资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2026-2027学年八年级上数学第2章特殊三角形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列新能源汽车图标中，属于轴对称图形的是(　　)
A． B． C． D．
2．等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为 （　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．21
3．如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（　　）
A．25° B．30° C．45° D．60°
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
5． 如图， 在△ABC中， 过点B， A作BD⊥AC， AE⊥BC， BD， AE交于点 F， 若 CD=2， 则线段BF的长度为（　　）
A．2 B． C．3 D．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，∠ADE=∠AED=2∠EAD，则图中共有多少个等腰三角形？（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，若，则(　　)
A． B． C． D．
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠BAC =90°， ∠B =30°，D为BC上一点， 且AC = AD ， E， F分别是CD， AB的中点， 连接EF， 若AC = 2， 则EF的长为(　　)
A． B． C．1 D．0.5
9． 如图，在和中，，，于点，的反向延长线与交于点，连接，则线段，，三者之间的关系为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，BD是△ABC的角平分线，BA=BC=10，AC=12，DE//BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：
①PC+PQ≥AQ；②AE+DE=BC；③PC+PQ的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9.其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题：　 　。
12．已知等腰三角形有一个角为40°，则这个等腰三角形的顶角度数为　 　.
13．已知一个直角三角形的周长是 ，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为　 　。
14．如图，，，则　 　．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图，已知 ，则∠BAD=　 　.
16．如图， △ABC 中， AB=AC， AD⊥BC于点 D， DE平分∠ADC， 交AC与点 E， EF⊥AB于点F， 且交AD于点G， 若AG=2， BC=12， 则AF=　 　.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=CF，CE，BF交于点P，EG⊥BF，垂足为G.
（1）求证：∠ACE=∠CBF：
（2）若PG=1，求EP的长度.
18．如图，在中，点为边上一点，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若点在的平分线上，求的长．
19．已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，．
（1）求证：；
（2）点为的中点，，求证：DFH是等边三角形．
20．
（1）【探究】如图1所示，分别以△ABC的两边AB，AC为边向△ABC外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结DC，BE，求证：DC=BE.
（2）【拓展】如图2所示，在四边形ABCD中，AB=BC=5。∠ABC=45°，连结AC，BD，若∠DAC=90°，AC=AD，求BD的长。
21．定义：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 那么称这个三角形为优美三角形。
（1）判断等边三角形是不是优美三角形，并说明理由。
（2）如图，在△ABC 中， 在 AC 上取一点 D，使得 连结 BD。求证：△ABD 是优美三角形。
22．若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.例如：图1，在△ABC中， ，则△ABC为勾股高三角形，其中 C为勾股顶点，CD 是AB边上的高
（1）●特例感知：等腰直角三角形 　 　勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)；
（2）●深入探究：如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且(CA>CB，CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB 的数量关系，并给予证明；
（3）●推广应用： 如图3， 等腰△ABC为勾股高三角形， 其中AB=AC>BC， CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E.若( 试求线段DE的长度.
23．如图， 在△ABC中， AD⊥BC于点D， AD=BD， 点E在AD上，DE=DC， 连结BE. M， N分别是BE， AC的中点， 连结MN， ND， MD.
（1） 求证： BE=AC.
（2）求证：△MND 是等腰直角三角形.
（3）若DC=1， ∠ABE=15°， 求MN的长.
24．如图1，等边△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，BE交于点F，CD=AE.
（1）求∠BFD的度数；
（2）如图2，连接CF，若CF⊥BE，求证：BF=2AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，将AD沿CF翻折交AC于点G，过点C作CF的垂线交直线FG于点H，若BF=4.
①求证：BF=HF；
②求FG GH的值.（请直接写出结果）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2026-2027学年八年级上数学第2章特殊三角形 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列新能源汽车图标中，属于轴对称图形的是(　　)
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】A：是轴对称图形；B：不是轴对称图形；C：不是轴对称图形；D：不是轴对称图形；
故答案为：A.
2．等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个三角形的周长为 （　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．21
【答案】B
【解析】分两种情况讨论：
情况1：当为腰长时，三角形三边长为3，3，7，∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，∴此情况舍去；
情况2：当为腰长时，三角形三边长为3，7，7，
∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
∴三角形的周长为．
故答案为：B .
