低于 50元且不得高于 65元)，设每件商品的售价上涨x元，(x为正整数)每个月的销售量为y件.
（1） y与x的函数关系式为： 　 　；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润 最大的月利润是多少元
（3）若在销售过程中每一件商品都有a(a>0)元的其它费用，商家发现当售价每件不低于 58元时，每月的销售利润随x的增大而减小，求a的取值范围.
【答案】（1）y=210-10x(0（2）解：设月利润为 W，由题意得
∵a=-10<0，
∴当x=5.5时， W有最大值 2402.5，
∵0∴当x=5时， 50+x=55， W=2400；
当x=6时， 50+x=56， W=2400；
∴当售价定为每件 55或 56元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400元；
（3）解：由题意得， W=(210-10x)(50+x-40-a)=-10(x-21)(x+10-a)，
∴抛物线对称轴为直线
∵售价每件不低于 58元，0∴8≤x≤15时，每月的销售利润随x的增大而减小，
∴
解得5【解析】(1)由题意得，y与x的函数关系式为y=210-10x，
∵每件售价不能低于50元且不得高于65元，
∴50+x≤65
∴0故答案为：y=210-10x(023．在平面直角坐标系中，平移抛物线，若其顶点在直线上运动，则称直线为抛物线的“型亲密线”．已知抛物线：．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）当的值变化时，求抛物线的“型亲密线”的表达式；
（3）将抛物线平移得到抛物线，设抛物线与轴交点的纵坐标为，顶点的横坐标为，当时，有最小值为，若抛物线有“型亲密线”，求的值．
【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：由（1）知抛物线：的顶点坐标，
当时，，则抛物线的“型亲密线”的表达式为；
（3）解：抛物线有“型亲密线”，
抛物线的顶点在直线上，
抛物线顶点的横坐标为，
当时，，即抛物线的顶点坐标为，
抛物线是由抛物线：平移得到，
抛物线的表达式为，
抛物线与轴交点的纵坐标为，
当时，，
是一个二次函数，则抛物线开口向上、对称轴为，
由当时，有最小值为，可分对称轴在上、对称轴在左侧和对称轴在右侧三种情况，具体讨论如下：
①当时，对称轴在上，
即当时，的最小值在对称轴上取得，为，
解得或（不满足，舍去）；
②当时，对称轴在左侧，
即当时，二次函数在范围内，随的增大而增大，
当时，取得最小值，为，
解得（不满足，舍去）；
③当时，对称轴在右侧，
即当时，二次函数在范围内，随的增大而减小，
当时，取得最小值，为，
解得；
综上所述，若抛物线有“型亲密线”，则或．
24． 已知抛物线(a，b，c为常数，a<0，c>0)的顶点为 P.
（1） 当a=-1， b=-2， c=3时， 求点P的坐标；
（2）点A(-c，0)和点B为抛物线与x轴的两个交点，点C为抛物线与y轴的交点.
① 当 时，若∠PCA=90°， 求c的值；
② 若点B(m，0)，∠ACB=75°，D为线段BC的中点，点M在线段AC上(不与点A，C重合)，点N在线段AB上，且 当MN+ND取得最小值为5时，求c的值.
【答案】（1）解：∵ a=-1， b=-2， c=3，
∴ 该抛物线的解析式为
∴ 该抛物线顶点 P 的坐标为(-1，4).
（2）解：① 由 得
∴ 该抛物线顶点 P 的坐标为
∵ 点A(-c，0)，点C(0， c)，
∴ OA=OC.得∠ACO=45°.
根据题意，点P在第二象限，过点P作PH⊥y轴于点E.有∠PCH=45°.
∴ PH=CH.有 解得 (舍).
∵ 点A(-c，0)在抛物线 上，
又c>0，
得c=2-2b.
∴ c=6.
②∵点，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为线段 的中点，，
作轴于点 ，则是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得，
∴四边形是平行四边形，
∴，
过点作，且，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当共线时，有最小值，即有最小值，
∵，，，且取得最小值为，
∴，即，
解得，
∴的值为．
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