3．如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（　　）
A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定
【答案】A
【解析】已知△ABC 为等腰三角形，需分两种情况讨论，并结合三角形三边关系判断：① 当 AB=AC=3 时：
在△ACD 中，三边为 2、2、3，满足 “两边之差＜第三边＜两边之和”（2-2＜3＜2+2）；
在△ABC 中，三边为 3、3、4，同样满足三边关系（3-3＜4＜3+3）；
故 AC=3 符合题意。
② 当 AB=BC=4 时：
在△ACD 中，三边为 2、2、4，此时 2+2=4，不满足 “两边之和大于第三边” 的构成条件；
故此情况不成立，舍去。
综上，AC 的长为 3，
故答案为：A。
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（　　）
A．25° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴AD＝CD，
∵DC＝AC，
∴AD＝CD＝AC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：B．
5． 如图， 在△ABC中， 过点B， A作BD⊥AC， AE⊥BC， BD， AE交于点 F， 若 CD=2， 则线段BF的长度为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】∵BD⊥AC，AE⊥BC∴∠BDA=∠AEC=90°，
∵∠BAC=45°∴∠ABD=90°-∠BAD=45°，
∴∠BAD=∠ABD，∴AD=BD=5，
∵∠FAD+∠AFD=90°，∠DBC+∠BFE=90°，∠AFD=∠BFE
∴∠FAD=∠DBC，在△ADF与△BDC中，∴△ADF≌△BDC(ASA)，
∴DF=CD
∴BF=BD-DF=AD-CD=5-2=3，
故答案为：C.
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，∠ADE=∠AED=2∠EAD，则图中共有多少个等腰三角形？（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】D
【解析】
∴在 中，
，
解得
等腰三角形有： 共6个.
故答案为：D.
7．两个直角三角板如图摆放，其中，，，，边分别与，相交于点，若，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵BC=12∴
∵∠C=45°，∴△ACM为等腰直角三角形∴
∵∠FAE=30°∴AN=2MN
在Rt△AMN中，AM2+MN2=AN2
即62+MN2=(2MN)2
解得：MN=
故答案为：A
8． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠BAC =90°， ∠B =30°，D为BC上一点， 且AC = AD ， E， F分别是CD， AB的中点， 连接EF， 若AC = 2， 则EF的长为(　　)
A． B． C．1 D．0.5
【答案】B
【解析】连接，
∵在中，，，，∴，，
由勾股定理得：。
∵，，∴为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∵是的中点，∴（等边三角形三线合一），即。
在中，是斜边的中点，∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
代入得
故答案为：B
9． 如图，在和中，，，于点，的反向延长线与交于点，连接，则线段，，三者之间的关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接CF、CD，
∵，，
∴是等腰直角三角形，。
∵，
∴，。
在四边形ACBD中，由内角和关系可得：
，
代入化简得，即。
∵，，
∴ AE垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴，
∴，
∴，即是直角三角形。
在中，由勾股定理得，
又∵，
∴。
故答案为：C
10．如图，BD是△ABC的角平分线，BA=BC=10，AC=12，DE//BC，P，Q分别是BD和BC上的任意一点；连接PA，PC，PQ，AQ，给出下列结论：
①PC+PQ≥AQ；②AE+DE=BC；③PC+PQ的最小值是；④若PA平分∠BAC，则△APD的面积为9.
其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】 ①∵BA=BC=10， BD是△ABC的角平分线，∴BD⊥AC， AD=CD，
∴BD垂直平分AC，∴AP=PC，∴PC+PQ=AP+PQ，
∵AP+PQ >AQ，
∴PC+PQ≥AQ，故①正确；
②∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC， ∠ADE=∠ACB，
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠DBC，
∴∠EDB=∠EBD，∴EB=ED，
∵AB=BC，∴∠BAC=∠ACB，
∵∠ADE=∠ACB，∴∠ADE=∠BAD，
∴EA=ED，
∴AE+DE=BC，故②正确；
③根据解析①可知， PC+PQ=AP+PQ，
∴当AP+PQ最小时， PC+PQ最小，
过点A作AM⊥BC于点M，如图所示：
当点P在AM与BD交点上时，
AP+PQ=AM，此时AP+PQ最小，且最小值为AM，
∵BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，
∴
即PC+PQ的最小值是 故③错误；
④过点P作PN⊥AB于点N，如图所示：
∵PA平分
所以
∵24，
∴
④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．写出命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题：　 　。
【答案】在同一个三角形中，等角对等边
【解析】命题“在同一个三角形中，等边对等角”的逆命题是：“在同一个三角形中，等角对等边”，
故答案为：在同一个三角形中，等角对等边.
12．已知等腰三角形有一个角为40°，则这个等腰三角形的顶角度数为　 　.
【答案】或
【解析】若40°为顶角，符合题意；
若40°为底角，则顶角为180°-40°-40°=100°；
故这个等腰三角形的顶角为或.
故答案为：或.
13．已知一个直角三角形的周长是 ，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为　 　。
【答案】2
【解析】设两直角边分别为a，b，斜边为c，
根据直角三角形的性质知：c=4，
整理得
∴，即a2+2ab+b2=24，
∴2ab=24-(a2+b2)=24-16=8，
∴ab=4，
∴这个三角形的面积
故答案为：2.
14．如图，，，则　 　．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∴，
同理可求：，
∴，
∴．
故答案为：．
15．如图，已知 ，则∠BAD=　 　.
【答案】
【解析】由∠BAC=90°，故AC=，
而AD=CD=1，故，
故△ACD为等腰直角三角形
得∠CAD=45°
故∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-45°=45°.
故答案为： 45°.
16．如图， △ABC 中， AB=AC， AD⊥BC于点 D， DE平分∠ADC， 交AC与点 E， EF⊥AB于点F， 且交AD于点G， 若AG=2， BC=12， 则AF=　 　.
【答案】
【解析】∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD=BC=6
∵∠C+∠CAD=90°，∠AGF+∠BAD=90°
∴∠AGF=∠C
∵∠DGE=∠AGF
∴∠C=∠DGE
∵DE平分∠ADC
∴∠EDG=∠EDC
∴△DCE≌△DGE(AAS)
DG=DC=6
AD=AG+DG=2+6=8
AC=
连接BG，，即
得FG=，AF=
故答案为： .
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，△ABC是等边三角形，E，F分别是边AB，AC上的点，AE=CF，CE，BF交于点P，EG⊥BF，垂足为G.
（1）求证：∠ACE=∠CBF：
（2）若PG=1，求EP的长度.
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
在与中，
，
，
（2）解： ∵由(1)知∠ACE=∠CBF，
又∠ACE+∠PCB=∠ACB=60°，
∴∠PBC+∠PCB=60°，
∴∠BPE=60°，
∵EG⊥BF，即∠PGE=90°，
∴∠GEP=30°，
∴在Rt△PGE中， PE=2PG，
∵PG=1，
∴PE=2.
18．如图，在中，点为边上一点，．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，若点在的平分线上，求的长．
【答案】（1）解：在中，，
，
，
，
设，则，
在Rt中，，
，
；
（2）解：过点作于点，
，
平分，
，
在与中，
，
（），
，
，
设，则，
在中，，
，
.
19．已知，如图在中，、分别是，边上的高，、交于，，．
（1）求证：；
（2）点为的中点，，求证：DFH是等边三角形．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
在和中，，
∴（HL）．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形
20．
（1）【探究】如图1所示，分别以△ABC的两边AB，AC为边向△ABC外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结DC，BE，求证：DC=BE.
（2）【拓展】如图2所示，在四边形ABCD中，AB=BC=5。∠ABC=45°，连结AC，BD，若∠DAC=90°，AC=AD，求BD的长。
【答案】（1）解：∵以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，
∴AD=AB， AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°， ∠DAB =∠EAC =60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC =∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
∴△DAC ≌ △BAE(SAS)，
∴CD=BE；
（2）解：如图②，以AB为边向外作等腰直角三角形ABE， AE=AB，∠BAE=90°，
在 和 中，

【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出.AD=AB， 求出根据SAS推出 即可；
（2）以AB为边向外作等腰直角三角形ABE， 根据全等三角形的性质得到CE=BD，由勾股定理即可得到结论.
21．定义：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足 那么称这个三角形为优美三角形。
（1）判断等边三角形是不是优美三角形，并说明理由。
（2）如图，在△ABC 中， 在 AC 上取一点 D，使得 连结 BD。求证：△ABD 是优美三角形。
【答案】（1）解：等边三角形是优美三角形。
理由：设等边三角形的三边长为a，b，c，则a=b=c，
∴等边三角形是优美三角形
（2）证明：
∴AD=1，CD=2。
过点 B 作 BE⊥AC，垂足为点 E，
设CE=x，则AE=3-x。
∵BE⊥AC，
∴
∴
∴
∴
∴△ABD 是优美三角形
22．若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点.例如：图1，在△ABC中， ，则△ABC为勾股高三角形，其中 C为勾股顶点，CD 是AB边上的高
（1）●特例感知：等腰直角三角形 　 　勾股高三角形(请填写“是”或者“不是”)；
（2）●深入探究：如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且(CA>CB，CD是AB边上的高.试探究线段AD与CB 的数量关系，并给予证明；
（3）●推广应用： 如图3， 等腰△ABC为勾股高三角形， 其中AB=AC>BC， CD为AB边上的高，过点D向BC边引平行线与AC边交于点E.若( 试求线段DE的长度.
【答案】（1）是
（2）解：AD=BC，
证明如下：
∵△ABC为勾股高三角形，CD是AB边上的高，CA>CB
∴AC2-BC2=CD2，
∵AC2-AD2=CD2
∴AC2-AD2=AC2-BC2，
即AD2=BC2，
∴AD=BC
（3）解：如图，过点A作AG⊥DE于点G，
∵△ABC为勾股高三角形，CD是AB边上的高，AB=AC>BC，
∴AC2-BC2=CD2
由(2)得：AD=BC
∵DE//BC，
∴∠1=∠B，
∵∠AGD=∠CDB=90°
∴△AGD≌△CDB(AAS)
∴DG=BD，
∵DE//BC.
∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠AED=∠ADE
∴AD=AE，
∴AB-AD= AC-AE，
∴CE=BD，
∴DG=BD=CE
∴
【解析】(1)如图，ABC是等腰直角三角形，AC=BC，
∵AB2-AC2=BC2=AC2，且CA是CB边上的高，
∴等腰直角三角形是勾股高三角形
故答案为：是.
23．如图， 在△ABC中， AD⊥BC于点D， AD=BD， 点E在AD上，DE=DC， 连结BE. M， N分别是BE， AC的中点， 连结MN， ND， MD.
（1） 求证： BE=AC.
（2）求证：△MND 是等腰直角三角形.
（3）若DC=1， ∠ABE=15°， 求MN的长.
【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°
在 A BED和 A ACD中，
∴△BED≌△ACD(SAS)
∴BE=AC
（2）证明：∵△BED≌△ACD，
∴∠DAC=∠DBE，BE=AC
∵M，N分别是BE，AC的中点，∠ADB=∠ADC=90°
∴，，
∴DM=DN，∠MED=∠MDE，∠ADN=∠DAN
∴∠MDE+∠ADN=∠MED+∠DAN=∠MED+∠DBE=90°
∴∠MDN=90°
又∵DM=DN，
∴△MND是等腰直角三角形
（3）解：∵∠ADB=90°，AD=BD，
∴∠ABD=∠BAD=45°
∵∠ABE=15°，
∴∠EBD=30°
∴BE-2DE=2CD=2，
由(2)知：，△MND是等腰直角三角形，
∴
24．如图1，等边△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，连接AD，BE交于点F，CD=AE.
（1）求∠BFD的度数；
（2）如图2，连接CF，若CF⊥BE，求证：BF=2AF；
（3）如图3，在（2）的条件下，将AD沿CF翻折交AC于点G，过点C作CF的垂线交直线FG于点H，若BF=4.
①求证：BF=HF；
②求FG GH的值.（请直接写出结果）
【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABC=∠BAC=60°，AB=AC=BC.
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE△CAD（SAS）.
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BFD=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°；
（2）解：如图，在BF上截取BQ=AF，连接AQ，
在△QBA和△FAC中，
，
∴△QBA≌△FAC（ SAS），
∴∠BAQ=∠ACF，
∵∠AQF=∠QBA+∠BAQ，∠DFC=∠FAC+∠ACF，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠FAC，
∵CF⊥BE，∠BFD=60°，
∴∠AQF=∠DFC=∠BAQ+∠FAC=30°，
∴∠QAF=∠BAC-（∠BAQ+∠FAC）=30°，
即∠AQF=∠QAF，
∴AF=FQ．
∵BF=FQ+BQ=2FQ，
∴BF=2AF；
（3）解：①如图，延长BE到点N，使得FN=AF，连接AN，连接CN，交FH于点M，
∵∠BFD=∠AFN=60°，
∴△AFN是等边三角形，
∴AF=AN=FN，∠FAN=∠FNA=∠AFN=60°，
∴∠BAF=60°-∠FAE=∠CAN．
在△BAF与△CAN中，
∴△BAF≌△CAN（SA5），
∴BF=CN，∠ABF=∠ACN，
∵∠DAC=∠EBA，
∴∠DAC=∠ACN，
∴CN∥AD，
∴∠AFN=∠FNM=60°，
∵CF⊥BE，
∴∠FCN=30°，
∵∠DFC=90°-60°=30°，AD沿CF翻折交AC于点G，CF⊥CH，
∴∠DFC=∠MFC=∠MCF=30°，∠MFN=∠MCH=∠MHC=60°，
∴MF=MC，∠CMH=∠FMN=60°，
∴△CMH，△MFN是等边三角形，
∴MH=MC=MF=FN，
∴△AFN、△CMH，△MFN是边长相等的等边三角形，
∴HF=CN，
∴BF=CN；
②∴FG·GH=3.
【解析】（3）∵△AFN、△CMH，△MFN是边长相等的等边三角形，
∴AF=CM，
∵CN∥AD，
∴∠AFG=∠CMG.
在△AFG和△CMG中，
，
∴△AFG△CMG（AAS）.
∴FG=MG，
又∵MF=MH=，
∴FG=MG=，
∴GH=MG+MH=3，
∴FG·GH=3.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